APPLICATION DE L APPROCHE EQUAL PILES A L EQUILIBRAGE DES LIGNES D'ASSEMBLAGE

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1 3 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton Concepton, Analyse et Geston des Systèmes Industrels MOSIM 0 du 5 au 7 avrl 00 - Troyes (France) APPLICATION DE L APPROCHE EQUAL PILES A L EQUILIBRAGE DES LIGNES D'ASSEMBLAGE Brahm REKIEK, Alan DELCHAMBRE Servce de Mécanque Analytque et CFAO, Unversté lbre de Bruxelles (ULB). Av. F.D. Roosevelt 50, CP65/4, B-050 Bruxelles, Belgque Mél : brekek@ulb.ac.be RESUME : Dans cet artcle, nous présentons un nouvel algorthme pour trater le problème d équlbrage des lgnes d assemblage mono-produt. L algorthme est basé sur l approche EQUAL PILES. L dée est de grouper un ensemble d objets dans des ples dont le nombre et la talle sont fxés. La talle des ples est égale à la somme de la talle des objets à grouper dvsée par le nombre de ples. Une ple est l équvalent d une staton d assemblage. L objectf est d assgner des tâches à un nombre fxe de statons de telle manère que la charge de traval sur chaque staton sot auss équlbrée que possble. L heurstque utlse un algorthme génétque de groupement (GGA). Le but est d amélorer la qualté de la lgne d assemblage en termes d équlbrage, et de convenance aux préférences de l utlsateur. Dans cet artcle nous décrvons les concepts essentels de la méthode. L heurstque a été testée sur un ensemble de problèmes tests et les résultats obtenus sont présentés. MOTS-CLES : équlbrage des lgnes d assemblage, algorthme génétque de groupement.. INTRODUCTION Les lgnes d assemblage (LA) sont utlsées dans des envronnements de producton en masse. Elles permettent l assemblage de produts complexes de façon manuelle, robotsée ou dédcacée. L objectf prncpal du concepteur de systèmes d assemblage est d augmenter l effcacté des lgnes en maxmsant le taux de producton et en mnmsant le coût de la lgne. L assemblage étant une actvté stratégque, le concepteur est confronté au problème de l équlbrage de la lgne (ALB). Le problème d équlbrage présente deux varantes: () mnmser le nombre de statons pour un temps de cycle fxe, () équlbrer la charge pour un nombre de statons fxe. S l on se place dans le cas où le nombre de statons est fxé, l équlbrage des lgnes peut avor deux objectfs: rédure le temps de cycle (SPALB- ) ou égalser la charge des statons (EPAL). Pusque les objectfs ne sont pas les mêmes, les résultats sont généralement dfférents. Le premer rédut la charge maxmale des statons et mène à des lgnes non équlbrées, tands que le second donne un melleur équlbrage. Pour llustrer cec, supposons que nous ayons 3 statons, et soent les deux solutons suvantes, exprmées par la charge de tros statons: {, 30, 30} et {5, 5, 3}. Le premer est melleur selon le SALBP- (Scholl, 999), par contre le second est melleur selon notre formulaton. Cet artcle se penche sur la problématque EPAL. Le paragraphe donne un bref aperçu des méthodes d équlbrage des LAs. Le paragraphe 3 défnt le problème d équlbrage des LAs. Le paragraphe 4 décrt l approche EQUAL PILES. Dans le paragraphe 5, une applcaton de la méthode est présentée. Nous termnons par des conclusons et des travaux futurs.. ETAT DE L ART L équlbrage des lgnes d assemblage, va la réducton du nombre de statons ou du temps de cycle est l approche tradtonnelle pour l élaboraton d une premère ébauche de la lgne d assemblage. Baybars (Baybars, 986) a fat un état de l art sur les approches optmales du ALB. Le problème EQUAL PILES a été défn par Jones et Beltramo (Jones et Beltramo, 99) comme sut: étant donné un ensemble de N objets de dverses talles, le but est de dstrbuer les objets dans K ples de telle manère que leur remplssage sot le meux équlbré. Pour résoudre ce problème, Falkenauer (Falkenauer, 995) a présenté un GA combné à une heurstque qu permet de classer les objets par ordre décrossant. Le remplssage de chaque ple commence par un objet prs au hasard, les objets restants sont ensute assgnés aux ples sur la base de leur talle. Mînzu (Mînzu et Henroud, 997) ont proposés l algorthme Kangaroo (une méthode stochastque) pour trater le problème des lgnes mult-produts avec un nombre fxe de postes de traval. Le but est de rédure au mnmum le temps nactf des statons en rédusant la charge maxmale des statons. L algorthme utlse des durées stochastques, et des contrantes de précédence entre les tâches. Scholl (Scholl, 999) a présenté un algorthme branch-and-bound (appelé SALBP-) pour résoudre le problème d équlbrage des lgnes

