Devoir n 7 - Pour le 12 novembre

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1 PC Physique - Dupuy de Lôme Devoir n 7 - Pour le 2 novembre L Une autre méthode de détection des véhicules r (utilisée pour l'ouverture de barrières automatiques ou le r déclenchement de feux tricolores) utilise une boucle r métallique rectangulaire enterrée dans la chaussée. -, r Lorsque le châssis d'un véhicule en acier est placé au-dessus, l'inductance de cette boucle se trouve modifiée. La boucle est composée de n spires rectangulaires identiques de largeur D 2, m et de longueur G -, m bobinées on série (figure 2), Celles-ci sont réalisées avec un fil de cuivre de section s m m cette boucle

2 5 Fiqure 2 n spires identiques fil de section s =,5 mm D = 2, m C / INDUCTANCE DE LA BOUCLE Cl. Donner la relation entre l'inductance L d'un circuit, l'intensité I qui le traverse et le flux propre () à travers sa surface. Considérons un fil infini d'axe Oz et de rayon e parcouru par un courant d'intensité I dans le sens z croissant (figure 3). Le vecteur densité de courant, noté j, est supposé uniforme dans une section du fil. En coordonnées cylindriques, tout point M est repéré par ses coordonnées (r, ço a Figure 3 orthonormée (é C2. Exprimer j en fonction de I, e et - C3. Etablir, par des arguments de symétrie, la direction du champ magnétique B(M) créé en un point M. De quelle(s) coordonnée(s) la norme de B(M) dépendelle? En déduire la forme générale de B(M). ; 'intensité I C4. Déterminer, par un raisonnement judicieux, les expressions de B(M) en un point M situé l'extérieur du fil (r e ), puis en un point M situé à l'intérieur du fil (r e ). C5. Représenter l'allure de la norme de B(M) en fonction de r, en précisant littéralement les coordonnées du (des) point(s) particulier(s). CG. Exprimer, en fonction de la travers la surface orientée grise définie sur la figure 3. Pour calculer l'inductance propre d'une spire, les effets de bords sont négligés. Dans un souci de simplification, le flux produit par chaque côté de la spire sera assimilé au flux Of, calculé à la question C6. C7. Déduire des réponses précédentes, l'expression de l'inductance L fonction de D, G et e (considérer que la perméabilité magnétique du bitume vaut p. C8. Calculer la valeur numérique de L Les spécifications techniques d'un constructeur de tels systèmes de détection précisent que l'inductance totale de la boucle doit être comprise entre 7 et 5»H. Pour des spires ayant les dimensions prises dans ce problème, le constructeur recommande d'en câbler 3 à 5 en série. C9. Exprimer l'inductance L d'une boucle composée de n spires en fonction de n et Li. C. Calculer les valeurs minimale et maximale de n. Tournez la page S.V.P.

3 D / DÉTECTION D'UN D UN VÉHICULE Lorsqu'un véhicule se positionne à une distance h au-dessus de la boucle, la face inférieure de son châssis est le siège de courants induits par le champ magnétique créé par la boucle. Ces courants induits produisent à leur tour un champ magnétique induit là 6 possible de montrer que celui-ci est identique à celui produit par un circuit symétrique de la boucle par rapport au plan du châssis (figure 4). Considérons, dans un premier temps, une des spires enterrées et sa spire «miroir» plan de coupe véhicule : h = 25 cm spire «miroir» D = 2, m Figure 4 /////////»//////////////////////////////////// bas du châssis h - 25 cm G =, m spire enterrée sol La carte du champ magnétique induit A(M) dans un plan de coupe perpendiculaire au plan de la route et au grand côté (D) de la spire est représentée sur la figure 5. Ce champ magnétique ij i modifie par conséquent son inductance d'une quantité AL, - L, L A spire «miroir» h 25 cm I bas du châssis h = 25 cm s o l spire enterrée échelle : G =, m Figure 5 Dl, Dans quel sens faut-il orienter la spire «miroir» pour que cette modélisation soit conforme à la loi de Lenz? Répondre en reproduisant sur votre copie les spires et l'allure de la carte de champ puis compléter l'orientation de la spire miroir et des lignes de champ.

