COURBES PARAMÉTRÉES. t + 1. t +

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1 COUBES PAAMÉTÉES 1 Propriétés géométriques des courbes paramétrées Soit n = 2 ou 3 et une norme sur n Soit I un intervalle de Dénition 11 Soit k N et c : I n une application de classe C k sur I Alors c s'appelle une courbe paramétrée de classe C k Si n = 2 (resp n = 3), l'image c(i) de I par l'application c s'appelle une courbe plane (resp courbe de l'espace) Exemple Soit n = 2, I =]0, [ et c ex : I n, t t + 1 t t + 1 2t 2 Γ ex := c ex (I) c est une courbe paramétrée de classe C 2 Dans la suite, c est une courbe paramétrée de classe C k, k 2, Γ = c(i) et t 0 I Dénition 12 Le point c(t 0 ) est dit régulier (resp singulier) si c (t 0 ) 0 (resp c (t 0 ) = 0) La courbe paramétrée c est dite régulière si tout point de c(i) est régulier Le point c(t 0 ) est dit birégulier si c (t 0 ) et c (t 0 ) sont linéairement inépendants dans n La courbe paramétrée c est dite birégulière si tout point de c(i) est birégulier Exemple c ex (1) est un point singulier Si t ]0, [\{1} alors c ex (t) est un point régulier Tangentes Dénition 13 Soit D 0 une droite de n, X 0 D 0 et {D(t) t I} un ensemble de droites de n passant par X 0 On dit que D(t) tend vers D 0 lorsque t t 0 s'il existe un vecteur directeur u de D 0 et u(t) n un vecteur directeur de D(t) tel que u(t) u lorsque t t 0 Dénition 14 Soit D 0 une droite passant par c(t 0 ) On dit que D 0 est la tangente à Γ en c(t 0 ) si (1) il existe δ > 0 tel que t I, 0 < t t 0 < δ, c(t) c(t 0 ), (2) la droite c(t)c(t 0 ) tend vers D 0 lorsque t t 0 Proposition 11 Si c (t 0 ) 0 alors la droite passant par c(t 0 ) et parallèle à c (t 0 ) est la tangente à Γ en c(t 0 ) CAPES externe - 12 février A ougirel - IUFM Poitou-Charentes 1

2 Proposition 12 Soit p N, 1 p k Si c (p) (t 0 ) 0, c (i) (t 0 ) = 0, i = 1,, p 1 alors la droite passant par c(t 0 ) et de vecteur directeur c (p) (t 0 ) est la tangente à Γ en c(t 0 ) Exemple Pour tout t > 0, déterminer une équation de la tangente à Γ ex en c ex (t) Changements de paramètre Arcs géométriques Dénition 15 Soit J un intervalle de Deux courbes paramétrées c : I n et d : J n sont dites C k -équivalentes s'il existe une bijection s de J sur I de classe C k ainsi que son inverse telle que d = c s L'application s s'appelle un changement de paramètre Proposition 13 La relation c et d sont C k -équivalentes est une relation d'équivalence sur l'ensemble des courbes paramétrées de classe C k Dénition 16 Un arc géométrique de classe C k est une classe d'équivalence pour la relation ci-dessus Une courbe paramétrée appartenant à une classe γ s'appelle un représentant de γ Proposition 14 Soit c et c deux représentants d'un arc géométrique γ Soit c(t 0 ) = c(τ 0 ) un point de Γ Si γ est de classe C 1 alors Si γ est de classe C 2 alors et c(t 0 ) est régulier c(τ 0 ) est régulier c(t 0 ) est birégulier c(τ 0 ) est birégulier c (τ 0 ) = s (τ 0 )c (t 0 ), (1) c (τ 0 ) = s (τ 0 )c (t 0 ) + s (τ 0 ) 2 c (t 0 ) (2) Dénition 17 Un arc géométrique est dit régulier s'il admet un représentant régulier Un arc géométrique est dit birégulier s'il est de classe C 2 et admet un représentant birégulier Courbes planes n = 2 Forme d'une courbe plane au voisinage d'un point On suppose que c est de classe C sur I Soit p le plus petit entier tel que c (p) (t 0 ) 0 et q le plus petit entier > p tel que c (p) (t 0 ) et c (q) (t 0 ) soient linéairement indépendants Le dévelopement de Taylor-Young à l'ordre q s'écrit c(t 0 + h) = c(t 0 ) + h p c(p) (t 0 ) p! + h p+1 c(p+1) (t 0 ) (p + 1)! h q c(q) (t 0 ) q! + o(h q )

