Loi du moment cinétique

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1 Loi du moment cinétique Cas d un point matériel, d un système de points matériels et d un solide en rotation autour d un axe fixe Introduction...3 I Quelques rappels sur la mécanique du solide Les différents mouvements d un solide (voir chapitre de cinématique) Le centre de gravité G d un solide (voir chapitre de dynamique) La quantité de mouvement d un solide (voir chapitre de dynamique) Loi de la quantité de mouvement pour un solide (voir chapitre de dynamique)...5 II Moment cinétique d un point matériel Moment cinétique par rapport à un point A Moment cinétique scalaire (par rapport à un axe Δ) Moment cinétique scalaire en coordonnées cylindriques Moment d inertie d un système ponctuel Moment cinétique et sens de rotation...6 III Moment d une force Moment d une force par rapport à un point A Moment d une force et sens de rotation induit par cette force Moment scalaire d une force par rapport à un axe Δ Une notion bien pratique : le bras de levier Application du bras de levier...9 IV Loi du moment cinétique dans un référentiel galiléen pour un point matériel Enoncé de la loi du moment cinétique Dans quels cas y a-t-il conservation du moment cinétique? Enoncé de la loi du moment cinétique scalaire (par rapport à un axe fixe Δ) Cas du pendule simple Mise en rotation d un écrou sous l action d une force Lycée Laperouse - Kerichen 1 / 15

2 V Grandeurs cinématiques caractérisant un solide en rotation autour d un axe fixe Δ Moment cinétique scalaire d un solide en rotation autour d un axe fixe Δ Moment d inertie d un solide par rapport à un axe Δ Energie cinétique d un solide en rotation autour d un axe fixe Δ VI Moment résultant d un ensemble de forces appliquées à un solide Définition du moment résultant Cas particulier d un couple de force La liaison pivot parfaite VII Loi du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d un axe fixe Δ Enoncé de la loi du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation Conservation du moment cinétique scalaire? VIII Loi de la puissance cinétique pour un solide en rotation autour d un axe fixe Δ Démonstration Puissance d une force appliquée à un solide en rotation et loi de la puissance cinétique IX Le pendule pesant Pendule simple et pendule pesant Equation différentielle du mouvement Isochronisme des petites oscillations Oscillations dans le cas non linéaire Intégrale première du mouvement Mouvements pendulaire et révolutif X Exercices Rotation d une galaxie autour d un axe Un hauban : un dispositif «multi-poulies» Lycée Laperouse - Kerichen 2 / 15

3 Introduction La mécanique classique (ou Newtonienne) introduit des notions premières comme la masse, l accélération, les forces, etc. Ces notions sont suffisantes pour étudier des problèmes qui ne nécessitent que la mécanique classique. Cependant, comme nous l avons vu, de nouveaux concepts ont été introduits au cours de l élaboration de la théorie (en particulier celui de l énergie mécanique) à cause du caractère conservatif de ces grandeurs (c'est-à-dire que ces grandeurs gardent une valeur constante au cours de l évolution du système physique au cours du temps). Les trois grandeurs physiques conservatives suivantes jouent un rôle central en mécanique : p : la quantité de mouvement ( p mv en mécanique classique), grandeur vectorielle. Cette grandeur se conserve si le système est isolé (il n est soumis à aucune force extérieure) ou pseudo-isolé (il est soumis à des forces qui se compensent). E m : l'énergie mécanique, grandeur scalaire. Cette grandeur se conserve si le système est isolé (aucun échange d énergie avec l extérieur) ou qu il n est soumis qu à des forces conservatives (ou à des forces non conservatives qui ne travaillent pas). L (ou ) : le moment cinétique (défini dans ce chapitre), grandeur vectorielle. Nous verrons dans ce chapitre dans quels cas le moment cinétique se conserve. La validité des principes de conservation de p, E et L s étend à toute la physique ce qui fait que l on retrouve ces grandeurs aussi bien en physique quantique, qu en relativité, etc. La notion de force introduite en mécanique Newtonienne ayant totalement disparu dans les nouvelles théories physiques du XXème siècle (physique quantique), les principes de conservation doivent donc reposer sur d autres hypothèses. Le théorème de Noether (mathématicienne allemande, ) permet de relier la conservation de p, E et L aux invariances des lois de la physique : - la conservation de la quantité de mouvement p est une conséquence de l invariance des lois de la physique par translation spatiale, c'est-à-dire de l homogénéité de l espace. - la conservation du moment cinétique L est une conséquence de l invariance des lois de la physique par rotation, c'est-à-dire de l isotropie de l espace. - la conservation de l énergie totale E est une conséquence de l invariance des lois de la physique par translation temporelle, c est-à-dire de l homogénéité du temps. Ce théorème établi en 1915 par Emmy Noether fut qualifié par Albert Einstein de "monument de la pensée mathématique". C'est maintenant un des piliers de la physique théorique. Dans ce chapitre, nous n aurons pas besoin de faire appel à ce très beau théorème. En effet, comme nous allons étudier des problèmes de mécanique classique, nous allons démontrer le théorème du moment cinétique à partir du principe fondamental de la dynamique ou loi de la quantité de mouvement (tout comme nous avions démontré les théorèmes de l énergie cinétique et de l énergie mécanique à partir du PFD). Comme nous allons le voir dans ce chapitre, ce nouveau théorème sur le moment cinétique sera particulièrement bien adapté pour l étude des mouvements de rotation (pendule, satellite). Dans ce chapitre, il nous faudra alors définir deux nouvelles grandeurs : - le moment cinétique d un système qui décrit l état de rotation du système autour d un point. - le moment d une force qui traduit la capacité de la force à mettre en rotation le système autour d un point ou d un axe. Lycée Laperouse - Kerichen 3 / 15

