EXERCICES ET PROBLÈMES Ch. 8 : Sections planes de solides

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1 XRS T PROÈMS h. 8 : Sections planes de solides : Oral : pplication : pprofondissement Parallélépipède rectangle 2 1 ans chacun des cas suivants, le parallélépipède rectangle est coupé par le plan (). ndiquer si ce plan est parallèle à une face ou à une arête et déterminer la nature et les dimensions lorsque cela est possible, de la section obtenue. On donne = 6cm, = 3 cm et = 4 cm Quelle est la nature de cette section? ustifier. 2. Représentez-la en grandeur réelle sachant que = 5 cm ; = 3 cm ; = 2 cm et que N est le milieu du segment []. 3 Un pavé droit est tel que = 6 cm ; = 4 cm et = 3 cm. M, N et P sont les milieux respectifs de [ ], [] et [] Quelle est la nature des quadrilatères NP et MN? ustifier la réponse. 2. omparer les aires de ces deux quadrilatères On considère un parallélépipède tel que = 6 cm, = 4 cm, = 5 cm. 1. aire une figure.

2 2. Soit M un point de [] tel que M = 4 cm et N un point de [] tel que N = 2 cm. e plan (NM) coupe le parallélépipède rectangle parallèlement à l arête []. ompléter la figure. Quelle est la nature du quadrilatère NM? 3. alculer la longueur M. rrondir au mm. 4. (a) essiner en vraie grandeur la face et placer le point M. (b) Vérifier le résultat précédent et tracer la section NM. ylindre de révolution 5 e cylindre, de hauteur 9 cm, a pour bases deux disques de rayon 3 cm, de centres O et O. est le milieu de [ ] et = 3 cm ; = 8 cm et = 5 cm. 1. onner une description de chacun des deux plans. 2. onstruire en vraie grandeur : (a) la section rouge ; (b) le triangle puis la section verte. 3. (a) alculer. (b) Vérifier cette longueur sur le dessin en vraie grandeur. 7 Un cylindre de révolution de rayon 3,4 cm et de hauteur 8 cm est coupé par un plan P parallèle à l axe du cylindre et situé à 1,8 cm de l axe. 1. Représenter cette situation par un schéma. 2. Quelle est la nature de la section obtenue? 3. Quelles sont les dimensions de cette section? rrondir au mm. 1. Quelle est la nature de la section si l on coupe le cylindre par un plan passant par : (a) les points, O et O? (b) le point (OO )? et perpendiculaire à l axe (c) le point, mais non par O, et parallèle à l axe (OO )? 2. ans le(s) cas où cela est possible, préciser les dimensions de la section. 8 Un cylindre de révolution a pour hauteur 5 m. On le coupe par un plan parallèle par un plan parallèle à son axe situé à 4 m de celui-ci. a section est un rectangle dont les dimensions sont 5 m et 24 m. alculer la longueur exacte du rayon du cylindre et donner son arrondi au centimètre. Pyramide et cône 9 est un cône de révolution de sommet S et de base un disque de centre O et de rayon 12 cm. 6 On a coupé par deux plans ce cylindre dont les bases sont deux disques de centres et ; les sections représentées l une en rouge, l autre en vert. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant par un point du segment [OS]. 1. Quelle est la nature de la section? 2. Où se trouve le point si cette section est un cercle de rayon :

3 (a) 4 cm? (b) 9 cm? (c) 12 cm? 3. ilou affirme : «a section peut être le point S». st-ce possible? 10 S est ybe otralude régulière à base carrée de côté 6 cm et de hauteur [SO] avec SO = 7,5 cm. 1. alculer le volume V 1 de ce cône au cm 3 près par défaut. 2. Soit M le point du segment [SO] tel que SM = 3 cm. On coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par M. alculer le rayon de cette section. 3. alculer le volume V 2 du petit cône de sommet S ainsi obtenu, au cm 3 près par défaut. 12 S est une pyramide dont la base est un rectangle de centre O, avec = 6 cm et = 5 cm. Sa hauteur [SO] mesure 5 cm. Un plan parallèle à la base coupe [SO] en de sorte que S = 2,5 cm. 1. a section est le quadrilatère MNP Q. (a) Quelle est sa nature? (b) alculer son aire de deux façons différentes. 2. (a) alculer le volume V de la pyramide S. (b) V est le volume de la pyramde SMNP Q. xprimer V en fonction de V. n déduire une valeur approchée du volume V. 11 e cône de révolution ci-dessous, de sommet S, a une hauteur [SO] de 9 cm et un rayon de base [O] de 5 cm. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le point de [SO] tel que S = 3 cm. 1. (a) Reproduire la représentation en perspective ci-contre et tracer la section. (b) Quelle est sa nature? (c) Quelles sont ses dimensions? 2. alculer le volume du tronc de pyramide. Problèmes 13 e quadrilatère MN est la section du parallélépipède du rectangle par un plan parallèle à l arrête []. 3 cm M 6 cm 2,6 cm N