4 7 Dans toute la suite, afin de simplifier les calculs. la spire est assimilée à deux fils infinis parallèles (D» G). Les effets de bords seront donc négligés et seules les contributions des deux côtés de longueur D seront prises en compte. Le champ magnétique qu'ils créent sera assimilé à celui de deux fils infinis parallèles espacés de G. D2. Calculer les valeurs numériques de la norme de B(M) en, A et B, lorsque I A, en utilisant la figure 5 et son échelle, pour déterminer les distances nécessaires. D3. Quelle propriété vérifie le flux du champ magnétique le long d'un tube de champ? La démontrer soigneusement, à l'aide d'un schéma explicatif. D4. En déduire une estimation de la valeur numérique du flux c créé par B spire enterrée. D5. Déterminer la variation relative AL relative AUL de l'inductance de l'ensemble de la boucle lors du passage d'un véhicule. Commenter l'ordre de grandeur des résultats obtenus. Afin de détecter cette variation d'inductance, la boucle inductive est branchée en parallèle avec un condensateur de capacité C (figure 6). Celle-ci ne se comporte pas comme une inductance pure et présente une résistance r due à la résistivité du fil qui la constitue. boucle inductive enterrée Figure 6 Données : L,uH, n = 3, D 2, m, G, In et s m i n D6. Rappeler [expression de la résistance d'un barreau conducteur de longueur ( et de section s, constitué d'un métal de conductivité G. En déduire la valeur numérique de la résistance r de la boucle (r7 6,. Dans toute la suite du problème, la boucle est modélisée par une bobine idéale d'inductance L (en l'absence de véhicule) en série avec une résistance r. Le dispositif décrit sur la figure 6 peut donc être modélisé par le circuit de la figure 7, ci-contre : D7. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension u. En déduire le facteur de qualité Q et la fréquence propre f Figure 7 D8. Le facteur de qualité peut-il être amélioré en augmentant le nombre de spires n? Cette fréquence est ensuite mesurée par un fréquencemètre électronique qui délivre une tension proportionnelle à f commande est produit lorsque celles-ci dépassent un seuil fixé. Le constructeur précise que la valeur de f le seuil de détection de la variation de fréquence peut être réglé entre, % et 2 %. D9. Calculer la gamme de valeurs dans laquelle la capacité C doit être choisie. Commenter. D. Exprimer la variation relative de la fréquence d'oscillation Af l'inductance de la boucle, inductive, f La valeur de AL/L calculée en D5 donne-t-elle lieu à une variation de fréquence compatible avec les spécifications du constructeur? Commenter ce résultat. Tournez la page S.V.P.