3 Donc, en posant e 1 = c(p) (t 0 ), e p! 2 = c(q) (t 0 ), les coordonnées de c(t q! 0 + h) dans le repère = (c(t 0 ), e 1, e 2 ) sont h c(t 0 + h) = p + o(h p ) h p h q + o(h q ) h q On pose x = h p D'après la Proposition 12, Γ est tangent à e 1 en c(t 0 ) De plus, Si p est impair, q est pair alors c(t 0 + h) ( x x q/p ) Si p est impair, q est impair alors c(t 0 ) est un point d'inexion et ( ) x c(t 0 + h) sgn(x) x q/p Si p est pair, q est impair alors c(t 0 ) est un point de rebrousement de première espèce, x si h > 0 alors x > 0 et c(t 0 + h) x q/p x si h < 0 alors x > 0 et c(t 0 + h) x q/p Si p est pair, ( q est pair ) alors c(t 0 ) est un point de rebrousement de seconde espèce x et c(t 0 + h) x q/p Exemple Déterminer la forme de la courbe Γ ex au voisinage de c(1) Branches innies n = 2 ou 3 Soit t I Dénition 18 On dit que Γ admet une branche innie en t si c(t) lorsque t t Dénition 19 Soit D une droite passant par 0 Si Γ admet une branche innie en t alors D est une direction asymptotique si la droite passant par 0 et c(t) tend vers D lorsque t t Exemple Etudier les branches innies de Γ ex Dénition 110 Supposons que Γ admet une direction asymptotique D lorsque t t Soit D(t) la doite passant par c(t) et parallèle à D Si D(t) s'éloigne à l'inni lorsque t t (c'est à dire X ) alors Γ présente une branche parabolique dans la direction D S'il existe une droite D telle inf X D(t) d(c(t), D ) := inf c(t) X 0 X D t t alors on dit que D est asymptote à le courbe Γ Exemple Etudier les branches paraboliques et les asymptotes de Γ ex Proposition 15 Soit D : y = ax est une direction asymptotique (1) Si c 2 (t) ac 1 (t) lorsque t t alors Γ présente une branche parabolique dans la direction D 3

4 (2) Si c 2 (t) ac 1 (t) b alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à Γ Courbes paramétrées en coordonnées polaires Dénition 111 La courbe paramétrée c est dite dénies en coordonnées polaires si cos θ(t) c(t) = r(t) t I, sin θ(t) où r : I et θ : I Cas Particuliers : Equations polaires : r = f(θ) Par convention, θ = t c'est à dire cos θ c(θ) = f(θ) θ I sin θ cos g(r) De même, θ = g(r) signie c(r) = r sin g(r) Exemple La spirale d'équation polaire θ = 2π, r ]0, 1] Déterminer les directions r des tangentes aux points d'intersection avec les axes de coordonnées cartésiennes Courbes de l'espace n = 3 Plan osculateur Dénition 112 Etant donnée D 0 une droite de l'espace et u 3 non parallèle à D 0, soit P 0 le plan passant par D 0 et parallèle à u Soit {P (t) t I} un ensemble de plans de passant par D 0 On dit que P (t) tend vers P 0 lorsque t t 0 s'il existe un vecteur u(t) parallèle à P (t) tel que u(t) u lorsque t t 0 Dénition 113 Supposons que Γ admette une tangente T (t 0 ) en c(t 0 ) Etant donné P 0 un plan passant par T (t 0 ), on dit que P 0 est le plan osculateur à Γ en c(t 0 ) si (1) il existe δ > 0 tel que t I, 0 < t t 0 < δ, on a c(t) T (t 0 ), (2) le plan c(t)t (t 0 ) tend vers P 0 lorsque t t 0 emarque 1 Intuitivement, le plan osculateur à Γ en c(t 0 ) est le plan P 0 tel que c(t) P 0 lorsque t t 0 Théorème 11 Si c(t 0 ) est birégulier alors le plan passant par c(t 0 ) et parallèle à c (t 0 ), c (t 0 ) est le plan osculateur à Γ en c(t 0 ) Exemple Soit c :]0, [ 3, t t t + 1 t t + 1 2t 2 Donner une équation du plan osculateur à c(]0, [) en c(1) 4

5 Allure au voisinage d'un point On suppose que (c (t 0 ), c (t 0 ), c (t 0 )) est libre Alors c(t 0 + h) = c(t 0 ) + hc (t 0 ) + h 2 c (t 0 ) 2 Donc, dans le repère = (c(t 0 ), c (t 0 ), 1 2 c (t 0 ), 1 6 c (t 0 )), c(t 0 + h) h h 2 h 3 + h 3 c (t 0 ) 6 + o(h 3 ) Enveloppe d'une famille de droites n = 2 Soit a, b, e : I des fonctions telles que (a(t), b(t)) (0, 0) pour tout t I Soit D(t) la droite d'équation a(t)x + b(t)y + e(t) = 0 Dénition 114 On dit que la courbe paramétrée c : I 2 est une enveloppe de la famille de droites {D(t) t I} si D(t) est tangente à c en c(t) pour tout t I Proposition 16 Sous les hypothèses et notations précédentes, supposons que a, b, e sont de classe C 1 sur I et que (t) := a(t) b(t) a (t) b (t) = ab (t) a b(t) 0, t I Soit c : I 2, la courbe paramétrée dénie pour tout t I par ) c(t) = ( be (t) b e(t) (t) a e(t) ae (t) (t) Si c (t) 0 pour tout t I alors c est l'enveloppe de la famille de droites {D(t) t I} 2 Propriétés métriques des courbes planes Soit I = [a, b], n = 2 Etant donné, γ un arc géométrique de classe C 1, on désigne par c un représentant de γ Dénition 21 La longueur de la courbe paramétrée c est {n 1 } L c = sup c(t i+1 ) c(t i ) ; n N, a = t 0 < t 1 < < t n = b i=1 Proposition 21 L c est constant pour tout représentant c de l'arc γ Dénition 22 La longueur de l'arc géométrique γ est L γ = L c Théorème 21 L c = b a c (t) dt 5

