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1 -1- Expérience no 4 LE PLAN INCLINE I INTRODUCTION Le dispositif expérimental à votre disposition va vous permettre de déterminer: A) La valeur de g, l'accélération de la pesanteur (à Neuchâtel). B) L'influence du moment d'inertie d'un solide en rotation sur la masse inerte qui intervient dans la loi de Newton. C) Le coefficient de frottement µ statique entre deux matériaux. D) Le coefficient de frottement µ dynamique entre ces mêmes matériaux. A) Mesure de g On utilise le plan incliné avec la boule de billard (Fig.2) Fig. 2 g intervient dans l'équation du mouvement puisqu'il s'agit à l'évidence d'un système mécanique soumis à la pesanteur. Si donc, on mesure les grandeurs appropriées du mouvement de la boule roulant sur le plan incliné, on peut espérer en déduire la valeur de g. L'équation de Newton n'est pas immédiatement

2 -2- applicable car le mobile est un solide rigide et non un point matériel. Nous allons utiliser la conservation de l'énergie mécanique dans un champ conservatif, ici le champ de la pesanteur (les pertes d'énergie dues aux frottements sont négligées): où: Ecin + Epot = constante (2) Ecin = Energie cinétique de translation associée au centre de gravité + Energie cinétique de rotation. Epot = Energie potentielle. En dérivant (2) par rapport au temps: d ( dt E cin + E pot ) (3) En se référant à la Fig.2, on peut écrire: Comme: d dt d ( ) E + E = Ms + θω Mgs sinα = 0 & cin pot (3') dt 2 2 s& ω = r où r = rayon de roulement (Fig. 2) l'équation (3') devient: où: Mg sinα s& = = cste = γ (4) θ M + 2 r M = masse de la boule en kg θ = (2/5)MR2 = moment d'inertie de la boule, homogène, par rapport à un axe passant par son centre de gravité. R = rayon de la boule. Mise sous la forme de l'équation de Newton: Masse inerte x accélération = somme des forces (5) L équation (4) s'écrit: θ M + = sinα 2 & s Mg r

3 -3- Remarque que nous utiliserons plus loin: masse inerte = M+(θ/r2) (pour ce type de système) (6) La masse pesante (gravitationnelle) et la masse inerte sont a priori deux concepts différents. La masse gravitationnelle équivaut à la force avec laquelle un objet attire ou est attiré par un autre objet. Sur Terre, elle représente la force avec laquelle l'objet est attiré vers le sol. Nous mesurons cette masse en pesant l'objet, son poids étant égal à sa masse multipliée par la constante de gravitation g. La masse inerte de l'objet correspond quant à elle la résistance que l'objet oppose à tout changement dans son mouvement. Les conditions initiales du mouvement sont (Fig.2): en t = 0, s = O et (ds/dt) = vo L'intégration de (4) donne: s = (1/2).γ.t 2 + vo.t (7) En divisant (7) par t on obtient l'équation d'une droite affine (s/t) = (1/2).γ.t + vo (8) En déterminant expérimentalement la pente de cette droite et donc γ, on peut obtenir une valeur expérimentale de g.(équ.(4)). C) La masse inerte d'un solide (avec rotation) On utilisera le dispositif décrit dans la fig. 3, sans le frotteur. Fig. 3

4 -4- M = masse du chariot θ = moments d'inertie des quatre roues du chariot M* = M + θ/r2 (voir équ. (6)) r = rayon des roues M = masse de la surcharge que l'on peut placer sur le chariot m = masse du frotteur Chariot seul: Le formalisme utilisé pour obtenir (4) reste valable. La seule différence étant que le moment d'inertie θ ne peut être calculé facilement en raison de la complexité géométrique des roues. L'équation horaire (8) est valable également et la mesure expérimentale de γ permet de déterminer le rapport M*/M le rapport de la masse inerte à la masse pesante. D) Le coefficient de frottement statique En s'aidant de la Fig.3, on établit l'équation différentielle du mouvement pour le chariot poussant un frotteur sous l'action de la force de pesanteur: Soient Mi = M*+ M+m la masse inerte et Mp = M+ M+m la masse pesante alors: M s & = M g sin α µ mg cosα (9) i & p Le problème est statique lorsque l'accélération est nulle c'està-dire lorsque: Mpg sinα = µmg cosα (10) où α est l'angle critique d'inclinaison du plan au-delà duquel le chariot met en mouvement le frotteur. De (10) on tire: µ stat = (M p /m).tgα (11) E) Le coefficient de frottement dynamique Le dispositif expérimental est schématisé à la Fig. 4 Figure 4

