Chapitre 19 Intégration sur un segment

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1 Chpitre 19 ntégrtion sur un segment Dns tout ce chpitre, suf mention contrire,, b désignent deux réels tels que < b et un intervlle de R contennt u moins deux points. - Construction de l'intégrle.1 - Continuité uniforme Définition 1 (Continuité uniforme). L fonction f est uniformément continue sur si ε > 0, η > 0 ; x, y, ( x y η f(x) f(y) ε). Exercice 1. Les fonctions f : [0, 1] R, x x, g : R + R, x x 2 et h : R + R, x e x sont-elles uniformément continues? Propriété 1 (Uniforme continuité & Continuité). Toute fonction uniformément continue sur un intervlle est continue sur. Exercice 2. Montrer que l réciproque est fusse. Propriété 2 (Lipschitzien & u.c.) Toute fonction lipschitzienne sur est uniformément continue sur. Exercice 3. Montrer que l réciproque est fusse. Théorème 1 (Théorème de Heine). Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment..2 - Fonctions continues pr morceux Définition 2 (Subdivision). Une subdivision du segment [, b] est une suite nie (x 0,..., x n ), où n N, telle que = x 0 < x 1 < < x n = b. Le ps de l subdivision est le réel mx i 1,n (x i x i 1 ). Exercice 4. L subdivision est régulière si l quntité x i x i 1 est constnte. Déterminer l vleur de x i en fonction de i,, b et n. Définition 3 (Fonction en esclier). Soit ϕ F ([, b], R). L fonction ϕ est une fonction en esclier s'il existe une subdivision π = (x i ) i 0,n de l'intervlle [, b] telle que pour tout i 0, n 1, ϕ ]xi,x i+1 [ soit constnte. L subdivision π est comptible vec (ou dptée à) ϕ. L'ensemble des fonctions en esclier de [, b] dns R est noté Esc([, b], R). Exercice 5. Montrer qu'une fonction en esclier sur [, b] est bornée sur son intervlle de dénition. Théorème 2 (Structure). L'ensemble des fonctions en esclier est une sous-lgèbre de l'ensemble des fonctions de [, b] dns R. Stnisls A. Cmnes

2 Chpitre 19. ntégrtion sur un segment MPS 1 Définition 4 (Continuité pr morceux). Soit f F ([, b], R). L fonction f est continue pr morceux sur [, b] si (i). il existe une subdivision π = (x i ) i 0,n de [, b] telle que pour tout i 0, n 1, f ]xi,x i+1 [ soit continue, (ii). f dmet des limites à droite et à guche en tout point de [, b]. C ([, b], R) est l'ensemble des fonctions continues pr morceux sur l'intervlle [, b] à vleurs réelles. Exercice 6. Montrer que toute fonction continue pr morceux est bornée. Ses bornes sont-elles nécessirement tteintes? Théorème 3 (Structure). L'ensemble des fonctions continues pr morceux sur [, b] est une sous-lgèbre de l'ensemble des fonctions de [, b] dns R. Théorème 4 (Approximtion). Soient f C ([, b], R) et ε > 0. l existe deux fonctions en esclier ϕ, ψ telles que ϕ f ψ et 0 ψ ϕ ε. - ntégrle d'une fonction continue pr morceux.1 - ntégrle d'une fonction en esclier Définition 5 (ntégrle des fonctions en esclier). Soit ϕ une fonction en esclier sur l'intervlle [, b] et (x i ) i 0,n une subdivision dptée. Pour tout i 1, n, on note ϕ ]xi 1,x i [ = ϕ i. L quntité subdivision choisie. C'est l'intégrle de ϕ, notée ϕ. Exercice 7. Déterminer l'intégrle des fonctions constntes. Propriétés 3 (Propriétés élémentires). Soient ϕ, ψ E sc([, b]). (i). Linérité. L'ppliction : E sc([, b]) R, ϕ n i=1 (x i x i 1 )ϕ i ne dépend ps de l ϕ est linéire. (ii). Croissnce. Si pour tout x [, b], ϕ(x) ψ(x), lors (ϕ) (ψ). (iii). néglité tringulire. (ϕ) ( ϕ ). (iv). Reltion de Chsles. Soit c ], b[. ϕ = [,c] ϕ + ϕ. [c,b] Stnisls A. Cmnes

