Le principe multiplicatif (notion 2)
|
|
- Charles Thibault
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 L indépendance (notion 1) (source : académie d Aix-Marseille) Le programme est très clair à ce sujet : «La notion de probabilité conditionnelle est hors programme» Mais pour aborder la loi binomiale, il est inévitable de préciser les conditions de la répétition d expériences aléatoires. L énoncé usuel consiste à dire qu on étudie la répétition d expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues. L idée à transmettre est que : «Des expériences sont considérées comme indépendantes si la réalisation d une issue de l une d elles ne modifie pas les probabilités des issues de celles qui suivent» Elle peut être dégagée par des exemples simples de tirages répétés avec ou sans remise, comme dans la situation suivante : Une urne contient 2 boules blanches et 1 boule noire indiscernables au toucher Tirage de deux boules avec remise Tirage de deux boules sans remise On voit bien alors que c est la modification des conditions initiales du deuxième tirage, entraînée par l absence de remise, qui remet en cause l indépendance. Le principe multiplicatif (notion 2) «Pour la répétition d expériences identiques et indépendantes, la probabilité d une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.» Cette notion de produit des probabilités est le second point clé. Il y a déjà eu prise de contact les années précédentes : Expériences à deux épreuves en 3ème. Equiprobabilité, utilisation d arbres, diagrammes et tableaux en 2 nde pour le calcul des probabilités. Sur ce travail fait en amont, le principe multiplicatif peut être facilement accepté par les élèves. La multiplication sur les branches correspondant à un dénombrement visuel. Le cas de l équiprobabilité reposant sur ce dénombrement, il n y a pas vraiment de difficultés. Mais qu en est-il dans une situation non équiprobable où la multiplication des probabilités n est pas directement liée à ce dénombrement? Ce préambule est indispensable avant l introduction de la loi binomiale. Elle ne doit pas arriver comme une recette miracle, mais au contraire comme un outil se suppléant au mécanisme de l arbre qui pourrait représenter un travail Probabilités 1
2 fastidieux dans le cas d un nombre élevé de répétitions (n>4 comme le suggère le programme). Elle ne sera vécue comme un outil pratique de simplification que si le travail sur les arbres est bien maîtrisé et son aspect répétitif évident. «La représentation à l aide d un arbre est privilégiée : il s agit ici d installer une représentation mentale efficace» Propriété des coefficients binomiaux (notion 5) n n n 1 Comment démontrer la formule k k1 k1? Le mieux est de reconstruire un arbre pour 4 répétitions, mais cette fois-ci non pas pour dénombrer mais pour comprendre le mécanisme de construction des chemins lorsque l on répète l expérience. Le but est de ne pas construire l arbre, mais d anticiper la répétition : un succès va donner naissance à un succès et à un échec. Après l expérience initiale : Nous aurons donc à la répétition suivante : 2 succès : il y avait déjà un succès au départ et on suit la branche succès. 1 succès : soit il y avait 1 succès au départ et on suit la branche échec soit il y avait 0 succès au départ et on suit la branche succès 0 succès : il y avait déjà 0 succès au départ et on suit la branche échec Après la première répétition : Nous aurons donc à la répétition suivante : 3 succès : il y avait déjà 2 succès avant et on suit la branche succès. 2 succès : soit il y avait 2 succès avant on suit la branche échec soit il y avait 1 succès avant et on suit la branche s 1 succès : soit il y avait 1 succès avant on suit la branche échec soit il y avait 0 succès avant et on suit la branche succès 0 succès : il y avait 0 succès avant et on suit la branche échec. etc. Ce qui nous amène à la généralisation suivante : Après n répétitions : - chacun des chemins amenant à k succès donnera naissance à : k succès si on suit la branche échec de l arbre k+1 succès si on suit la branche succès de l arbre. - chacun des chemins amenant à k+1 succès donnera naissance à : k+1 succès si on suit la branche échec de l arbre k +2 succès si on suit la branche succès de l arbre. Ainsi le nombre de chemins à k+1 succès parmi n+1 répétitions est égale à la somme des nombres de chemins à k succès et à k+1 succès parmi n répétitions. La formule n est plus qu à traduire en utilisant juste la notation du nombre de chemins réalisant k succès parmi n répétitions. Toute référence aux combinaisons et aux factorielles étant proscrite. La construction du triangle de Pascal peut donc se faire simultanément puisqu elle s appuie sur cette propriété. Il pourrait être intéressant de le compléter au fur et à mesure que l on travaille sur les arbres, voire même le présenter comme un tableau de bilan à remplir au fur et à mesure que l on avance dans ce travail. Probabilités 2
