f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h)

Transcription

1 Chpitre 2 Courbes dns R n 2.1 Courbes dérivbles Définition. Soit I R un intervlle. Une courbe (ou un chemin) est une ppliction continue f : I R n. Une courbe est donnée pr un n-tuplet de fonctions continues f i : f 1 f =. f n Une courbe est dite dérivble si les n fonctions f i sont dérivbles. Une courbe est dite de clsse C k (I) si les n fonctions f i sont de clsse C k (I). Pour tout t I on ppelle f (t) = f 1(t). f n(t) le vecteur tngent u point f(t). Pour une courbe dérivble on pr définition de l dérivée Autrement dit, f (t) = lim h 0 h 0 f(t + h) f(t) h f(t + h) = f(t) + f (t)h + o(h) où o(h) désigne une courbe continue telle que o(h) lim = 0. h 0 h 20

2 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 21 Appliction en Mécnique. Une courbe décrit le mouvement d un point si on interprète l vrible t comme le temps et f(t) comme l position du point u temps t (en mécnique les prticules physiques sont représentées pr des prticules ponctuelles c est-à-dire sns extension sptile). Alors l imge de f décrit l orbite et le grphe de f décrit le mouvement dns l espce-temps. Le vecteur tngent u temps t représente le vecteur de vitesse et f (t) 2 = f 1 (t) f n(t) 2 est l vitesse u temps t. Le vecteur f (t) = f 1 (t). f n(t) représente l ccélértion u temps t. On écrit typiquement r(t), v(t), (t) pour l position, l vitesse et l ccél értion et les dérivées temporelles sont souvent notées ṙ(t), r(t),.... L éqution du mouvement pour une prticule de msse m est donnée pr l loi de Newton m(t) = F(t, r(t), v(t)) (2.1) où l ppliction F signifie l force ggissnte sur l prticule. C est un système d équtions différentielles du second ordre uxquelles il fut encore jouter des conditions initiles : m r(t) = F(t, r(t), ṙ(t)), r(0) = r 0, ṙ(0) = v 0. (2.2) Un système de N prticules dns R 3 peut être représenté pr un vecteur dns R 3N. Il est prfois commode de combiner le vecteur de position et le vecteur de vitesse d une prticule de msse m dns un vecteur ( ) r(t) v(t) ou encore ( ) r(t) p(t) où p(t) = mv(t) désigne s quntité de mouvement. L espce de ces vecteurs est ppelé l espce des phses et joue un rôle importnt en physique.

3 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 22 Des courbes dns l espce des phses pour une pendule (t) = -glsin(x(t)). p p x x Définition. Une courbe est dite régulière si f (t) 0 pour tout t I. Un t I (ou son imge f(t)) tel que f (t) = 0 est ppelé singulier (ou sttionnire). Exemples. 1. Cercles. Soit r > 0 et f : [0, 2π] R 2 donnée pr ( ) r cos t f(t) =, r sin t ou dns R 3 pr l fonction f(t) = r cos t r sin t 0 Noter que dns R 2 : Im(f) = f([0, 2π]) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = r 2 }. Noter que dns R 3 : Im(f) = f([0, 2π]) = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = r 2, z = 0}.

4 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 23 Dns R 2 on f (t) = ( ) r sin t r cos t et f (t) 2 = r ou dns R 3 pr l fonction r sin t f (t) = r cos t et f (t) 2 = r 0 Cette courbe est régulière. Noter ussi que f (t), f(t) = 0 et f (t) = f(t). 2. Une droite dns R n. Soit r 0, v R n, t 0 R v 0 et r : R R n donnée pr r(t) = r 0 + v(t t 0 ). Cette prmétristion d une droite décrit le mouvement d une prticule libre (t) = 0 vec des conditions initiles r(t 0 ) = r 0, r(t 0 ) = v. L vitesse est constnte : ṙ(t) = v et ṙ(t) 2 = v 2 Pour décrire son imge dns R n pr un système d équtions il fut trouver (n 1) vecteurs w j orthogonux deux à deux et orthogonux à v. On Im(r) = r(r) = {r R n : r r 0, w j = 0} pour tout j = 1,..., n 1. Une droite est décrite pr un système linéire de (n 1) équtions indépendntes. L droite f(t) = r 0 + v(t t 0 ) est une courbe régulière. 3. Tout grphe G f d une fonction réelle continuef : R R peut être considéré comme courbe dns R 2 : ( ) t f(t) = f(t) Évidemment Im(f) = G f. Pour le vecteur tngent on trouve ( ) f 1 (t) = f et f (t) (t) 2 = 1 + f (t) 2 4. Hélice. Pour r > 0 et c R soit f : R R 3 donnée pr f(t) = r cos t r sin t ct Le vecteur tngent est donné pr r sin t f (t) = r cos t et f (t) 2 = r 2 + c 2 c

5 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N Une courbe non injective. Soit f : R R 2 donnée pr ( ) t f(t) = 2 1 t 3 t Nous vons f( 1) = f(1) = 0 et Im(f) = f(r) = {(x, y) R 2 : x 2 + x 3 = y 2 } Nous clculons les vecteurs tngents : ( ) f 2t (t) = 3t 2 et f (t) 1 2 = 9t 4 2t Donc f ( 1) = ( 2, 2) et f (1) = (2, 2).