4 Nous pourons ensuite et entre autre, répondre à ces deux questions «fondamentales» : 1- Comment soulever un éléphant? 2- Comment tourner plus vite sur un tabouret en rotation? I Quelques rappels sur la mécanique du solide 1 Les différents mouvements d un solide (voir chapitre de cinématique) Cas de la translation : à une date t donnée, tous les points du solide ont le même vecteur vitesse Cas de la rotation autour d un axe fixe Δ : tous les points du solide décrivent une trajectoire circulaire centrée sur l axe Δ, à la vitesse angulaire ω du solide Pour un système en rotation autour d un axe Δ, à la vitesse angulaire ω (pas obligatoirement constante), on peut définir un vecteur vitesse angulaire : ce vecteur est porté par l axe Δ et son sens est défini par la règle de la main droite (voir ci-contre). Lycée Laperouse - Kerichen 4 / 15

5 2 Le centre de gravité G d un solide (voir chapitre de dynamique) Le centre de gravité G d un système de points M de masse m est par définition le point G tel que : m GM 0 m ( GO OM ) m GO m OM 1 0 OG m système m OM O = G O G 3 La quantité de mouvement d un solide (voir chapitre de dynamique) La quantité de mouvement d un solide est par définition égale à : dom d d p p( M ) m v( M ) m [ m OM ] [ msystèmeog] msystème v( G) dt dt dt La quantité de mouvement du solide est équivalente à la quantité du mouvement du système ponctuel de masse m égale à la masse totale du solide et situé en G, centre de gravité du solide 4 Loi de la quantité de mouvement pour un solide (voir chapitre de dynamique) Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse m constante : Remarque : d p dt d dt Fext [ msystème v( G) ] ma G II Moment cinétique d un point matériel 1 Moment cinétique par rapport à un point A Par définition, le moment cinétique d un point matériel M (animé d une vitesse v dans un référentiel R) par rapport à un point A quelconque est égal à Remarque : si le mouvement est plan Lycée Laperouse - Kerichen 5 / 15

6 2 Moment cinétique scalaire (par rapport à un axe Δ) Le moment cinétique du point matériel M par rapport à un axe orienté ( O, u ) est égal à : Remarque : 3 Moment cinétique scalaire en coordonnées cylindriques On choisit l axe (Oz) tel que u z u Dans le cas d un mouvement quelconque, en coordonnées cylindriques : L (Oz) (M) = Dans le cas d un mouvement dans un plan perpendiculaire à (Oz), on peut même écrire : 4 Moment d inertie d un système ponctuel (M) L O Par définition, le moment d inertie d un point matériel par rapport à un axe Δ = (Oz) est, en coordonnées cylindriques : 5 Moment cinétique et sens de rotation Le sens de vecteur moment cinétique permet de trouver le sens de rotation (voir règle page 4) Lycée Laperouse - Kerichen 6 / 15