3 Nombre de succès Nombre de répétitions = =3 2+1= Remarque : la propriété de symétrie ne pose pas vraiment de problème en remarquant que k succès correspondent à n-k échecs, il y a donc autant de chemins menant à k fois une des deux issues et à n-k fois l autre. Exercice 1 : Le principe multiplicatif (notion 2) Exercices Une urne contient 2 jetons blancs et 1 jeton noir indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard et on note sa couleur avant de le remettre dans l urne et de recommencer l expérience une fois. X est la variable aléatoire égale au nombre de jetons blancs tirés. Déterminer la loi de probabilité de X. Exercice 2 : Problème fil rouge «Autour de la loi binomiale» Partie A : (notion 3) Un feu tricolore a les caractéristiques suivantes : le vert et le rouge durent 24 secondes, mais le feu orange dure 12 secondes. 1. On arrive «au hasard» devant le feu et on observe sa couleur. Comment simuler cette expérience à l aide d une boîte contenant des jetons? 2. Un conducteur emprunte un itinéraire comportant quatre feux successifs non synchronisés, indépendants les uns des autres, et possédant les caractéristiques précédentes. Le conducteur, respectueux du code de la route, s arrête dès qu il rencontre un feu rouge ou orange. L expérience est terminée dès que le conducteur s arrête ou qu il a franchi les quatre feux verts. Représenter l expérience à l aide d un arbre. 3. On numérote les quatre feux successifs de 1 à 4. On s intéresse maintenant au numéro du feu qui provoque le premier arrêt. On appelle X la variable aléatoire égale au numéro du feu provoquant le premier arrêt. S il n y a pas d arrêt (c est à dire si les quatre feux sont verts) on convient de dire que X prend la valeur 0. Donner la loi de probabilité de X. Partie B : (notion 4) Les données sont les mêmes que celles de la partie A. 1. On appelle Y la variable aléatoire qui compte le nombre d'arrêts sur le trajet lors du franchissement des quatre feux. Déterminer la loi de probabilité de Y en utilisant un arbre pondéré et compléter le tableau suivant : k P(Y=k) 2. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire Y et interpréter cette valeur. Partie C : (Scénario pour une conjecture sur l espérance) (notion 6) La loi de Y est une loi binomiale de paramètres n et p. On réalise à l aide d un tableur 500 expériences correspondant à ce modèle. Pour chaque expérience, on compte le nombre de succès, puis on fait la moyenne des résultats obtenus sur les 500 expériences. Ceci permet d estimer pour différentes valeurs de n et p la valeur de l espérance mathématique de Y, puis de conjecturer la formule générale donnant cette espérance. p = 0,2 p = 0,4 p = 0,6 p = 0,8 n = 10 n = 20 Probabilités 3
4 Exercice 3 : (Intervalle de confiance, intervalle de fluctuation) : (notion 7) A la veille du second tour d une élection présidentielle opposant deux candidats A et B, un institut de sondage souhaite estimer la probabilité que le candidat A soit élu. On fait l hypothèse que les suffrages des différents électeurs sont indépendants et que la probabilité que chacun d entre eux vote A au second tour est p. 1) L institut de sondage désire obtenir une estimation à maximum + ou 3 % du score du candidat A à ce second tour. a) Combien d électeurs doit-il sonder au minimum pour obtenir un intervalle de confiance à 95 % pour son estimation? b) On considère que cet institut effectue un sondage auprès de électeurs parmi lesquels 563 se déclarent en faveur de A (on suppose que tous les électeurs se prononcent). Déterminer l estimation p obs de p que l on peut faire du score de A à ce second tour, puis déterminer un intervalle de confiance à 95 % de p. 2) Monsieur A annonce que 52 % des électeurs lui font confiance. On interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu il s agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 5 %, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Mr A, dans un sens ou dans l autre. a) On fait l hypothèse que Mr A dit vrai