5 -5- O: masse oscillante sur palier à air P (frottement très faible) F: frotteur (bois) de masse m = g R: ressorts de constant total f. S: support (Al) La masse totale en oscillation vaut M = kg L'équation du mouvement (frottement sur le palier P négligé): x& E f = µmg (12) x& Fr = - fx x& Mx & = fx µ mg (13) x& Pour un frottement faible, la solution est un mouvement harmonique avec amortissement linéaire. (Fig.5) Pour éviter d'intégrer (13): la perte d'énergie potentielle en une demi période est égale au travail de la force de frottement: 1 2 fx 2 ( i) 1 2 fx 2 ( i +1) = µmg(x i x i+ 1 ) (14) Fig.5 D'où: x = 4µmg f (15) On remarque que: a) La perte d'amplitude x au cours de chaque période est constante. L'amortissement est donc bien linéaire. b) Les mesures de x, f et m permettent d'obtenir le coefficient de frottement dynamique µ. f se détermine à partir de la période T de l'oscillateur non amorti: 2 4π M = 2π M / f d'où f = (16) T 2 T II EXCERCICES 1) Mesurer la valeur de g au moyen de la boule de billard. 2) Mesurer le rapport M*/M (masse inerte/masse pesante) pour le chariot sans surcharge. 3) Mesurer les coefficients de frottement statique Bois-Al. 4) Mesurer le coefficient de frottement dynamique Bois-Al.

6 -6- III MANIPULATIONS 1) Positionner le plan horizontalement au moyen du niveau d'eau et noter le zéro de l'échelle de hauteur. Pour une hauteur h de 10 cm, choisir 5 distances s entre les portails START et STOP. Pour chaque distance, mesurer trois fois le temps de parcours de la boule. Calculer le temps moyen t. Reporter, sur un graphique, s/t en fonction de t. Déterminer sur le graphique la pente γ de la droite ainsi obtenue. En déduire la valeur de g (form.(4)). 2) Positionner successivement le plan aux hauteurs h = 5, 10, 15 et 20 cm. Pour chacune de ces inclinaisons, mesurer (une fois) le temps t de parcours du chariot seul et sans surcharge pour quatre distances 40, 60, 80 et 100 cm. Reporter sur un graphique s/t en fonction de t. Utiliser la même procédure de mesure que dans l'exercice 1. Déterminer alors les pentes P de ces quatre droites. Reporter ensuite P en fonction de sinα. A partir de la pente de cette dernière droite déterminer le rapport M*/M, (le rapport de la masse inerte à la masse pesante). (équ. 4 et 6). 3) Utiliser le chariot et son frotteur en bois. Positionner le plan proche de l'horizontale et le frotteur à la division 100 du plan. Au moyen de la manivelle et sans secouer l'ensemble, augmenter l'inclinaison du plan jusqu'à ce que le chariot et son frotteur se mettent en mouvement. Noter la hauteur h* correspondante (h*=h+ho).a partir de h, déterminer tgα. Mesurer ainsi h* trois fois pour chaque surcharge M = 0, M 1, M 2 et M 1 + M 2. Reporter sur un graphique tgα en fonction de m/mp (équ. 11) et en déduire la valeur de µstat. Avant chaque série, nettoyer le plan (kleenex+alcool) et le frotteur (kleenex sec). 4) Demander à un assistant de procéder au nettoyage (kleenex+alcool) et au montage du dispositif expérimental. Mettre le plan horizontal et ajuster la position de l'oscillateur pour que au repos le repère soit à la division 100 du plan. (L'ajustement fin se fait en modifiant légèrement l'horizontalité du plan). La pression de l'air dans le détendeur doit se trouver dans le secteur vert. Relever le frotteur en bois et mesurer 3 fois 10 périodes de l'oscillateur non amorti. Déterminer la constante de ressort f (formule (16). Amplitude maximum 5 cm. Abaisser le frotteur et mesurer (du même côté) les amplitudes xo, x1,..xi, xn où i est le numéro d'ordre des périodes successives. Choisir x o =4cm. Les reporter sur un graphique x en fonction de i. On remarquera que ces amplitudes x o à x n ne sont pas parfaitement en ligne droite. La cause en est le

7 -7- frottement visqueux (prop. à la vitesse) du palier à air P. Tracer une droite sur les cinq ou six dernières amplitudes. Déterminer la pente P de cette droite. Calculer µ (?x de la formule 15). En effet à partir d une amplitude de 2cm environ, la vitesse de la masse oscillante est suffisamment faible pour que le frottement visqueux soit négligeable. Note historique l) Galilée avait constaté qu'en l'absence de frottement tous les corps tombaient à la même vitesse. Dans un premier temps, il a imaginé que leur vitesse était proportionnelle à l'espace parcouru. Pour diminuer l'effet de la pesanteur dans ses expériences, il utilisa des boules sur des plans inclinés, constata que son hypothèse était fausse et réalisa que la vitesse croît proportionnellement au temps. 2) Pour mesurer le temps, il utilisait une horloge à eau (clepsydre) dont la précision était heureusement insuffisante pour mettre en évidence l'effet de l'énergie cinétique de rotation des boules. Août 2003_ms

8 -8-

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