Equations et inéquations de 1 er degré

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1 Equations et inéquations de 1 er degré I Rappels : Toute équation d inconnue «x» pouvant s écrire, après transformation sous forme ax + b 0 est une équation du premier degré à une inconnue. Si a 0, l équation du 1 er degré à une inconnue ax + b 0 admet pour unique solution le nombre a b. Exemple : Résoudre l équation suivante : x ( x + 5 ) 8 + ( x - ) On développe : On transpose : On réduit l expression : La solution est : S { } Conclusion : Méthode de résolution Non Y-a-t-il un Oui dénominateur? Réduire tous les termes au même dénominateur Multiplier les deux membres par le dénominateur commun Développer, puis réduire chaque membre Grouper les termes contenant l inconnue dans un membre, les autres termes dans l autre Réduire chaque membre Multiplier les deux membres par l inverse du coefficient de l inconnue

2 Exercices : Résoudre les équations suivantes : 1 x - 5 x + ; 4 x x - 5 ( x - ) + x 6 ; ( x - 1 ) - 4 ( x - ) x + x x ; x x 1 6 x + 4x 1 9 x + 7 ; x x 5 9 (x - 4 ) + x II Résolution d un problème à l aide d une équation : 1 - Méthode : Un problème posé par une situation, notamment professionnelle, peut se traduire par une équation ou une inéquation. Pour résoudre un tel problème, il faut traiter les 4 points suivants : 1 Lire et analyser l énoncé pour choisir une inconnue. Etablir l équation ou inéquation traduisant la situation. Résoudre l équation ( ou inéquation ). 4 Vérifier si le résultat est conforme au problème posé. Enoncer le résultat. - Applications : Activité 1 : Une somme de F est payée avec 98 billets, les uns de 500 F, les autres de 00 F. On veut déterminer le nombre de billets de chaque sorte. Activité : Une entreprise compte 56 salariés. Elle veut se développer et amener son effectif à 88 personnes. Quel est le pourcentage d augmentation de l effectif? Activité : Le personnel soignant d un service hospitalier est composé de 84 personnes : médecins, infirmières, aide soignantes. Il y a 4 fois moins de médecins que d infirmières et neuf fois plus d aide soignantes que de médecins. En déduire le nombre de personnes de chaque catégorie. Soit x le nombre de médecins.

3 III Equation se ramenant au premier degré : 1 - Cas 1 : Résoudre l équation suivante : (x - 1 ) + ( x + 4 ) ( x - 1 ) 0 Si on développe et réduit le premier membre, l équation devient : On obtient une.. Il est plus simple de mettre le premier membre sous forme d un produit de facteurs en mettant ( x - 1 ) en facteur. On a alors : On sait que : un produit de facteurs est nul, il faut et il suffit que l un des facteurs soit nul. - Exercices : Résoudre les équations suivantes : ( x + 5 ) ( x - 4 ) 0 x ² - 9 x 0 ( x + ) ( 5 x 7 ) ( x + 1 ) 0 IV Inéquation du premier degré : 1 - Méthode de résolution : ( Rappels ) Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue : - On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d une inéquation ( on transpose un terme d un membre dans l autre en changeant de signe ). - Si on multiplie ou divise les deux membres, par un nombre strictement positif, on conserve le sens de l inéquation. - Si on multiplie ou divise les deux membres, par un nombre strictement négatif, on change le sens de l inéquation. - On représente l ensemble des solutions : - par un intervalle - par une représentation graphique.