et que la population des électeurs qui lui font confiance dans la population est p=0,52. Montrer que la variable aléatoire X, correspondant au nombre d électeurs lui faisant confiance dans un échantillon de 100 électeurs, suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,52. b) On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p(x k) où X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,52. b1) Déterminer a et b tels que : a est le plus petit entier tel que p(x a)>0,025 b est le plus petit entier tel que p(x b)>0,975. b2) Comparer l intervalle de fluctuation à 95 %,, ainsi obtenu grâce à la loi binomiale, avec l intervalle. k p(x k) 40 0, , , , , , , ,9941 c) Enoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l hypothèse p=0,52, selon la valeur de la fréquence f des électeurs favorables à Mr A obtenue sur l échantillon. d) Sur les 100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Mr A. Peut-on considérer, au seuil de 5 %, l affirmation de Mr A comme exacte? Exercice 4 : (Loi binomiale et prise de décision) : (notions4 et 8) On s intéresse au chiffre d affaire journalier d un hypermarché pendant 30 jours ouvrables, et on choisit une journée au hasard. On suppose que les 30 tirages d un chiffre d affaire journalier sont indépendants. On sait que 24,8 % des chiffres d affaires journaliers dépassent euros. Soit X la variable aléatoire qui mesure, sur 30 jours ouvrables, le nombre de jours où le chiffre d affaire dépasse euros. 1) a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité de l événement " X 1 ". 2) La direction de l hypermarché engage une campagne publicitaire. Au vu des chiffres d affaires journaliers des 30 jours ouvrables suivant cette campagne, elle annonce que 7 d entre eux dépassent euros. Peut-on mettre en doute le pourcentage annoncé par la direction? Probabilités 4
5 Exercice 5 : (notion 8) Un échantillon de 200 personnes est extrait, au hasard et avec remise, de la population constituée par les employés d une grande entreprise. Le tableau suivant décrit la distribution des salaires annuels bruts de ces 200 employés, en On suppose que la répartition des salaires est uniforme à l intérieur de chaque classe. salaires en milliers d euros [8;16[ [16;24[ [24;32[ [32;40[ [40;48[ effectif ) On considère un employé choisi au hasard dans cet échantillon. Quelle est la probabilité que son salaire annuel brut en 2010 soit strictement inférieur à euros? 2) Calculer la moyenne et l écart type σ des salaires pour l échantillon de 200 personnes décrit dans le tableau 3) Le directeur de l entreprise affirme que 52 % des salaires de ses employés dépassent euros On interroge 40 employés au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu il s agit de tirages avec remise). Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre des personnes parmi ces employés dont le salaire annuel brut, en 2010, est supérieur ou égal à euros. a) Déterminer la loi suivie par X, puis calculer l espérance mathématique E(X) de cette variable aléatoire. b) Enoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l affirmation du directeur au seuil de 5 %. Eléments de correction : Exercice 3 : 1) a) et b) p obs = et [0,476 ; 0,536] 2) a)on lit a=42 et b=62. b) les intervalles sont identiques. c) Si f appartient à l intervalle [0,42 ; 0,62], l hypothèse p=0,52 est acceptable, sinon, l hypothèse p=0,52 est rejetée au seuil de 5%. d) 0,43 appartient à l intervalle [0,42 ; 0,62], on considère que l affirmation de Mr A est exacte. Exercice 4 : 1) b) p(x 1 )=1-p(X=0)=1-0, ,9998 à 10-4 près. 2) f = à 10-3 près, p=0,248, et à 10-4 près et 0,233 appartient à l intervalle [0,066 ; 0,430]. L affirmation est exacte. Exercice 5 : 1) p=0,95 2) et donc à 10-2 près. 3) a) X = B(40;0,52) et E(X)=40 0,52=20,8. b) p obs =, à 10-3 près par excès et à 10-3 près par défaut, 0,55 appartient à l intervalle [0,362 ; 0,678]. Probabilités 5
I. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailTESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple
TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses
Plus en détailExercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010
Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailProbabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailExercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu une personne a le sida lorsqu elle l a vraiment et révèle incorrectement,
Plus en détailExemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.
Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir
Plus en détailLois de probabilité. Anita Burgun
Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détailLES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires
Plus en détailP1 : Corrigés des exercices
P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à
Plus en détailUniversité Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité
Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailEXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG
Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détail4. Exercices et corrigés
4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détail1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.
Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailActuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.
Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement
Plus en détailRessources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée général et technologique Ressources pour la classe de terminale générale et technologique Exercices de mathématiques Classes de terminale S, ES, STI2D, STMG Ces documents
Plus en détailFeuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.
Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences
Plus en détailCALCUL DES PROBABILITES
CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailChapitre 3 : INFERENCE
Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailUFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES
Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailLes nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines
Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement,
Plus en détailAlgorithmique avec Algobox
Algorithmique avec Algobox Fiche 2 Cette fiche est la suite directe de la première. 1. Instructions conditionnelles : 1.1. Reprise de la fiche 1 : Lecture d'un algorithme : ORDINATEUR INTERDIT : Après
Plus en détailLa simulation probabiliste avec Excel
La simulation probabiliste avec Ecel (2 e version) Emmanuel Grenier emmanuel.grenier@isab.fr Relu par Kathy Chapelain et Henry P. Aubert Incontournable lorsqu il s agit de gérer des phénomènes aléatoires
Plus en détailDENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES
BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue
Plus en détailPlan général du cours
BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE PROBABILITES Plan général du cours 1. Dénombrement et combinatoire (permutations, arrangements, combinaisons). 2. Les probabilités
Plus en détail- 08 - PREVISION DU BESOIN EN FONDS DE ROULEMENT - PRINCIPES
- 08 - PREVISION DU BESOIN EN FONDS DE ROULEMENT - PRINCIPES Objectif(s) : o o Pré-requis : o Modalités : Relation Besoin en Fonds de Roulement (B.F.R.) et Chiffre d'affaires (C.A.), Eléments variables
Plus en détailLes probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.
Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailCorrigé des TD 1 à 5
Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailLa nouvelle planification de l échantillonnage
La nouvelle planification de l échantillonnage Pierre-Arnaud Pendoli Division Sondages Plan de la présentation Rappel sur le Recensement de la population (RP) en continu Description de la base de sondage
Plus en détailREGLEMENT COMPLET Jeu «Gagnez un séjour Thalasso» Du 31 mars au 24 mai 2014
REGLEMENT COMPLET Jeu «Gagnez un séjour Thalasso» Du 31 mars au 24 mai 2014 Article 1 Organisation et thème Eovi-Mcd mutuelle, mutuelle ayant son siège social 44 rue Copernic, 75016 Paris, soumise aux
Plus en détailMesure de probabilité, indépendance.
MATHEMATIQUES TD N 2 : PROBABILITES ELEMENTAIRES. R&T Saint-Malo - 2nde année - 2011/2012 Mesure de probabilité, indépendance. I. Des boules et des cartes - encore - 1. On tire simultanément 5 cartes d
Plus en détailmathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques SÉRIE ES ANNALES DES SUJETS DE MATHÉMATIQUES SESSION 2013
mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détail9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Plus en détailEstimation et tests statistiques, TD 5. Solutions
ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détailPOKER ET PROBABILITÉ
POKER ET PROBABILITÉ Le poker est un jeu de cartes où la chance intervient mais derrière la chance il y a aussi des mathématiques et plus précisément des probabilités, voici une copie d'écran d'une main
Plus en détailIncluant l analyse du patrimoine. Description du rapport (Couple seulement)
Incluant l analyse du patrimoine Description du rapport (Couple seulement) Révisé le 25 mai 2011 Table des matières 1. Introduction... 3 1.1 Le rapport PRO et Patrimoine : outil privilégié de communication
Plus en détailLES REPRESENTATIONS DES NOMBRES
LES CARTES A POINTS POUR VOIR LES NOMBRES INTRODUCTION On ne concevrait pas en maternelle une manipulation des nombres sans représentation spatiale. L enfant manipule des collections qu il va comparer,
Plus en détailEstimation: intervalle de fluctuation et de confiance. Mars 2012. IREM: groupe Proba-Stat. Fluctuation. Confiance. dans les programmes comparaison
Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance Mars 2012 IREM: groupe Proba-Stat Estimation Term.1 Intervalle de fluctuation connu : probabilité p, taille de l échantillon n but : estimer une fréquence
Plus en détailRéseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté
Plus en détailArbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement
Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailAndrey Nikolaevich Kolmogorov
PROBABILITÉS La théorie des probabilités est née de l étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D'ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe «az-zahr» signifiant dé à jouer. On attribue au mathématicien
Plus en détailPlus petit, plus grand, ranger et comparer
Unité 11 Plus petit, plus grand, ranger et comparer Combien y a-t-il de boules sur la tige A? Sur la tige B? A B Le nombre de boules sur la tige A est plus grand que sur la tige B. On écrit : > 2 On lit
Plus en détailVous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre
Vous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre plein les poches. Problème : vous n êtes pas seul!
