Biostatistiques et statistiques appliquées aux sciences expérimentales

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1 Bostatstques et statstques applquées aux scences expérmentales Rappels et pratque de la comparason de moyennes (test t, AOVA, comparasons multples) Jéréme Mattout #, Pascal Bessonneau Cogmaster A * # jerememattout@yahoo.fr p. /

2 Programme de la séance Comparason de deux moyennes (test-t) H 0 : µ 0 ou µ µ Comparason de k moyennes (k >.e. AOVA ) H 0 : µ µ µ k Comparasons multples (exercces) p. /

3 Défntons générales Populaton de moyenne µ et de varance σ Echantllon tré de cette populaton (trages ndépendants) { } Statstques (caractérstques d échantllon) - moyenne (estmateur sans bas de µ) ( ) - varance s " (estmateur sans bas de σ ) " p. 3/

4 Statstques de la dstrbuton d échantllonnage de la moyenne Dstrbuton de - moyenne µ - varance σ Théorème central lmte «µ µ µ» p. 4/

5 Comparason de deux moyennes () H 0 : µ µ H : µ µ Cas de varance σ connue et/ou grand (>30) : z " µ " µ z ~ ormal(0,) -,96 z,96 p. 5/

6 Comparason de deux moyennes () H 0 : µ µ H : µ µ Cas de varance nconnue et pett : test t t µ µ s s t ~ t(-) ddl - Condtons d applcaton - ndépendance - normalté - homogénété des varances (homoscédastcté) p. 6/

7 Cas de échantllons apparés (H 0 : µ D 0 ) p. 7/ Comparason de deux moyennes (3) Cas de échantllons ndépendants (H 0 : µ µ ) ndépendance σ D σ / + σ / Hétéroscédastcté (correcton de Welch) Homoscédastcté (ddl + - ) ( ) " # $ $ % & + ' s t p ( ) s s t + ( ) ( ) + + s s s p s D D D t µ

8 Comparason de deux moyennes (4) Intervalle de confance (IC) IC 95 D ± t ± t s s p + IC99 ± t H 0 H s Erreur de type-i α : probablté de rejeter H 0 alors que H 0 est vrae Erreur de type-ii β : probablté de rejeter H alors que H est vrae Pussance du test β α P -β : probablté de rejeter H 0 alors que H est vrae t crt p. 8/

9 AOVA à un facteur comparason de k moyennes () k échantllons { } n k varantes du facteur ms sous contrôle Répéttons n n k kn k k H 0 : µ µ µ k H : ( ) tq. µ µ Condtons d applcaton - ndépendance - normalté - homogénété des varances (homoscédastcté) p. 9/

10 AOVA à un facteur comparason de k moyennes () modèle µ + " + " ( 0, ) j j j # σ : erreur expérmentale estmaton des effets du facteur ) + ( ) : estmateur sans bas de µ j ( j : estmateur sans bas de α somme des carrés des écarts à la moyenne (SCE) carrés moyens (CM) p. 0/

11 AOVA à un facteur comparason de k moyennes (3) Tableau d analyse de varance Varaton SCE ddl CM Facteur Aléatore Totale SCE SCE SCE f ( ) n " e j t ( ) j " j SCE ( ) " f j + SCE e SCE f k Interprétaton - Indépendamment du facteur, CM e est une estmée de σ - S les α sont nuls, CM f est une estmaton de σ, ndépendante de CM e k k CM CM f e SCEe k n Statstque de Fscher-Snedecor H 0 : α 0 pour tout CM f F est comparé à la valeur crtque F " [ k, k] CM e p. /

12 AOVA à un facteur comparason de k moyennes (4) S H 0 est rejetée, quelles moyennes dffèrent deux à deux? Queston des comparasons multples p. /

13 Comparasons multples () Enjeu: contrôler l erreur de type-i (α) - taux d erreur par comparason (PC): α - taux d erreur par famlles de comparasons (FW): -(-α) C PC " FW " C C : nombre de comparasons ndépendantes Deux types d approches - Comparasons a pror (avant toute analyse) - Comparasons a posteror (après observaton des résultats) p. 3/

14 Comparasons multples () Méthodes consdérées - Contrastes lnéares - t de Bonferron - t multples protégés (LSD) - Tukey (HSD) Tableau récaptulatf Test Erreur contrôlée Comparason Type Condton d applcaton Contrastes PC Tout contraste F A pror t de Bonferron FW Tout contraste t corrgé A pror LSD FW Pares t A posteror (AOVA requse) Tukey FW Pares q A posteror p. 4/

15 Comparasons multples (3) Contrastes lnéares " c avec c 0 Décomposton de la varablté due au facteur ( n( SCE s n ( n % ' c " $ c n & # Test F CM SCE CM e CM e est comparé à la valeur crtque F " [, k] e contrôle pas FW - chosr un pett α - être parcmoneux dans le nombre de contrastes (e.g contrastes orthogonaux) - utlser le test t corrgé de Bonferron p. 5/

16 Comparasons multples (4) Test t de Bonferron PC " FW " C - L erreur de type-i pour chaque comparason (PC) est prse égale à - Le nombre C de comparasons est fxé a pror C Test - Test t habtuel, seule les tables de comparasons changent p. 6/

17 Comparasons multples (5) t multples protégés (LSD) - S applque unquement une fos H 0 de l AOVA complète rejetée - e contrôle pas le FW, déconsellé au-delà de 3 comparasons p. 7/

18 Comparasons multples (6) Tukey (HSD) - A posteror - FW contrôlée à hauteur de α, H 0 - Mons pussant, conservateur Test - Tables q ( k, k) avec q t p. 8/

19 Applcaton () Données de Howell (chap. ) : Tolérance à la morphne [Segel 975] Résumé - La morphne permet d atténuer la douleur - Une admnstraton répétée de morphne dmnue son effet (tolérance) - Exste t'l un effet condtonné (apprs) qu compenserat l effet naturel de la morphne? - Est-ce que l effet de la morphne dsparaît complètement au bout d un certan nombre d admnstratons? - L effet du condtonnement est-l lé à l envronnement? - Après admnstraton répétée de morphne, l absence de morphne rend elle plus sensble à la douleur? p. 9/

20 Applcaton () Expérence de Segel - 5 groupes de rats qu ont déjà subs 3 njectons, la mesure est effectuée après la quatrème njecton - Le rat est placé sur une plaque chauffante. Quand la température devent dffcle à supporter, le rat commence à se lécher les pattes - La varable dépendante est la latence (en secondes) à laquelle l anmal commence à se lécher les pattes Groupes M-M M-S Mc-M S-M S-S (3x) morphne + morphne (3x) morphne + soluton salne (3x) morphne dans autre envronnement + morphne (3x) soluton salne + morphne (3x) soluton salne + soluton salne Prédctons S M Mc M > M M? S S > M S p. 0/

21 Applcaton (3) A vous de jouer - A la lecture de l énoncé, êtes-vous d accord avec les prédctons? - Lecture et analyse descrptve des données - AOVA - Comparason de toutes les pares à l ade du test t corrgé de Bonferron - Contrastes lnéares M-S M-M S-S S-M Mc-M test de Tukey (- Contrastes orthogonaux) p. /

22 Applcaton (4) Fchers (sur - tab-.dat - 06_exos_sol.pdf - aov.contr.r Fonctons R utles en vrac read.table() as.factor() tapply() aov() wth() summary() model.tables() contrasts() parwse.t.test() summary.lm() anova() rbn() c() as.numerc() héstez pas à utlser l ade de R et à maltrater les fonctons et leurs paramètres p. /