7 III Moment d une force 1 Moment d une force par rapport à un point A Par définition, le moment M A d une force F s appliquant en un point M, par rapport à un point A quelconque, est égal à : 2 Moment d une force et sens de rotation induit par cette force Lorsqu il y a rotation, le sens de rotation induit par une force F et le vecteur moment force sont liés M A de cette 3 Moment scalaire d une force par rapport à un axe Δ 3.1 Définition F Par définition, le moment d une force F par rapport à un axe orienté ( A,u ) est égal à : Remarque : Lycée Laperouse - Kerichen 7 / 15

8 3.2 Cas d une force parallèle à l axe 3.3 Cas d une force «passant» par l axe 3.4 Cas d une force perpendiculaire à l axe Lycée Laperouse - Kerichen 8 / 15

9 4 Une notion bien pratique : le bras de levier Le bras de levier est par définition égal à 5 Application du bras de levier Déterminer une condition pour que la tige AB tourne dans le sens positif. En déduire une relation entre D et d afin de pouvoir soulever l éléphant de poids mg >> f. Lycée Laperouse - Kerichen 9 / 15

10 IV Loi du moment cinétique dans un référentiel galiléen pour un point matériel 1 Enoncé de la loi du moment cinétique 2 Dans quels cas y a-t-il conservation du moment cinétique? 3 Enoncé de la loi du moment cinétique scalaire (par rapport à un axe fixe Δ) 4 Cas du pendule simple V Grandeurs cinématiques caractérisant un solide en rotation autour d un axe fixe Δ 1 Moment cinétique scalaire d un solide en rotation autour d un axe fixe Δ 2 Moment d inertie d un solide par rapport à un axe Δ 3 Energie cinétique d un solide en rotation autour d un axe fixe Δ VI Moment résultant d un ensemble de forces appliquées à un solide 1 Définition du moment résultant 2 Cas particulier d un couple de force 3 La liaison pivot parfaite VII Loi du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d un axe fixe Δ 1 Enoncé de la loi du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation 2 Conservation du moment cinétique scalaire? VIII Loi de la puissance cinétique pour un solide en rotation autour d un axe fixe Δ 1 Démonstration 2 Puissance d une force appliquée à un solide en rotation et loi de la puissance cinétique Lycée Laperouse - Kerichen 10 / 15

11 IX Le pendule pesant 1 Pendule simple et pendule pesant Par définition, un pendule simple (figure de gauche) est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil sans masse, inextensible et sans raideur. Par définition, un pendule pesant (figure de droite) est un solide mobile autour d'un axe (en principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de pesanteur. Un pendule pesant peut être assimilé à un pendule simple si sa dimension caractéristique a << OG Dans ce paragraphe, nous allons étudier le cas d un pendule pesant tournant autour d un axe horizontal (Oz), de moment d inertie J (Oz) par rapport à l axe (Oz) et on supposera que la liaison pivot au niveau de l axe est idéale (ou parfaite). 2 Equation différentielle du mouvement Répondre à la question 1 de l exercice 6. 3 Isochronisme des petites oscillations Répondre à la question 2 de l exercice 6. Lycée Laperouse - Kerichen 11 / 15

12 4 Oscillations dans le cas non linéaire Ces courbes seront tracées avec Python. 5 Intégrale première du mouvement Répondre à la question 4 de l exercice 6. 6 Mouvements pendulaire et révolutif Lycée Laperouse - Kerichen 12 / 15