Plus en détailSondage sur le travail de conseiller d arrondissement et de conseiller municipal
Sondage sur le travail de conseiller d arrondissement et de conseiller municipal Mémoire déposé dans le cadre des consultations citoyennes sur le projet de réforme de la gouvernance du Renouveau Sherbrookois
Plus en détaildénombrement, loi binomiale
dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................
Plus en détailAnnexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles
Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans
Plus en détailStatistiques II. Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch. Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110. http://campus.hesge.
Statistiques II Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110 http://campus.hesge.ch/caboussata 1 mars 2011 A. Caboussat, HEG STAT II, 2011 1 / 23 Exercice 1.1
Plus en détailDéfinition, typologie et méthodologie d évaluation des avantages immatériels dans le cadre du service universel postal
Mai 2010 Définition, typologie et méthodologie d évaluation des avantages immatériels dans le cadre du service universel postal Synthèse des principaux résultats de l étude confiée au cabinet WIK-Consult
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès
Plus en détailFONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE. Mathématiques financières
FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE Mathématiques financières A1. Résoudre des problèmes comportant des intérêts composés dans la prise de décisions financières. [C, L, RP, T, V] Résultat d apprentissage
Plus en détailIndépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles
Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention
Plus en détailRèglement organique d un fonds provincial d études
Interventions sociales Règlement organique d un fonds provincial d études BENEFICIAIRES Article 1 er Le fonds est destiné à octroyer les prêts à des jeunes gens bénéficiant ou non d une bourse d études
Plus en détailAnalyse Combinatoire
Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien
Plus en détailBOURSE AU PERMIS DE CONDUIRE
Paris, le 5 février 2008 BOURSE AU PERMIS DE CONDUIRE Le dispositif consiste dans la prise en charge par la commune d une partie du coût du permis de conduire en échange d une activité bénévole d intérêt
Plus en détailGestion d'une billeterie défilé des talents
Jean HENRI Gestion d'une billeterie défilé des talents version 0.3 5 novembre 2013 STS Services Informatiques aux Organisations Lycée St Joseph - Bressuire Sommaire 1 Introduction... 1 2 Présentation
Plus en détailLe Rectorat de la Haute école spécialisée de Suisse occidentale,
Règlement de filière du Bachelor of Science HES-SO en International Business Management Version du 14 juillet 2015 Le Rectorat de la Haute école spécialisée de Suisse occidentale, vu la convention intercantonale
Plus en détailPRIX DE VENTE À L EXPORTATION GESTION ET STRATÉGIES
PRIX DE VENTE À L EXPORTATION GESTION ET STRATÉGIES Direction du développement des entreprises et des affaires Préparé par Jacques Villeneuve, c.a. Conseiller en gestion Publié par la Direction des communications
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE
UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction
Plus en détailSciences de Gestion Spécialité : SYSTÈMES D INFORMATION DE GESTION
Sciences de Gestion Spécialité : SYSTÈMES D INFORMATION DE GESTION Classe de terminale de la série Sciences et Technologie du Management et de la Gestion Préambule Présentation Les technologies de l information
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailToute modification de l accord de Participation doit faire l objet d un avenant à l accord initial conclu selon les mêmes modalités et d un dépôt à
La Participation Dispositif d épargne collectif obligatoire dans les entreprises de 50 salariés qui consiste à distribuer une partie des bénéfices annuels. 1 Champ d application La participation est obligatoire
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détail