6 Dénition 23 Une fonction S : I est une abscisse curviligne s'il existe t 0 I tel que S(t) = t t 0 c (u) du t I Théorème 22 On suppose que c est une courbe paramétrée régulière Etant donnée S une abscisse curviligne, on pose c = c S 1 Alors c est une courbe paramétrée et c (τ) = 1 τ S(I) Dénition 24 Sous les hypothèses et notations du Théorème 22, on dit que c est une courbe paramétrée par longueur d'arc ou que c est une paramétrisation de γ par longueur d'arc Proposition 22 Deux paramétrisations de γ par longueur d'arc diérent par un changement ane de paramètre Courbure On suppose que γ est régulier et de classe C 2 Dénition 25 Pour tout t I, le repère orthonormé direct d'origine c(t), de premier vecteur e 1 (t) := c (t)/ c (t) et de second vecteur e 2 (t) s'appelle le repère de Frenet associé à la courbe paramétrée c Soit c une paramétrisation de γ par longueur d'arc Dénition 26 Pour tout t I, le réel positif ρ(t) déni par ρ(t) = c (t) s'appelle la courbure de Γ au point c(t) Si ρ(t) 0 alors le réel (t) := 1 ρ(t) s'appelle le rayon de courbure de Γ au point c(t) Par convention, si ρ(t) = 0 alors (t) = Par dérivation, 1 2 c (t) 2 = 1 2 = c (t) c (t) = 0 Donc c (t) = ±ρ(t)e 2 (t) Proposition 23 Soit α(t) une mesure de l'angle orienté (u 1, c (t)) où u 1 = Alors et e 1 (t) = ( 1 0) ρ(t) = α (t) t I (3) cos α(t), e sin α(t) 2 (t) = 6 sin α(t) cos α(t)

7 emarque 2 D'après (3), la courbure représente, au signe près, la vitesse de variation de la direction de la tangente Plus ρ(t) est grand, plus Γ est courbée au voisinage de c(t) Théorème 23 (Calcul pratique de la courbure) Soit c une paramétrisation quelconque de l'arc régulier γ Alors la courbure de γ au point c(t) est ρ(t) = det( c (t), c (t) ) c (t) 3 Exemple Soit Γ la courbe représentative dans 2 d'une fonction f : de classe C 2 sur (1) Montrer qu'il existe un unique arc régulier γ ayant pour image Γ (2) Donner une paramétrisation non régulière de Γ (3) Calculer la courbure de γ en chacun de ses points Dénition 27 Soit c une courbe paramétrée par longueur d'arc et birégulière Pour tout t I, le cercle de centre c(t) + (t)e 2 (t) et de rayon (t) s'appelle le cercle osculateur ou cercle de courbure de Γ au point c(t) Dénition 28 Soit Γ, Γ, deux courbes planes et c : I 2, d : J 2 leur paramétrisation respective par longueur d'arc On suppose que c et d sont de classe C p, p > 0 et qu'il existe (t 1, t 2 ) I J tel que c(t 1 ) = d(t 2 ) Alors on dit que (1) Γ et Γ ont un contact d'ordre m (0 < m < p) au point c(t 1 ) si c (k) (t 1 ) = d (k) (t 2 ) k = 1,, m, c (m+1) (t 1 ) d (m+1) (t 2 ) (2) c et d ont un contact d'ordre au moins m (0 < m p) au point c(t 1 ) si c (k) (t 1 ) = d (k) (t 2 ) k = 1,, m Exemple Une courbe paramétrée et sa tangente ont un contact d'ordre au moins 1 Si le contact est d'ordre au moins 2 alors les repères de Frenet coïncident Si les développements de Taylor de deux courbes paramétrées coïncident en un point jusqu'à l'ordre m alors elles ont un contact d'ordre m Proposition 24 L'image d'une courbe paramétrée birégulière et son cercle osculateur ont un contact d'ordre au moins 2 Dénition 29 L'ensemble Γ D des centres de courbure s'appelle la développée de Γ Exemple Déterminer et étudier la développée de l'ellipse Γ d'équation x2 a 2 + y2 b 2 = 1 7