2 MOSIM 0 du 5 au 7 avrl 00 - Troyes (France) d assemblage avec un nombre fxe de statons. Son objectf état de maxmser la cadence de producton, en rédusant le temps de cycle pour un nombre de statons fxé, cela en respectant des contrantes de précédence entr e les tâch'es. Afn de trater le SALBP-, l a utlsé d une façon tératve une procédure pour SALBP. La métaheurstque Tabu est employée pour évter des optma locaux. 3. DEFINITION DU SALBP En termes formels nous défnssons le problème des LAs avec un nombre fxe de statons (Baybars, 986) comme le problème de décson suvant: sot un graphe acyclque orenté G=(T, P) (les noeuds de T représentent les tâches et les arcs de P représentent les contrantes de précédence (CPs)). A chaque noeud T est assgnée une durée L (durée de la tâche), et une constante N (nombre de statons). Les noeuds de T peuvent-ls être assgnés aux N ensembles S j (les tâches de la j ème staton) de telle manère que les CPs soent respectées? 4. L APPROCHE EQUAL PILES POUR LE PROBLEME D EQUILIBRAGE DES ALS L approche EPAL utlse le GGA et une heurstque appelée Boundary Stones (BS). Nous commençons par rappeler les prncpales caractérstques du GGA. Dans le paragraphe 4.3, les dfférentes étapes de l heurstque BS sont présentées. 4.. Algorthme génétque de groupement Dans ce paragraphe nous verrons les ponts qu dfférencent Le GGA (Falkenauer, 998) et les GAs classques (Holland, 975). Premèrement, l encodage est chos de telle sorte que pour les problèmes de groupement, les gènes représentent des groupes de tâches (statons) et non les tâches elles mêmes. Deuxèmement, des opérateurs génétques spécaux sont développés pour s adapter à ce nouvel encodage. L opérateur de crosement combne les melleurs trats des parents pour produre de melleurs enfants. Ans, l défnt des règles smples de transton pour construre de nouvelles solutons à partr d ancennes. L opérateur de mutaton permet d explorer l espace de recherche et d évter les mnma locaux. Ces aspects permettent d évter la fablesse des GAs standards applqués aux problèmes de groupement. Pour plus d nformatons sur le GGA, nous suggérons au lecteur de se référer à (Falkenauer, 998). La structure de l EPAL est la suvante: Créer la premère populaton en utlsant l heurstque BS; Répéter Classer les parents; Recombner les melleurs ndvdus de la populaton; Effectuer une mutaton des enfants; Reconstrure les ndvdus en utlsant BS; Remplacer les mauvas ndvdus de la populaton par des enfants; Jusqu à ce qu une soluton satsfasante at été trouvée. 4.. Données d entrée L approche proposée a comme données d entrée les nformatons suvantes (vor Fgure ): - le nombre de statons désré; - la durée de chaque tâche; - le graphe de précédence du produt (GP); - les préférences de l utlsateur. Les deux premères données d entrée sont utlsées pour estmer le temps de cycle théorque de la lgne. Les autres servent au tratement des contrantes du probleme (l ordre d exécuton des tâches) ans que des desderata de l utlsateur (le groupement de certanes tâches et la séparaton d autres, etc.). Pour un nombre fxé de statons, l'approche EPAL permet de tenr compte de l archtecture de la lgne lors de l équlbrage de la charge des postes de traval. - durée des tâches - nombre de statons - graphe de précédence - préférences GGA (EPAL) Statons équlbrées Fgure. Les données d entrée 4.3. L heurstque Boundary Stones (BS) Le but de cette heurstque est d assgner des tâches (en tenant compte des CPs) à un nombre fxe de statons. L heurstque est employée pour construre la premère populaton du GGA ans que pour reconstrure les populatons à chaque génératon. Les concepts essentels de la méthode sont décrts c-dessous. L approche que nous proposons est basée sur ce que nous appelons les bornes ( Boundary Stones ) (vor

