Un verre à la forme d un cylindre de révolution de hauteur 10 cm et de diamètre 6 cm.

Transcription

1 Exercice : Calculer l aire de la figure ci-dessous sachant que DEF est un parallélogramme. Exercice : On considère trois cercles de rayon respectif cm, cm et cm. ) Calculer la valeur exacte puis la valeur approchée de chacun de ces disques. On arrondira les résultats au cm. ) Calculer la valeur exacte du périmètre de chacun de ces cercles. ) Si on double le rayon d un cercle, par combien son aire est-elle multipliée? 4) Si on double le rayon d un cercle, par combien son périmètre est-il multiplié? Exercice : Un verre à la forme d un cylindre de révolution de hauteur 0 cm et de diamètre 6 cm. ) Calculer la valeur exacte de son aire latérale. ) Calculer la valeur exacte de son volume V. ) On verse dans ce verre 5 cl d eau. Calculer la valeur exacte de la hauteur h d eau puis arrondir au cm près. Exercice 4 : Construire le patron d un cylindre de 5 cm de hauteur et dont le rayon de la base a pour longueur cm.

2 Exercice 5 : Une boite a la forme d un cylindre de révolution de hauteur 0 cm. On désigne par r le rayon de sa base. ) Compléter le tableau ci-dessous : r en cm Volume en cm (Valeur exacte) Le volume de la boite est-il proportionnelle au rayon de la boite? ) Compléter le tableau ci-dessous : r en cm ire latérale en cm (Valeur exacte) L aire latérale est-elle proportionnelle au rayon de la boite? roblème : On verse 4 L d eau dans une casserole cylindrique de cm de diamètre et de 7 cm de hauteur. L eau va-t-elle déborder la casserole? roblème : Le volume en cm d un cylindre de révolution est égal au double de son aire latérale en cm. Déterminer le rayon de ce cylindre. roblème : On remplir d eau une éprouvette de forme cylindrique de cm de rayon. On ajoute un caillou. Le niveau de l eau monte alors de 0 mm. Déterminer le volume du caillou.

3 roblème 4 : (Kangourou des collèges 005) Sur la figure ci-après, cinq cercles de même rayon se touchent. On a tracé le carré dont les sommets sont les aire rouge centres des quatre cercles extérieurs. Quel est le quotient? aire bleue roblème 5 : ) Calculer l aire du domaine colorié en bleu sachant que a + b + c. ) Calculer l aire du domaine colorié en bleu sachant que a + b c 0

4 ) Calculer l aire du domaine colorié en bleu sachant que c a b 00

5 Corrigé : De manière évidente, il n y a aucune formule toute faite pour calculer l aire de la figure d un coup. On va donc découper judicieusement la figure pour calculer l aire tout en s aidant du codage. On a + F BC + CD + FGE + DEF C où C est l aire du demi-disque de diamètre [HE]. BC B BC BC BC 4 6cm CD C CD CD CD 5 7,5cm FG C FGE FGE FGE 4 5 0cm H [DE] donc DE DH + HE DE + DE 6cm On en déduit que DEF DE C DEF DEF 6 5 0cm πr C C C C π 9π 4,5πcm Bilan : F F F BC + CD 6 + 7, ,5π 5,5 + 4,5πcm + FGE + DEF + C

6 Corrigé : ) π r π π r π π r π π (valeur exacte) 4π (valeur exacte) 9 π (valeur exacte) cm (valeur approchée) cm (valeur approchée) 8cm (valeur approchée) ) Rappel : πr πr π πcm πr π 4πcm πr π 6πcm ) Si on compare et, on peut conjecturer que l aire d un disque semble être multipliée par 4 lorsqu on double le rayon (on passe de π à 4 π ). Montrons le. L aire d un disque de rayon r est π r. L aire d un disque de rayon r π r π r Or ( ) π ( r ) π 4 r ( r) 4πr π π est ( r). On en déduit que l aire d un disque de rayon r est 4π r, c est-à-dire le quadruple d un disque de rayon r. 4) Si on compare et, on peut conjecturer que le périmètre d un cercle semble être multipliée par lorsqu on double le rayon (on passe de π à 4 π ). Montrons le. Le périmètre d un cercle de rayon r est π r. Le périmètre d un cercle de rayon r est π r c est-à-dire πr. On en déduit que lorsqu on double le rayon d un cercle, son périmètre est multiplié par.