3 Chpitre 19. ntégrtion sur un segment MPS ntégrle des fonctions continues pr morceux Définition 6 (ntégrle des fonctions continues pr morceux). Soit f C ([, b]). Notons { } + (f) = ψ ; ψ E sc([, b]), f ψ { } (f) = ϕ ; ϕ E sc([, b]), ϕ f + (f) (resp. (f)) dmet une borne inférieure (resp. supérieure) notée + (f) (resp. (f)). De plus, + (f) = (f). Cette vleur commune est ppelée intégrle de f sur [, b] et est notée f. Propriétés 4 (Propriétés élémentires). Soient f, g C ([, b]). (i). Linérité. L'ppliction : C ([, b]) R, f (ii). Croissnce. Si f g, lors f (iii). néglité tringulire. f f. (iv). Reltion de Chsles. Pour tout c ], b[, g. f = [,c] f est linéire. f + f. [c,b] Propriété 5 (Chngement de vrible : trnsltion). Soit f C ([, b]) et α R. On note g : [ α, b α] R, x f(x + α). L fonction g est continue pr morceux sur [ α, b β] et g = f. [ α,b α] Exercice 8. Soit f une fonction continue pr morceux et T -périodique. Montrer que pour tout réel, f = f. [,+T ] [0,T ].3 - néglité de l moyenne Définition 7 (Vleur moyenne). Soit f C ([, b]). L vleur moyenne de f sur [, b] est le réel 1 b Exercice 9. Soit f C ([, b]). Montrer qu'il existe deux constntes m et M telles que m(b ) f M(b ). Théorème 5 (néglité de l moyenne). Soient f, g C ([, b]). Alors, fg sup f g. f. Stnisls A. Cmnes

4 Chpitre 19. ntégrtion sur un segment MPS 1 Corollire 6. Soit f C ([, b]). Alors,.4 - Extensions f (b ) sup f. Nottions. Soit un intervlle de R et f C (). Soient, b. On note b Si < b, f(x) dx = f. b Si > b, f(x) dx = f. Si = b, b f(x) dx = 0. [b,] Propriétés 6. Soient f C (), où = [, b] ou [b, ]. (i). Croissnce. Si b et f g, lors (ii). néglité tringulire. b b f(x) dx (iii). Reltion de Chsles. Pour tous c, d, e, f(x) dx b g(x) dx. f sup f b. d Définition 8 (ntégrle des fonctions à vleurs complexes). Soit f C (, C). L'intégrle de f sur est l quntité Propriétés 7. L'intégrle des fonctions à vleurs complexes... (i).... est linéire. (ii).... stisfit l reltion de Chsles. (iii).... stisfit l'inéglité tringulire. c f(x) dx = f = e c f(x) dx + d e f(x) dx. Re (f) + i m (f). - ntégrle d'une fonction continue.1 - Propriétés Théorème 7 (Positivité de l intégrle). Soit f C ([, b]) telle que pour tout x [, b], f(x) 0. Si Exercice 10. Soit P une fonction polynomile sur R telle que identiquement nulle. [0,1] f = 0, lors f 0. P 2 = 0. Montrer que P est Stnisls A. Cmnes

5 Chpitre 19. ntégrtion sur un segment MPS 1 Théorème 8 (néglité de Cuchy-Schwrz). Soient f, g C ([, b]). Alors, ( 2 fg) f 2 g 2, vec églité si et seulement s'il existe µ R tel que f = µg ou g = µf..2 - Sommes de Riemnn Définition 9 (Sommes de Riemnn). Soient f C ([, b]), π = (x i ) i 0,n une subdivision de [, b] et ξ = (ξ i ) i 0,n 1 des réels tels que pour tout i 0, n 1, ξ i [x i, x i+1 ]. L somme de Riemnn de f ssociée à π et ξ le réel R π,ξ (f) = n 1 f(ξ i )(x i+1 x i ). i=0 Propriété 8 (Convergence pour des fonctions lipschitziennes). Soit f L ip k ([, b], R) et π une subdivision de [, b] de ps δ π. Alors, f R π,ξ (f) k(b )δ π. Théorème 9 (Convergence des sommes de Riemnn). Soit f C ([, b]). Pour tout ε > 0, il existe un réel η > 0 tel que pour toute subdivision π = (x i ) i 0,n et ξ = (ξ i ) i 0,n vec ξ i [x i, x i+1 ], δ π η Exercice 11. Soit f C 1 ([, b], R). Montrer que f R π,ξ (f) ε..3 - Théorème fondmentl du clcul diérentiel f = f(b) f(). Définition 10 (Primitive). Soient f, F F (, K). L fonction F est une primitive de f sur si F est dérivble sur et F = f. Exercice De quelle fonction l fonction x x ln x x + 4 est-elle une primitive? 2. Soit ( 0,..., n ) K n+1. Déterminer une primitive de l fonction x n k=0 k x k. Propriété 9. Si F et G sont deux primitives d'une fonction f, lors il existe une constnte λ telle que F = G + λ. Théorème 10 (Primitive & Fonctions continues). Soient f C (, K), et F : x s'nnulnt en. x f(t) dt. Alors, F est l'unique primitive de f Stnisls A. Cmnes

6 Chpitre 19. ntégrtion sur un segment MPS 1 Corollire 11. Soient f C (, K),, b et H une primitive de f. Alors, H(b) H() = Exercice 13. Soient 0 < < b deux réels. Déterminer 1. b sin t dt. 2. b 1 t dt. Corollire 12 (Théorème fondmentl du clcul différentiel). Soit f C 1 (, K). Pour tous, x, f(x) f() = x f (t) dt. b f(t) dt. Exercice 14. (Théorème de relèvement) Soit f C k (, C), k 1 telle que pour tout t, f(t) = 1. l existe une fonction α C k (, R) telle que pour tout t, f(t) = e iα(t). Stnisls A. Cmnes

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