TP : Expériences à 3 issues & loi trinomiale. «Le jeu de la roue»

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1 TP : Expériences à 3 issues & loi trinomiale «Le jeu de la roue» Objectifs : Représenter la répétition d expériences identiques et indépendantes à 3 issues par un arbre pondéré Calculer la loi de probabilité d une variable aléatoire qui suit une loi trinomiale Construire et exécuter un algorithme pour calculer une probabilité Niveaux : 1 ère S et 1 ère ES/L Durée : 2h (1h sur papier- travail individuel / 1h pour écrire tester l algorithme travail en groupe) Prérequis : Décrire une expérience à l aide d un arbre Calculer une loi de probabilité Bases de l algorithme(déclaration de variables / Boucles/ Conditions / Affichage) Outils TICE : Logiciel de programmation : Algobox Référence au programme : Déroulement : On répète n fois de manière identique et indépendante l expérience «tourner la roue», et on note la couleur obtenue Trois issues sont possibles : on peut obtenir la couleur Rouge, Verte ou Bleue L activité se déroule en deux temps : Dans une première partie, l élève étudie une situation à 3 issues et 3 répétitions en complétant un arbre Puis on introduit X la variable aléatoire définit par la règle du jeu suivante : le joueur gagne 2 si au bout de n expériences, la couleur rouge n est jamais apparue, il gagne 5 si la couleur rouge apparaît une seule fois, et perd 1 si elle apparaît plus d une fois On va alors calculer P(X=-1), P(X=2) et P(X=5) X pouvant prendre 3 valeurs, on parlera de loi trinomiale On se rend vite compte que l arbre a ses limites Sa représentation devient impossible lorsque le nombre de répétition de l expérience augmente C est pourquoi dans la deuxième partie, on veut généraliser le nombre de répétition à n, et écrire un algorithme permettant de calculer la probabilité des 3 gains du jeu L algorithme étant complexe et assez long (plusieurs boucles et conditions), il est préférable de mettre en place un travail de groupes Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 1

2 Enoncé : _ Mr Hazard tourne la roue de casino représentée ci-contre _ L expérience consiste à tourner n fois la roue et à regarder la couleur obtenue à chaque fois _ On tombe sur la portion bleue avec une probabilité de, la portion verte avec une probabilité de et la portion rouge avec une probabilité de _ Soit X la variable aléatoire définie par la règle du jeu suivante : le joueur gagne 2 si au bout de n expériences, la couleur rouge n est jamais apparue, il gagne 5 si la couleur rouge apparaît une seule fois, et perd 1 si elle apparaît plus d une fois Quel que soit le nombre n d expériences (répétées de manières identiques et indépendantes), X peut donc prendre 3 valeurs : X=-1, X=2 ou X=5 La loi de probabilité de la variable aléatoire X se nomme loi trinomiale 1 Cas où n=3 et arbre de probabilité a Reproduire et compléter l arbre ci-contre afin d obtenir tous les chemins possibles Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 2

3 b Dans le tableau suivant, reporter le nombre de chemins réalisant chaque suite de couleurs, sans tenir compte de l ordre Chemins possibles (sans ordre) Nombre de chemins B-B-B V-V-V R-R-R B-V-R V-V-B V-V-R R-R-B R-R-V B-B-R B-B-V Total Remarque : On vérifiera que le nombre total de chemins trouvé est cohérent avec l arbre ci-dessus c Quelle est la probabilité que Mr Hazard obtienne dans l ordre les couleurs «Rouge-Bleu-Vert»? d Mr Hazard dit qu il gagnerait plus facilement la partie si le jeu consistait à avoir la combinaison «Rouge- Bleu-Vert» dans n importe quel ordre Pourquoi a-t-il raison? Quelle est cette probabilité? Il a raison car plusieurs chemins sont possibles : 6 d après l arbre ou le tableau e Mr Hazard est gagnant s il obtient un unique Rouge Quelle est la probabilité qu il gagne au jeu de la roue? Rappelons que X est la variable aléatoire qui prend la valeur 5 si la couleur rouge apparaît une seule fois Toutes les possibilités pour gagner sont, dans le désordre : R-V-V, R-B-B, R-V-B f Compléter la loi de probabilité de X x i P(X=x i ) 2 Généralisation et programmation On se rend vite compte que l arbre a ses limites : sa représentation devient impossible lorsque le nombre de répétition de l expérience augmente (le nombre de branches est de 3 n!) C est pourquoi dans la deuxième partie, on veut généraliser le nombre de répétitions à n, et écrire un algorithme permettant de calculer les probabilités de chaque gain Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 3