7 Corrigé : ) Si le diamètre est de 6 cm, alors le rayon est de cm. On a π r h. L L L π 0 60π cm ) On a V π r h V π 0 V 90π cm ) On a 5 cl 50 cm. Le volume d eau versé est donc de 50 révolution de départ. On a donc 50 π 50 9π h h 50 h (valeur exacte) 9π h 9cm (valeur approchée) cm. L eau versée a évidemment la même forme que le cylindre de Corrigé 4 : Le patron du cylindre sera constitué de cercles et d un rectangle. Les deux cercles auront pour rayon cm. La largeur du rectangle sera de 5 cm. La longueur du rectangle est égale au périmètre du cercle. On a π r π,4,4,6 cm On obtient donc le patron ci-contre :

8 Corrigé 5 : ) On a V π r h V π r 0 Si r 4, on a : V π 4 0 V 60π cm Si r 8, on a : V π 8 0 V 640π cm Si r 6, on a : V π 6 0 V 560π cm On a donc : r en cm Volume en cm (Valeur exacte) 60π 640π 560π On a 4 8 et 60π 0π 640π donc le volume de la boite n est pas proportionnelle au rayon de la boite. ) On a π r h. L L π r 0. Si r 4, on a : L L π π cm Si r 8, on a : L L π π cm Si r 6, on a : L L π 6 0 0π cm On a donc : r en cm ire latérale en cm (Valeur exacte) 80π 60π 0π Le coefficient de proportionnalité pour passer de la ère ligne à la ième est 0π donc l aire latérale est proportionnelle au rayon de la boite. Corrigé roblème : Si le diamètre est de cm, alors le rayon est de 6 cm. On a donc V π 6 7 V 5π cm V 79 cm

9 Or L 0,75 L 75 cl 750 cm. 4 Comme 79 > 750, l eau ne débordera pas de la casserole. Corrigé roblème : L aire latérale d un cylindre de rayon R et de hauteur H est π RH. Le volume d un cylindre de révolution de rayon R est π R H Le volume du cylindre de révolution est égal au double de son aire latérale donc πr H 4πRH Cette égalité peut aussi s écrire : π R R H 4 π R H On en déduit donc que R 4 cm. Corrigé roblème : On a 0 mm cm. On a Vcaillou V final Vinitial V π r h π r h caillou final initial ( ) V π r h h caillou final initial Vcaillou Vcaillou π car h final hinitial 8π V 57 cm caillou et r Corrigé roblème 4 : Les cercles ont tous le même rayon et donc, par conséquent la même aire. Soit x l aire d un cercle. On a donc : aire bleue 4 x x. 4 On a aussi : aire rouge x + 4 x x + x x 4 aire rouge x On en déduit que. aire bleue x

10 Corrigé roblème 5 : our les trois questions, on prendra les notations suivantes : - b l aire du domaine colorié en bleu. - l aire du cercle de rayon a. - l aire du cercle de rayon b. - l aire du cercle de rayon c. ) On a b + + b π a + πb + πc b π ( a + b + c ) b π car a + b + c π b π L aire du domaine colorié en bleu est donc de π. ) On a b + - b πa + πb πc b π ( a + b c ) b π 0 car a + b c 0 b 0π L aire du domaine colorié en bleu est donc de 0 π. ) On a b - - b πc πa πb b π ( c a b ) b π 00 car c a b 00 b 00π L aire du domaine colorié en bleu est donc de 00 π.