Chapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows

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1 Chapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows Plan Actualisation et capitalisation Calculs sur le taux d intérêt et la période Modalités de calcul des taux d intérêts taux simples et composés taux précomptés et postcomptés taux proportionnels et taux équivalents Inflation et fiscalité Application des concepts Calcul d'une annuité constante Tableau d'amortissement d'un emprunt Évaluation d'une obligation 1

2 Capitalisation et actualisation Exemples : Préférez-vous recevoir maintenant, ou 1050 dans un an? Préférez-vous recevoir maintenant, ou 200 par an sur les 6 prochaines années? Un ami vous emprunte et vous promet 3 remboursements mensuels de 335 chacun. Est-ce un bon ami? «Un euro aujourd hui n est pas égal à un euro demain» 2

3 La capitalisation 100 Placé au taux i pendant une année 100(1+i) Exemple : Vous placez une épargne de sur un compte bloqué qui rapporte du 4% par an. Au bout d'un an, vous aurez (1+0,04) = Au bout de deux ans, vous aurez (1+0,04) = 1 081,6 soit (1+0,04)² Les intérêts ont été capitalisés 3

4 La capitalisation Année n Valeur (1+4%) (1+4%) (1+4%) (1+4%) n Valeur future de à l'année Année 4

5 La capitalisation Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur acquise d'un montant X, capitalisée au taux i durant n années est égale à : VF = X ( 1+ i) n 5

6 La capitalisation Exemple En 1626, Peter Minuit a acheté l île de Manhattan aux indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé annuellement, combien la tribu aurait-elle en l an 2011, 385 ans après? 6

7 L'actualisation Je dois recevoir dans un an. Or, j ai besoin d argent immédiatement. J emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire). Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4%? La somme S 0 telle que les puissent rembourser dans un an le capital et payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an : S 1 = S 0 (1 + 4%) Comme S 1 = 1 000, on a S 0 = 1000 = (1 + 4%) S 0 correspond à la valeur actuelle (VA) de perçus dans un an. 7

8 L'actualisation Exemple Valeur actuelle de perçus dans 5 ans? C'est une somme S 0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S 0 tout de suite, ou dans cinq ans. Si je perçois S 0 tout de suite, je peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel. Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S 0 (1+4%)5. Cette somme doit être équivalente à perçus dans cinq ans. On peut donc déduire facilement S 0 : S 0 (1+4%) 5 = S 0 = 2000 (1+ 4%) 5 =

9 L'actualisation La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n années est de : VA = X n ( 1+ i) n 9

10 L actualisation Exemple : Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d accord pour l acheter à 4 000, mais il souhaite ne payer cette somme à Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l offre? Valeur Actuelle de perçus dans 2 ans? 10

11 Capitalisation d'une séquence de flux Année n Valeur Valeur future à l année n n Valeur future à l année n n 1 Valeur future à l année n

12 La capitalisation d une séquence de flux La valeur future (en t= n) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la capitalisation de chaque élément de la série. Avec i constant, on obtient pour n années : VF = n t= 1 X t (1 + i) n t 12

13 Capitalisation d une séquence de flux identiques A («annuités») La formule de valeur future VF = n t= 1 A (1 + i) n t se simplifie en VF = A n ( 1+ i) 1 i 13

14 Capitalisation d une séquence d'annuités Exemple : Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20 années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer dans un an, combien aurez-vous d ici 20 ans? Il s'agit de calculer la valeur future d'une séquence de 20 annuités de 100 placées sur un compte rémunéré à 10% par an. 14

15 Un petit récapitulatif Vous allez avoir besoin de euros dans dix ans. Vous prévoyez de faire sept versements identiques chaque année, en commençant dans trois ans, sur un compte qui rapporte du 11% par an capitalisé annuellement. Quel doit être le montant de chaque versement annuel? 15

16 Actualisation d'une séquence de flux Année n Valeur Valeur actuelle Valeur actuelle Valeur actuelle Valeur actuelle n 16

17 Actualisation d'une séquence de flux La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs ou négatifs Avec i constant, on obtient pour n années : VA X = n t t t= 1 (1 + i) 17

18 Actualisation d'une séquence de flux identiques A («annuités») La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires : n X VA = t t t= 1 (1 + i) si on pose X t = A, se simplifie en VA = 1 A (1 + i i) n 18