4 1. Quelle est la nature du quadrilatère MN? 2. Tracer la face en vraie grandeur et placer le point N, puis mesurer la longueur N. 3. (a) alculer les longueurs N, puis N. rrondir au mm?. (b) omparer avec la mesure de N obtenue à la question On considère un rectangle tel que : = 4 cm et = 4,8 cm. e rectangle est la section d un cylindre de révolution de hauteur 4,8 cm et de rayon 2,5 cm par un plan P parallèle à son axe (OO ). es points et appartiennent à la base de centre O. On appelle le milieu de []. 1. Représenter cette situation par un schéma. 2. Représenter en vraie grandeur la face de centre O et placer les points et. 3. alculer la distance entre le point O et le plan P. 15 On considère un cône de révolution de hauteur 12 cm et de rayon de base 7 cm. On souhaite couper ce cône par un plan parallèle à sa base pour obtenir une section de rayon 4 cm. À quelle distance du sommet doit être situé le plan de coupe? rrondir au mm. 16 On a caché des boîtes de conserve cylindriques sous ds cônes en papier de hauteur 30 cm. ombien de cônes peut-on placer sur l étagère? Vu au brevet 17 Polynésie 2007 unité est le centimètre. est un parallélépipède rectangle. ans ce parallélépipède, on a construit le prisme droit dont la base est le triangle rectangle en. On donne : = 9 ; = 7 ; = 6 ; = 2. es droites ( ) et () sont parallèles. a figure n est pas en vraie grandeur. 1. Montrer que = alculer en justifiant et arrondir au dixième. 3. alculer le volume du prisme droit. (Rappel : Volume V d un prisme droit : V = h où est l aire de la base ; h est la hauteur du prisme). 18 mérique du Sud 2009 e cube représenté ci-contre est un cube d arête 6 cm. R M P N haque boîte a un rayon de base de 4,8 cm et une hauteur de 12 cm. es cônes sont disposés en ligne, les uns à côté des autres, sur une étagère de 1,50 m de long. On considère les points : M milieu de l arête [ ] ; N milieu de l arête [ ] ; P milieu de l arête [] ; R milieu de l arête [].

5 1. (a) Quelle est la nature du triangle RM? (b) onstruire ce triangle en vraie grandeur. (c) alculer la valeur exacte de RM. 2. On coupe le cube par le plan passant par R et parallèle à l arête []. a section est le quadrilatère RMNP. (a) Quelle est la nature de la section RMNP? (b) onstruire RMNP en vraie grandeur. (c) onner ses dimensions exactes. 19 Portugal 2009 Pour la pyramide S ci-contre, la base est le rectangle de centre O. On a = 3 cm et = 5 cm. a hauteur [SO] mesure 6 cm. 1. xprimer le volume du cylindre en fonction de π. 2. On creuse dans ce cylindre un cône de rayon 4 cm et de hauteur 18 cm. Montrer que, en cm 3, la valeur exacte de la partie restante est 552π. 3. Quelle fraction du volume du cylindre le volume restant représente-t-il? xprimer cette fraction en pourcentage ; l arrondir au dixième. 1. Montrer que = 4 cm. 2. alculer le volume de la pyramide S en cm Soit O le milieu de [SO].On coupe la pyramide par un plan passant par O et parallèle à sa base. (a) Quelle est la nature de la section obtenue? (b) a pyramide S est une réduction de la pyramide S. onner le rapport de cette réduction. (c) alculer le volume de la pyramide S. 20 entres étrangers 2006 On considère un cylindre en bois de diamètre 12 cm et de hauteur 18 cm.