5 B Débitmètre PARTIE B : DÉBITMÈTRE ÉLECTROMAGNÉTIQUE Le principe du mètre électromagnétique (Fig. 7) s appuie sur le phénomène d induction électromagnétique. Les bobines de Helmholtz sont disposées de part et d autre du tuyau d alimentation en eau (chaude ou froide) de la baignoire. Le rayon du tuyau est a =5 mm. On considère que le champ magnétique créé par les bobines est uniforme dans toute la région de l écoulement et on le note B B ˆ x. On suppose que le tuyau et le fluide qu il contient ne modifient pas la structure des lignes du champ B. Sur la Fig. 7, on utilise une base cylindrique adaptée à la description de l écoulement de l eau. Cette base n a rien à voir avec celle qui nous a permis d étudier le champ magnétique dans les questions précédentes. Il suffit que le fluide circulant dans le tuyau soit très légèrement conducteur pour que le mètre fonctionne correctement. C est à travers la mesure de la force électromotrice induite entre les deux électrodes C et D (isolées électriquement du tuyau),, que l on peut mesurer le. On suppose que l écoulement se fait en régime permanent. La vitesse de l eau en un point M r, est donnée par v v f r z où le profil de vitesse f r est une fonction qu on n explicite pas pour l instant mais qui satisfait ˆ l inégalité f r dans l intervalle, a.pratiquement, le mètre électromagnétique n est utilisable que pour les fluides en écoulement possédant un nombre de Reynolds Re supérieur à 2. Établir l expression suivante du volumique D : D 2 v r f r dr. La vitesse ante, notée v, est la vitesse fictive telle que, si tous les points de l écoulement possédaient cette vitesse, le D Vol. volumique serait ; exprimer v en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction Vol. a Vol. e CD f r. On note enfin v la enne des vitesses le long d un rayon d une section droite du tuyau. Exprimer v en faisant intervenir une intégrale dans laquelle figure la fonction f r. 2 En réalité, le champ magnétique, tout en restant uniforme, est sinusoïdal, de fréquence f 2 4 Hz ; on le note B B cos ˆ m t x, où B m, T. Vérifier que le champ B au point M r, du plan Oxy peut dériver du potentiel vecteur A B cos cos ˆ,, ˆ mr t z Az r t z. Les composantes utiles du rotationnel en coordonnées cylindriques sont ici rot A Az Az ˆ ˆ. r r r A Cette expression de A permet d établir que la force électromotrice induite e CD vb dl peut se t ramener à ecd vb, l intégrale étant calculée le long du segment dl CD. En d autres termes, le CD problème se ramène à un phénomène d induction concernant un conducteur mobile (le fluide) dans un champ magnétique statique, bien que celui-ci soit (lentement) variable. a e 2v ab cos t e cos t v a f r dr. Cette 3 Établir la relation, où CD m M force électromotrice est-elle proportionnelle au volumique? Calculer e pour - v 5m.s. 4 Pourquoi ne pas utiliser un champ magnétostatique? Pourquoi ne pas alimenter les bobines avec une tension alternative de 5 Hz? M Page 4/5

6 5 On modélise l écoulement du fluide par la relation empirique r représentée Fig. 8 f r, avec p. Rappeler la définition de la couche limite de fluide. Proposer une évaluation de son épais- a seur,, en fonction de a et p (on pourra, par exemple, définir le domaine où d f,ou considérer les abscisses des points A p de la Fig. 8). d r a 6 Établir les expressions de et de en fonction de v et de p.à partir dequelle valeur de p peut-on confondre les deux vitesses à mieux que % près? Cette évaluation estelle cohérente avec le domaine d utilisation du mètre évoqué plus haut Re 2? Pour cette question, p v on admettra que des considérations qualitatives conduisent à l estimation 2 a Re. v 7 Admettonsmaintenant que l on puisseconfondre et. Établir alors l expression de la force électromotrice induite en fonction du volumique. La valeur maximum de la tension mesurée entre les électrodes C et D est 7 mv. Combien faut-il de temps pour que la baignoire contienne L d eau? B2 Mesure v e CD D Vol. v Dans la suite de cette étude, on s intéresse à la mesure de la force électromotrice, que l on écrira désormais e D cos t V t se présente comme la somme de cette force Vol. Dans la pratique, le signal détecté e V t V t e V t CD. électromotrice et d une tension de bruit : une multitude de fréquences f b f. b e CD b. Le spectre de la tension de bruit comporte Afin de réduire l influence du bruit, on utilise la méthode de détection synchrone dont le principe est décrit sur la Fig. 9. L amplificateur opérationnel, supposé idéal, fonctionne en régime linéaire. Le circuit multiplieur, en grisé sur la Fig. 9, est lui aussi idéal. Sa tension de sortie est V kv t V. La tension X 2 t e CD V2 t Acos t est synchrone avec. En sortie, on dispose un filtre RC dont la fréquence de coupure est f Hz. 8 Quelle est la relation liant e c V t et V t? Quelle est la nature du filtre utilisé en sortie? Proposer des valeurs de R et de C. Donner, sans calcul, l allure du diagramme de Bode asymptotique pour le gain de ce filtre. 9 Montrer que, en ce qui concerne la tension de bruit Vb t, le dispositif est quasiment équivalent à un passe-bande centré en f et de facteur de qualité Q 4. Conclure quant à l intérêt du montage et donner l expression de la tension de sortie V en fonction du volumique. s FIN DU PROBLÈME FIN DE L ÉPREUVE Page 5/5