19 Actualisation d'une séquence de flux identiques X Exemple : Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature, a réussi à emprunter une grosse somme d argent à votre banquier. Vous devez rembourser cet emprunt à raison de par an, sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6% par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement, combien devrez-vous verser au banquier? 19

20 Le coût d'opportunité Taux d emprunt ou taux de placement? En général le calcul d une valeur actuelle suppose que le taux d emprunt et le taux de placement sont identiques. En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des taux d'emprunt et de placement différents. Dans cette situation il faut raisonner en coût d opportunité. 20

21 Le coût d opportunité Exemple : Une année après, Fred n a toujours pas vendu sa voiture, mais il s est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une maison. Il paie un taux d'intérêt de 15% sur cet emprunt, et par ailleurs, il peut placer de l'argent à 5%. Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à payable immédiatement et une à payable dans un an. Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation, quelle offre doit-il accepter? Est-ce que sa décision changera s il ne peut pas rembourser une partie de son emprunt avant l'échéance? 21

22 Trouver le taux d'intérêt Exemple: Votre banque offre de vous rendre dans 10 ans, si vous investissez maintenant. Quel est le taux d intérêt de ce placement? (1 + i) i = = 7.18% 10 1 = 2 = =

23 Trouver le taux d'intérêt Formule générale : VF = VA ( 1+ i) n ( 1+ i) = n VF VA VF VA VF = VA = ( 1+ 1 n i) n i VF = n VA 1 23

24 Trouver le taux d intérêt Exemple : Votre cousine wallonne vous demande s il vaut mieux acheter une obligation à 995 euros, sachant qu elle sera remboursée euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte rémunéré. Quel est le taux d'intérêt (de fait, on parlera ici de taux de rendement actuariel TRA) de l obligation? De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire votre choix? 24

25 Trouver la durée du placement Exemple : Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d'euros, mais vous disposez seulement de Si le prix de l immobilier reste constant et vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement? 25

26 Trouver la durée du placement Solution générale VF = VA ( 1+ i) n ( + i) VF ln = ln VA VF ln VA n = ln = ln 1 n = ln VF VA = (1 + i) ( n (1 + i) ) = n ln( 1+ i) ( VF ) ln( VA) ln( 1+ i) n ( VF ) ln( VA) ln( 1+ i) 26

27 Rappel sur le logarithme Les propriétés suivantes sont utilisés en finance: e ln( x) ln( e ) = x ln( x y) = ln( x) + ln( y) ln( x ln( y ln( x x = x ( x > 0) / y) = ln( x) ln( y) x ) = x ln( y) + y) ln( x) ln( y) 27

28 Trouver la durée du placement Solution de l exemple : Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d'euros, mais vous disposez seulement de Si le prix de l immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement? n ln = ln ( 1+ 0,08) = 2,89 Vous avez besoin d environ trois ans 28

29 Modalités de calcul des taux d intérêts 1. Intérêts simples et intérêts composés L intérêt est dit simple lorsqu il est payé en une seule fois et qu il est proportionnel à la durée du placement. Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour fournir un nouveau capital procurant de l intérêt au cours de la période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital de départ est alors appelée intérêts composés. 29

30 Modalités de calcul des taux d intérêts 2. Intérêts précomptés ou post-comptés Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt. On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu ils sont postcomptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la somme en fin de période. 30

31 Modalités de calcul des taux d intérêts Exemple: Vous placez une somme d'argent sur cinq ans à 3% par an avec des intérêts simples à terme échu. Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux d'intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq ans? Exemple: La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux d'intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu. Quelle est la meilleure offre? 31

32 Modalités de calcul des taux d intérêts 3. Le cas des périodes inférieures à l année : taux équivalent et taux proportionnel Le taux d intérêt est généralement donné en base annuelle. Il existe plusieurs façons d'appliquer un taux annuel à des périodes inférieures à l année. Le taux proportionnel Le taux équivalent 32

33 Le taux proportionnel Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement d une durée inférieure à une année, un simple pro rata du taux d intérêt annuel est versé. Par exemple le taux proportionnel mensuel est i i A m = 12 Le taux proportionnel trimestriel est i = i 4 33 T A