4 Travail de groupe demandé : A l aide des indications des deux paragraphes ci-dessous, écrire un algorithme permettant de calculer et d afficher P(X=-1), P(X=2) et P(X=5) Puis, utiliser le logiciel Algobox pour programmer cet algorithme Vérifier le résultat de la question f précédente Quelle est la probabilité que M Hazard gagne 5 en tournant 10 fois la roue? Que constatez-vous lorsque l on fait augmenter le nombre d expériences n? a Principe de l algorithme Une grande partie de la programmation consiste à construire l arbre On choisit tout d abord l ordre suivant pour explorer l arbre : Rouge-Vert-Bleu Cela signifie que l on va parcourir les branches partant d un nœud Rouge dans un premier temps, puis les branches avec un nœud Vert et enfin Bleu Ainsi, la première branche parcourue sera Rouge-Rouge-Rouge et la dernière : Bleu-Bleu-Bleu Ci-contre : exemple de l ordre de parcours pour n=2 (lire l arbre de bas en haut) A chaque fois qu une branche est terminée, on compte le nombre de «Rouge» puis on évalue le gain (X=-1, X=2 ou X=5) Ensuite, il faut calculer la probabilité de réaliser la branche Puis, on fait la somme des probabilités de toutes les banches qui ont le même gain L algorithme affiche en dernier les 3 probabilités : - la probabilité de perdre 1 (si la couleur Rouge est apparue plus d une fois) : variable S - la probabilité de gagner 2 (si le Rouge n est jamais apparu) : variable Q - et la probabilité de gagner 5 (si le Rouge est apparu exactement une fois) : variable R Comme Algobox ne considère que les nombres, on identifie la couleur Rouge à 1, la couleur Verte à 2 et la couleur Bleue à 3 b Variables et initialisations - S, Q, R initialisés à 0 - Demander n (nombre d expériences) - Liste L de taille n (initialisés à n cases rouges) - Combinaison est une variable booléenne : 0 si Faux, 1 si Vraie Si on vient de changer le rouge en vert ou le vert en bleu, combinaison vaut 1, par contre, lors d un changement de nœud, combinaison vaut 0 Combinaison est initialisée à 0 - La variable booléenne continueboucle vaut 1 tant que la dernière combinaison Bleu-Bleu-Bleu n a pas été générée (et 0 sinon) continueboucle est initialisée à 1 - Les variables i et indice balayent la liste de 1 à n - La variable compteur initialisée à 0 compte le nombre de «Rouge», une fois une branche terminée - La variable proba (initialisée à 1) calcule la probabilité d obtenir le tirage de la liste L, une branche étant terminée Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 4

5 c Solution : Algorithme - Déclarer 3 variables : S, Q, R - Créer liste L de taille n - Déclarer variable continueboucle - Déclarer proba (nombre) et compteur (nombre) - Début programme - Initialiser S :=0, Q :=0 et R :=0 - Demander n (nombre d expériences) - Initialiser liste : toutes les cases rouges de 1 à n Pour i de 1 à n, L[i] :=1 ; finpour - Initialiser continueboucle := 1 (vraie) - Déclarer proba (nombre) et compteur (nombre) - Tant que (continueboucle =1) faire : proba := 1 (initialisation de la probabilité d obtenir le tirage de la liste L) compteur := 0 (compte le nombre de Rouge dans la liste) Pour i allant de 1 à n o Si L[i] =1 (Rouge) alors Compteur := compteur +1 ;, FinSi o Si L[i] =2 (Vert) alors, FinSi o Si L[i] =3 (Bleu) alors, FinSi Fin Pour Si compteur = 0 alors Q := Q + proba, FinSi Si compteur = 1 alors R := R + proba, FinSi Si compteur > 1 alors S := S + proba, FinSi continueboucle := 0 (Faux) Pour i allant de 1 à n o Si L[i] (Bleu) alors continueboucle := 1 (vraie) (On s arrête quand tout est bleu) FinPour Si continueboucle =1 o Définir variable Indice Indice (nombre de 1 à n) et combinaison (booléen) o Indice := 1 et combinaison := 0 (faux) o Tant que (Indice <=n) et (combinaison = 0) faire Si L[Indice] = 1 (Rouge) alors L[indice]=2 (Vert) ; combinaison :=1 ; FinSi Si Si L[Indice] = 2 (Vert) alors L[indice]=3 (Bleu) ; combinaison :=1 ; FinSi Si L[Indice] = 3 (Bleu) alors L[indice]=1 (Rouge) ; Indice := Indice + 1 ; FinSi Fin Tant que Fin Si Fin Tant que _ Afficher : «la probabilité de perdre 1 est de :», S _ Afficher : «la probabilité de gagner 2 est de :», Q _ Afficher : «la probabilité de gagner 5 est de :», R _ Fin Programme Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 5

6 d Solution : Programmation avec AlgoBox Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 6

7 e Observations lorsque n augmente _ Pour n=10, le programme donne le résultat suivant : _ A partir de 4 expériences, on n a plus de chance de perdre 1 Groupe TICE Grenoble _ Fiche professeur Page 7