3 MOSIM 0 du 5 au 7 avrl 00 - Troyes (France) Fgure ). Les tâches qu se trouvent entre deux bornes et + ont de fortes chances d être assgnées à la staton. Ces bornes seront les premères tâches assgnées aux statons. L algorthme sut les étapes décrtes c-dessous. Etape : Cette étape consste à ordonner les tâches en utlsant les labels défns c-dessous. Le label de chaque tâche dépend du nombre de ses prédécesseurs et successeurs et est donné par: Label = NbPreds NbSuccs () Label = Label + Suvant () où Label défnt l ordre de la tâche dans le GP, NbPreds est le nombre de prédécesseurs de la tâche, NbSuccs est le nombre de ses successeurs, et Suvant est la valeur maxmale de Label des successeurs drects de la tâche dans le GP. Le Tableau donne les résultats obtenus pour le GP de la Fgure. Par exemple, la tâche comporte 0 prédécesseur et 4 successeurs: Label()=0-4=-4. Les successeurs drects de sont {3, 4} et leurs labels respectfs sont {-, 0}, ans la valeur maxmale est ( Suvant ( ) = 0 ). Le label de la tâche selon la formule () est -4. tros statons. Les bornes sont détermnées afn de répartr les tâches dans tros groupes. Chaque groupe correspond à une staton. Dans cet exemple, la premère tâche dans le GP est (elle n a aucun prédécesseur et obtent le label mnmal). La dernère tâche est 6 (n a aucun successeur et correspond au label maxmal). Selon leurs labels {- 4, -3,, 3, 8, }, les tâches sont ordonnées comme sut {,, 3, 4, 5, 6} (vor Tableau ). La premère borne est le label correspondant à la premère tâche: Stone = mn( Label) (3) La borne est défne comme: Stone + = Stone + gap (4) où gap est un enter défnt par: max( Label ) mn( Label ) gap = (5) N Dans cet exemple, gap=5 et les bornes sont {-4,, 6}. borne borne borne Fgure. Example of PG 5 6 Etape 3: Une fos les bornes fxées, les tâches sont répartes entre les groupes (statons). La source seed (qu correspond à la premère tâche) du groupe, sera une tâche dont la valeur du label est proche de Stone. Pour la premère staton, nous fxons seed=label. Notez, qu l peut y avor pluseurs sources possbles (tâches) pour chaque groupe, ce qu ajoute l aspect aléatore à l heurstque. Une fos les sources choses, chaque groupe est complété en ajoutant les tâches dans l ordre crossant de leur label, de sorte que: Op Durée NbPreds NbSuccs Label Suvant Label Table. Applcaton des équatons () et () Cette méthode permet d ordonner des tâches, et trouve la premère tâche et la dernère tâche probable du produt en ulsant la varable Label. Etape : Les bornes sont choses en utlsant l ordre obtenu à la premère étape. Le nombre de bornes est égal au nombre de statons. A chaque borne est attrbuée une tâche. Cette étape nous permet de trouver la premère tâche à assgner à chacune des ples. Supposons que le but est d équlbrer une lgne d assemblage composée de Comme l n y a aucun successeur pour la tâche en queston, et comme c est la dernère tâche dans le graphe de précédence du produt, le nombre de tâches est prs comme valeur du la varable Suvant. group j [, n ], seed label < seed, (6), op j + où n op est le nombre de tâches. Ans, les tâches du group peuvent être assgnées sot à la staton ou sot à la staton +. Par exemple, supposons qu on chossse les labels suvants {-4,, 8}. Les groupes correspondant à ces labels sont donc {-4, -3}, {, 3} et {8, }. Ans la tâche qu a un label -4 sera assgnée à la staton, la tâche 3 (qu a un label ) à la staton et la tâche 5 (qu a un label 8) à la staton 3. Les tâches restantes, forment ans tros groupes {}, {4}, {6}, la tâche peut être assgnée aux statons ou, la tâche 4 aux statons ou 3, et la tâche 6 à la staton 3. Les tâches déjà assgnées sont les sources de la staton. Les flèches à partr des groupes (cl, cl, cl3) sont drgées vers la staton à la laquelle on peut assgner les tâches restantes (Fgure 3). Etape 4: Une fos la phase de groupement termnée, l algorthme assgne les tâches restantes aux statons selon les règles exposées à l étape 3, tout en tenant compte des CPs (vor la secton 4.4) et des préférences