6 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N Prbole de Neil (ou prbole semi-cubique). On considère l courbe f : R R 2 donnée pr ( ) t 2 f(t) = t 3. ( ) 2t Donc f (t) = 3t 2. Le point (0, 0) est un point singulier. L imge de f est donnée pr l éqution x 3 = y 2. Intersection de courbes regulières. Soient f : I 1 R n, g : I 2 R n deux courbes regulières telles que f(t 1 ) = g(t 2 ). Autrement dit, Im(f) Im(g) n est ps vide. L ngle d intersection ϑ est défini comme l ngle entre les deux vecteurs tngents. On determine l ngle ϑ [0, π] pr cos ϑ = f (t 1 ), g (t 2 ) f (t 1 ) 2 g (t 2 ) 2 Exemple. Considérons l exemple 5. Nous vons f( 1) = f(1) = 0 et cos ϑ = 0 i.e ϑ = π/ Longueurs de courbes L idée est d pprocher une courbe pr une suite de segments et définir insi le concept de longueur d une courbe.

7 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 26 Longueur d un segment. Soit f : I R n une courbe et t 1, t 2 I. Le segment entre les points f(t 1 ) et f(t 2 ) est l ligne droite s : [0, 1] R n donnée pr s(τ) = f(t 1 )(1 τ) + f(t 2 )τ L longueur du segment est L(s) = f(t 2 ) f(t 1 ) 2. Définition - courbe rectifible. Une courbe f : [, b] R n est dite rectifible si pour toute subdivision de [, b] dont le ps tend vers zéro, les longueurs des suites de segments convergent vers un nombre fini L > 0. On ppelle L l longueur de l courbe f. Pour une courbe f dérivble l idée est de construire une somme de Riemnn pour v(t) = f (t) 2. Théorème. Soit f une courbe de clsse C 1 ([, b]). Alors f est rectifible et L = On ppelle L ussi l longueur d rc de f. f (t) 2 dt (2.3)

8 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 27 Démonstrtion. Soit N Z +. Pour tout k = 0,..., N 1 soit k = + k N (b ) on pr le théorème de l vleur moyenne (à ppliquer à chque f i ) : f i ( k+1 ) f i ( k ) = k+1 k f i(t) dt = b N f i(c k,i ), c k,i ] k, k+1 [. En clculnt l norme euclidienne et ensuite l somme sur k on obtient : N 1 f( k+1 ) f( k ) 2 = b N 1 n f i N (c k,i) 2. k=1 Pr l continuité uniforme de f et de l norme euclidienne l dernière somme converge vers l intégrle de f (t) 2 (exercice!). Théorème. L longueur d rc donné pr (2.3) ne dépend ps de l prmétristion choisie. (voir l nlyse 3) Une inéglité pour l longueur. Alors, ce qui est équivlent à f (t) dt 2 f(b) f() 2 k=1 i=1 Soit f une courbe de clsse C 1 ([, b]). f (t) 2 dt, f (t) 2 dt. Démonstrtion. On utilise l linérité de l intégrle et l inéglité de Cuchy- Schwrz pour le produit sclire dns R n : f(b) f() 2 2 = f(b) f(), f(b) f() = f(b) f(), = f (t) dt f(b) f(), f (t) dt f(b) f() 2 f (t) 2 dt = f(b) f() 2 f (t) 2 dt.

9 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 28 Exemples. 1. Longueur d rc d un rc de cercle. L(α) = α 0 f (t) 2 dt = rα 2. Longueur d rc d un segment d une ligne droite. L = v 2 dt = v 2 (b ) 3. L longueur d rc d une fonction f C 1 ([, b]) est donnée pr L = 1 + f (t) 2 dt Clculons l longueur d rc de l fonction cosh x entre < b. Evidemment L = 1 + sinh(t)2 dt = cosh t dt = sinh b sinh. 4. Longueur d rc de l hélice. L = 0 r2 + c 2 dt = b r 2 + c 2

10 CHAPITRE 2. COURBES DANS R N 29 Intégrle curviligne. Soit f une courbe de clsse C 1 ([, b]). Pour toute fonction continue ϕ : R n R on peut définir C est un sujet d Anlyse 3. ϕ ds = Im(f) ϕ(f(t)) f (t) 2 dt. (2.4)