4 - Exemple : Résoudre l inéquation suivante : x x x - 5 x On réduit tous les termes au même dénominateur : On multiplie tous les termes par 4 pour supprimer le dénominateur : On transpose : On divise les termes par un même nombre : On donne l ensemble des solutions : - Exercice : Résoudre les inéquations suivantes : 4 ( x + 1 ) x x + > x x 7 x x 4 x - 4 x 1 6 x x 0 > 5

5 V Systèmes d inéquations à une inconnue : 1 - Exemple : Exemple de résolution Règles et méthodes 5x + 1 x x + 7 4x soit : L accolade indique qu il faut rechercher les réels x qui sont solutions de l inéquation (1) et de l inéquation (). On résout chaque inéquation soit : soit : S 1 et S On représente la solution graphique de chaque inéquation sur un axe commun. - Exercices : Résolvez les systèmes d inéquations suivants : ( x - 1 ) 5 ( 1 + x ) 7 x + 9 x - x - 1 x + 4 x + 5 x - 8 x - 1 x + 14 x x + 11 x x x + 1 x -

6 Classe : 1 CO, 1 ESTH Mathématiques : Contrôle N 9 Le : I - Résoudre les équations suivantes : x - + x + 5 x - 1 ( x + 1 ) ( x - 5 ) ( 8 - x ) 0 5 (x - 7 ) 1 (x -1 ) 8 x 6 + ( x 1) x x ( x 4) - x 5 - x II - Résoudre les inéquations suivantes : x x x + 15 ( x - 1 ) 4 ( x - ) + 15 x x < x III - Déterminer l ensemble des solutions communes aux deux inéquations : x + ( x -1 ) < x - x + 5 ( x - ) IV - Plusieurs amis veulent offrir un disque à Christian pour son anniversaire. Si, chacun verse 0F, il manque 1. Si, chacun verse 5F, il y a 18F de trop. Déterminer le nombre d amis de Christian. En déduire le prix du disque.

7 Classe : 1 CO, 1 ESTH MATHEMATIQUES : Contrôle N 9 Le : I Résolvez les équations suivantes : 5 ( x ) ( 1 7 x ) 1 /1,5 ( x 1 ) + 5 ( x ) ( x + 9 ) + 4 /1,5 x + 1 x 1 - / ( x + 1 ) + ( - x ) ( 4 - x ) / 1 ( x - 5 ) ( 7 x + 1 ) + ( x - 5 ) ( - x ) 0 / II Résolvez les inéquations suivantes : ( x 1 ) ( x + ) 1 / 1 5x 5 x / III Résolvez le système d inéquations suivant : ( x - 1 ) 5 ( 1 + x ) / 7 x + 9 x - IV Paul possède une somme de francs. La somme dont il dispose vérifie l équation : ( 1 x - 10 ) Parmi ces affirmations suivantes, quelle est celle qui correspond à cette équation? Affirmation 1 : «Les deux tiers de la somme que je possède moins 0F font 150F». Affirmation : «Si je prends deux fois la somme que je possède, j obtiens 150F». Affirmation 1 : «Si je prends deux fois le tiers de la somme que je possède et que je retire 10F, j obtiens 150F». Résolvez l équation : ( 1 x - 10 ) 150 /

8 Classe : 1 PCOM MATHEMATIQUES : Contrôle N Le : I Résolvez dans l ensemble des réels les équations suivantes : 5 ( x ) ( 1 7 x ) 1 /1,5 x x 1 5 / ( x - 5 ) ( 7 x + 1 ) + ( x - 5 ) ( - x ) 0 / 1 x + 1 x + ( * ) / ( * ) On précisera dans quel ensemble les calculs sont légitimes. II Résolvez dans l ensemble des réels les inéquations suivantes : ( x 1 ) ( x + ) 1 /1,5 1 5x 5 x / III Résolvez à l aide d un tableau de signe l inéquation : ( x - ) ( + x ) 0 / IV Une commune doit recevoir de la part de l état, en 1999, une certaine dotation d ( soit F ). Si cette commune peut prouver que sa population de 1999, notée P est supérieure à sa population de 1998, notée P, elle recevra la dotation D donnée par la relation : P' P D d ( 1 + 0,5 ) ( 1 ) P Pour P 000 habitants, quelle devrait être la nouvelle population P pour que l augmentation en % de la dotation soit égale à 6%? Aide : - Déterminez le montant de la dotation D, après 6% d augmentation. /4 - Remplacer D, d, P par leur valeur dans la relation ( 1 )