4 MOSIM 0 du 5 au 7 avrl 00 - Troyes (France) de l utlsateur. Les tâches sont arbtrarement extrates de ces groupes. A cause des CPs du produt, la charge de certanes statons peut dépasser le temps de cycle. Une phase d améloraton locale va permettre d égalser la charge de ces statons, tout en déplaçant certanes tâches d une staton à l autre ou en échangeant des tâches entre statons (vor secton 4.5). cl cl cl WS WS WS3 5 Smple Wheel: Cette heurstque permet de déplacer un ensemble de tâches. Le mouvement sera valdé s la charge de la staton de destnaton ajoutée à la durée de la tâche à déplacer n excède pas le temps de cycle. S c est le cas, le mouvement est accepté avec une certane probablté. L heurstque commence par déplacer un ensemble de tâches de la premère staton vers la seconde. Par la sute, elle essae de déplacer un autre ensemble de tâches de la nouvelle deuxème staton à la trosème staton et ans de sute jusqu à ce que la dernère staton sot attente. Ensute, elle effectue le processus en sens nverse de la dernère staton à l avantdernère et ans de sute jusqu à ce que la premère staton sot attente (vor Fgure 4). Cec mène au déplacement des tâches le long de la lgne pour rédure le déséqulbre entre les statons (les CPs dovent toujours être vérfées). Fgure 3. Phase de groupement et d affectaton des tâches 4 3 Les étapes 3 et 4 sont applquées chaque fos que le GGA est sur le pont de construre une nouvelle soluton, par exemple à l ntalsaton de populaton, ou pour compléter une soluton exstante, par exemple, après un crosement ou une mutaton Contrantes de précédence L heurstque dot générer des solutons qu respectent toutes les CPs du produt. En effet, s ces contrantes sont volées par une tâche donnée le produt en cours d assemblage dot se déplacer dans le sens contrare du convoyeur et, de ce fat, vste au mons une staton pluseurs fos. Pour cette rason à chaque fos qu on est sur le pont d assgner une tâche à une staton:. On recherche la borne correspondant à la tâche en queston.. Sot X la staton où peut être nsérée la tâche. On vérfera s les statons correspondant aux successeurs déjà assgnés de la tâche en queston précèdent X. S c est le cas, on recherche une autre staton où nsérer la tâche, évtant ans de voler les CPs Heurstques Deux heurstques appelées la Smple Wheel et la Multple Wheel sont employées pour amélorer les solutons. Pour une soluton donnée, on utlsera les deux heurstques jusqu au moment où l on ne perçot plus d améloraton ou qu un nombre maxmum d essas sot attent. Fgure 4. Smple Wheel heurstque Multple Wheel: Cette approche consste à échanger des tâches entre les statons. Deux statons adjacentes sont prses à chaque étape (Fgure 5). On exécute tous les échanges possbles (qu ne volent pas des CPs). Le premer échange est fat entre la premère et la deuxème staton, le second est exécuté entre la deuxème et trosème staton et ans de sute. Fgure 5. Multple Wheel heurstque La premère heurstque donne de melleurs résultats, la seconde est ntéressante unquement lorsque l algorthme est bloqué dans un optmum local La foncton de coût L objectf est d égalser la charge des statons, sous la contrante d un nombre fxe de statons. Ans la premère foncton de coût qu vent à l esprt est smplement la somme des dfférences entre le temps nactf des statons et le temps de cycle désré. Une telle foncton de coût n a pas la capacté de guder

5 MOSIM 0 du 5 au 7 avrl 00 - Troyes (France) l algorthme dans sa recherche. En effet, une soluton où la charge de la moté du nombre de statons excède le temps de cycle et la charge de la deuxème moté est audessous du temps de cycle semble être bonne (Fgure 6). cycle tme Fgure 6. Mauvas équlbrage avec un déséqulbre négatf qu est égal au déséqulbre postf Pour reméder a cela, nous mnmserons la foncton de coût suvante: f EP = =.. N ( fll cycletme) (7) où N est le nombre de statons, fll est la charge de traval de la staton, et cycletme est le temps de cycle désré, défn par nop tme = cycletme = (8) N où tme j est la durée de la tâche j. 5. RESULTATS EXPERIMENTAUX Afn d évaluer l algorthme, un