34 Le taux proportionnel Exemple : Votre banquier accepte de vous prêter au taux annuel de 12%, avec un versement mensuel des intérêts. Calculez le taux proportionnel mensuel. Calculez quel montant d'intérêts devra être versé chaque mois. Si, au lieu d'exiger le versement des intérêts chaque mois, votre banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et que le paiement se fasse au bout d'un an, combien devrez-vous? A quel taux d'intérêt annuel cela est-il équivalent? 34

35 Le taux équivalent Deux taux d intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des valeurs futures identiques au terme de la même durée de placement. Ainsi, par exemple le taux mensuel (i m ) équivalent au taux d intérêt annuel i A résulte de l égalité suivante : i m = 1+ i A = (1 + i 1 12 ( 1+ i ) 1 = 12 ( 1+ i ) 1 A m ) 12 A 35

36 Le taux équivalent Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée du placement. En général le taux annuel équivalent i equ d un taux affiché en taux proportionnel i prop composé en n périodes est de i equ = iprop 1+ 1 n Le taux équivalent est toujours supérieur au taux proportionnel. n La différence s'accroît avec la fréquence de capitalisation. 36

37 Taux équivalent Exemple: Taux équivalent annuel d un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes Fréquence de capitalisation Taux proportionnel 37 Taux annuel équivalent % 18.00% % 18.81% % 19.25% % 19.56% % 19.68% % 19.72% 18 = = = = = =

38 Taux équivalent Taux équivalent annuel d un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes Fréquence de capitalisation Taux annuel équivalent % % infini % = 1 + = m i Lim m = m Taux d'intérêt continu = e i 1 38

39 Taux proportionnel et taux équivalent Exemple: La banque A propose d emprunter à un taux de 6% par an capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu. Quelle est la meilleure offre? 39

40 Taux équivalent et taux effectif Vous hésitez entre placer votre argent auprès d une banque qui vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé quotidiennement (Banco). En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque choisissez-vous? Banca ne vous propose ce taux d intérêt que si vous vous engagez à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre argent avant la fin de l année, vous perdrez les intérêts de l année. Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans votre prise de décision? 40

41 Taux d'intérêt et inflation Le taux nominal exprime le rendement en argent. C est le taux généralement indiqué. Pour connaître l'augmentation de votre pouvoir d'achat dans un environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel. Approximation: 1+ taux réel = 1+ taux nominal 1+ taux d'inflation taux réel taux nominal - taux d'inflation Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal et les flux réels avec le taux réel. 41

42 T aux d'intérêt et fiscalité L impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de votre placement. Votre rémunération nette d impôt (ou rémunération après impôt) représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé l impôt sur cette rémunération. Taux d intérêt après impôt = Taux d intérêt avant impôt x (1 Taux d imposition) 42

43 Taux d intérêt et fiscalité Exemple : Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus. Vous placez sur un compte qui rapporte du 8% annuel. Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement? 43

44 Évaluation d'une obligation Définition : Une obligation est un titre de dette, émis par une société ou par l Etat, avec les caractéristiques suivantes : montant emprunté (nominal) taux d'intérêt (taux nominal) modalité de paiement des intérêts (coupons) échéance (ou maturité) 44

45 Évaluation d'une obligation Exemple : Emission d'un emprunt obligataire avec les caractéristiques suivantes : nominal 1000 euros taux nominal 5,625% échéance 5 ans paiement des coupons chaque année remboursement à l'échéance 45

46 Évaluation d'une obligation ,25 56,25 56,25 56,25 56, Si le taux du marché obligataire est à 5,625% : 56,25 56,25 VA = ,625% (1 + 5,625%) = 56,25 5 k= 1 1 (1 + 5,625%) 1 (1 + 5,625%) = 56,25 5,625% k , (1 + 5,625%) (1 + 5,625%) (1 + 5,625%) 5 5 =? (1 + 5,625%) 5

47 Évaluation d'une obligation ,25 56,25 56,25 56,25 56, Si le taux du marché obligataire passe à 6%, comment va évoluer la valeur actuelle de l'obligation? 56,25 56,25 VA = % (1 + 6%) = 56,25 1 (1 + 6%) 1 (1 + 6%) = 56,25 6% 5 k= , (1 + 6%) k (1 + 6%) (1 + 6%) =? (1 + 6%) 5

48 Évaluation d'une obligation Quand les taux montent, le cours des obligations ordinaires («à coupons») baisse, et inversement. Explication en terme de Valeur Actuelle Explication en terme de bon sens 48

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