Polynésie septembre Enseignement spécifique
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- Josiane Ratté
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1 Polynésie septembre 5 Enseignement spécifique EXERCICE (7 points (commun à tous les candidats Partie A On rappelle que la partie réelle d un nombre complexe z est notée Re(z Déterminer l écriture exponentielle du nombre complexe u = i Déterminer, pour tout réel θ, laformealgébriqueetl écritureexponentielledunombrecomplexe e iθ ( i 3 Déduire des questions précédentes que, pour tout réel θ, cos(θ + sin(θ = cos ( θ Partie B Dans cette partie, on admet que, pour tout réel θ, cos(θ + sin(θ = ( cos θ On considère les fonctions f et g définies sur l intervalle, + par : f(x =e x cos(x et g(x =e x On définit la fonction h sur, + par h(x =g(x f(x Les représentations graphiques, et des fonctions f, g et h sont données, en annexe, dans un repère orthogonal Conjecturer : a les limites des fonctions f et g en + ; b la position relative de par rapport à ; c la valeur de l abscisse x pour laquelle l écart entre les deux courbes et est maximal Justifier que est située au-dessus de sur l intervalle, + 3 Démontrer que la droite d équation y =est asymptote horizontale aux courbes et a On note h la fonction dérivée de la fonction h sur l intervalle, + Démontrer que, pour tout x de l intervalle, +, ( h (x =e x cos x ] b Justifier que, sur l intervalle, ], ( cos x cos ( x et que, sur l intervalle c En déduire le tableau de variation de la fonction h sur l intervalle, ] 5 On admet que, sur l intervalle, +, la fonction H définie par H(x = e x +cos(x sin(x] ; ], est une primitive de la fonction h On note D le domaine du plan délimité par les courbes et,etlesdroitesd équationsx =et x = Calculer l aire A du domaine D, exprimée en unités d aire http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés
2 Annexe, Exercice,,9,8,7,6,5,,3,,, http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés
3 EXERCICE : corrigé Partie A Polynésie 5 Enseignement de spécifialité i = +( = puis i = ( i = ( ( cos ( + i sin = e i i = e i Soit θ un réel D autre part, e iθ ( i =e iθ e i = e i(θ e iθ ( i =(cosθ + i sin θ( i =cosθ + i sin θ i cos θ + sin θ =(cosθ + sin θ+i( cos θ + sin θ 3 Ainsi, e iθ ( i = e i = ( cos θ +i ( sin θ et aussi e iθ ( i =(cosθ+sin θ+i( cos θ+sin θ Par identification des parties réelles, on obtient : pour tout réel θ, cos θ + sin θ = ( cos θ Partie B,,9,8,7,6,5,,3,,, Il semble que a lim f(x =et lim g(x =; b est au-dessus de sur, + ; c l écart entre et est maximal quand x est environ égal à, 5 Soit x un réel de, + Onacos x Enmultipliantlesdeuxmembresdecetteinégalitéparleréel positif e x,onobtiente x cos x e x ou encore f(x g(x Ainsi, pour tout réel x de, +, f(x g(x et donc est au-dessus de sur, + 3 lim g(x = lim e x = lim X ex =Doncladroited équationy =est asymptote à la courbe en + Pour tout réel positif x, cos x Enmultipliantlestroismembresdecetencadrementparleréel positif e x, on obtient e x e x cos x e x Ainsi, http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés
4 pour tout réel positif x, e x f(x e x De plus, lim e x = lim e x =D aprèslethéorèmedesgendarmes, y =est aussi asymptote à la courbe en + lim f(x =Ladroited équation a La fonction h est dérivable sur, + en tant que produit de fonctions dérivables sur, + et pour x, h (x = (( e x cos x + e x ( sin x + ( e x =(cosx + sin x e x ( ( = cos x e x (d après la partie A ( cos ( Pour tout réel positif x, h (x =e x x b Soit x, ] Alors, x ( Onendéduitquecos x Par suite, ( cos x puis ( cos x Soit x ]Alors,, x ( Onendéduitquecos x Par suite, ( cos x puis ( cos x c Pour tout réel x de, ], e x > Donc,pourtoutréelx de, ], h (x est du signe de ( cos x De après la question précédente, la fonction h est positive sur, ] ] et négative sur, ( ( h( = e e cos( = = h = e e cos = e =, arrondi au centième Enfin, h( =e e cos( =e e = On en déduit le tableau de variations de f x f (x + h e http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés
5 5 Les fonctions f et g sont continues sur, ] D autrepart,pourtoutréelx de, ], f(x g(x d après la question Donc, A = (g(x f(x dx = h(x dx =H(x] = e ( +cos( sin( e ( +cos( sin( = e + = e A = e,,9,8,7,6,5,,3,,, 3 5 6,,9,8,7,6,5,,3,,, http ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés
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