certan nombre d essas ont été fats sur des problèmes tests : Buxey, Wee-mag (Scholl, 999). D autres résultats, ans que des comparasons avec les méthodes classques peuvent être trouvés dans (Rekek, 000). Le GGA utlse une populaton de 36 ndvdus. L heurstque a été applquée cnq fos à chaque exemple. Pour chaque exemple les résultats sont donnés sous forme de tableaux. Le Tableau donne la charge de traval maxmale et mnmale des statons pour chaque soluton. Le deuxème tableau récaptule l ndce d équlbrage donné par l équaton 7. N CT Mn Max Mn Max Mn 3 Max 3 Mn 4 Max 4 Mn 5 Max La sute de problèmes tests peut être consultée par l'ntermédare du Web à l'adresse: Tableau. Charge de traval mnmale/maxmale des statons (Buxey) Le Tableau résume les résultats correspondant à l exemple de Buxey. L exemple de Buxey est composé de 9 tâches. CT représente le temps de cycle théorque qu correspond à un nombre donné de statons. Pour un nombre donné de statons N, CT est la somme des durées de toutes les tâches dvsée par N. Le Mn (respectvement Max) représente la charge mnmale (respectvement maxmale) des statons d une soluton donnée. N Equ Equ Equ 3 Equ 4 Equ Tableau 3. Indce d équlbrage de Buxey Le Tableau 3 donne l ndce d équlbrage relatf aux 5 tests des melleures solutons. Les valeurs d équlbrage ont été obtenues en utlsant l équaton 7 (vor secton 4.6). Les deux dernères colonnes représentent les temps moyen d exécuton ans que leurs écarts type. L ndce d équlbrage obtenu est en général nféreur à ( correspond à une lgne fortement déséqulbrée). Les résultats montrent également que l équlbrage se dégrade quand le nombre de statons augmente. En effet, plus le nombre de statons est grand plus le temps de cycle est pett et plus le nombre de tâches par staton est pett. L équlbrage devent ans plus complexe. C est la rason pour laquelle les ndces d équlbrage correspondant à 4 statons sont élevés (Tableau 3). N CT Mn Max Mn Max Mn 3 Max 3 Mn 4 Max 4 Mn 5 Max Tableau 4. Charge de traval mnmal/maxmal des statons (Wee-Mag) Le Tableau 4 résume les résultats obtenus pour le problème test Wee-Mag qu est composé de 75 opératons. L ndce d équlbrage est donné dans le Tableau 5.

6 MOSIM 0 du 5 au 7 avrl 00 - Troyes (France) Les résultats obtenus sur ces problèmes tests montrent la pussance de la méthode proposée. En effet, l approche permet d équlbrer la charge de traval d un nombre fxe de statons. N Equ Equ Equ 3 Equ 4 Equ Tableau 5. Indce d équlbrage de Wee-Mag 6. CONCLUSIONS ET TRAVAUX FUTURS Dans cet artcle, nous avons présenté une nouvelle méthode pour équlbrer la charge des lgnes d assemblage. La méthode est basée sur le GGA et l heurstque Boundary Stones. Deux autres heurstques ont été développées pour résoudre ce problème: Smple Wheel et Multple Wheel. D autre part, l algorthme peut être utlsé pour rééqulbrer des lgnes exstantes, après une reconcepton du produt, ou entre deux lots de producton. Des développements futurs se feront suvant deux axes. Le premer concerne le chox des bornes, une étude dot être entreprse pour comprendre comment les chosr déalement. Le deuxème est l améloraton de la foncton de coût du GGA afn de rendre cette dernère plus effcace dans sa recherche de solutons optmales. REFERENCES Baybars, I., 986. A survey of exact algorthms for the smple assembly lne balancng. Management Scence, 3, p Falkenauer, E., 998. Genetc algorthms and groupng problems, John Wley & Sons Inc.. Falkenauer, E., 995. Solvng equal ples wth a groupng genetc algorthm. Proceedngs of ICGA95, San Francsco, USA, p Jones, D.R. and M. A. Beltramo, 99. Solvng parttonng problems wth genetc algorthms. Proceedngs of ICGA9, San Dego, USA, p Holland, J. H., 975. Adaptaton n natural and artfcal systems, Unversty of Mchgan Press, Ann Arbor. Mînzu, V., and J-M. Henroud, 997. Assgnment stochastc algorthm n mult-product assembly lnes. Proceedngs of ISATP 97, p Rekek, B., 000. Assembly Lne Desgn. Ph.D. Thess, Unversté Lbre de Bruxelles, Belgque. Scholl, A., 999. Balancng and sequencng of assembly lnes, Hedelberg Physca. Sedgewck, R., 990. Algorthms, Addsson-Wessley Publshng.