13 X Exercices 1 Exercice d application : le pendule simple u z u z Un pendule simple est constitué d un fil inextensible de masse négligeable accroché en un point fixe O. La masse m est supposé ponctuelle. L angle θ entre la verticale et le fil est orienté dans le sens trigonométrique. 1- Représenter les forces appliquées à la masse m sur le schéma ci-dessous en admettant que la masse m est soumise à une force de frottement fluide f hv (préciser le sens du mouvement dans votre cas). 2- Exprimer le moment de chacune des forces par rapport à O, en fonction des variables polaires. 3- Exprimer les projections des moments M Δ sur l axe Δ = (Oz). 4- Exprimer le moment cinétique 0 de la masse m en coordonnées cylindriques. 5- Exprimer la projection du moment cinétique σ Δ sur l axe Δ = (Oz). 6- Appliquer le théorème du moment cinétique en O puis projeter la relation obtenue sur l axe Δ. 7- Retrouver la relation précédente en utilisant directement le théorème du moment cinétique scalaire sur un axe fixe. 8- Retrouver à nouveau la relation précédente mais en appliquant le TMC scalaire avec les bras de levier (valeur des bras de levier et signe des moments scalaires à justifier). 9- Retrouver la période des petites oscillations dans le cas du pendule simple non amorti. 2 Etude d une poulie Une masse m = 5,0 g est suspendue à l extrémité d une corde enroulée sur une poulie de masse m P = 1,0 g et de rayon R = 10 cm en liaison pivot idéale autour de son axe avec un support fixe. On néglige la masse de la corde. La liaison pivot est supposée parfaite et le moment d inertie de la 1 poulie par rapport à son axe est : J = 2 m P R2 1- La poulie est retenue par un opérateur. Quelle force l opérateur doit-il exercer sur la poulie pour l empêcher de tourner? 2- En déduire la réaction exercée par l axe sur la poulie. 3- Lorsque la masse est en mouvement, relier la vitesse angulaire de la poulie à la vitesse de translation x de la masse m. 4- L opérateur lâche la poulie. Déterminer l accélération de la masse m. Lycée Laperouse - Kerichen 13 / 15

14 3 Intérêt d un hauban par rapport à une poulie Expliquer le document ci-dessous présentant l intérêt du palan par rapport à la poulie (les palans sont utilisés dans les grands voiliers pour faciliter la manœuvre des lourdes voiles). 4 Tige en rotation F G Soit une tige horizontale de moment d inertie rapport à l axe vertical passant par G. 1 J ml 2 par 12 La liaison est une liaison pivot parfaite. On repérera la position de la tige par un angle θ à définir. F Les deux seules forces horizontales auxquelles est soumise la tige sont représentées sur le schéma. 1- Etablir l équation différentielle vérifiée par θ par application de la loi du moment cinétique scalaire. 2- Retrouver cette équation par application de la loi de la puissance cinétique. Lycée Laperouse - Kerichen 14 / 15

15 5 Le pendule pesant Nous considérons le cas d un pendule pesant tournant autour d un axe horizontal (Oz), de masse m. O Le moment d inertie par rapport à l axe (Oz) est noté J (Oz) = J Δ. d La distance entre l axe de rotation et le centre de gravité du pendule est OG = d. On supposera que la liaison pivot au niveau de l axe est parfaite. G 1- Établir l équation différentielle du mouvement. 2- Prouver que, dans le cas des oscillations de faible amplitude, il y a isochronisme c est à dire que la période des oscillations est indépendante de l amplitude ; et déterminer l expression de cette période. 3- D après le graphe de droite du paragraphe IX4, peut-on affirmer qu il y a isochronisme pour des amplitudes importantes? 4- Ecrire la loi de la puissance cinétique appliquée au pendule pesant et en déduire que la grandeur E = E c mgd.cos(θ) est une grandeur constante du mouvement. Retrouver alors l équation différentielle du mouvement. 5- Le pendule étudié représente le balancier d une horloge de moment d inertie J Δ, du type J Δ = αmd 2, α étant une constante ajustable. Comment doit-on modifier α si l horloge retarde? 6 Satellite en rotation autour de la Terre Un satellite supposé ponctuel de masse M est en rotation autour de la Terre, de centre T. Sa trajectoire est une ellipse, la Terre étant située en l un des foyers de l ellipse. r r A r B 1- Par application du théorème du moment cinétique en T dans le référentiel géocentrique, déterminer une relation entre r A, r B, V B et V A. 2- Commenter l évolution de la vitesse sur la trajectoire elliptique. Lycée Laperouse - Kerichen 15 / 15

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