Le stigmatisme est possible dans le cas d un dioptre plan pour des cas très restreints :

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1 Chapitre 5 Les dioptres Itroductio : appelos que le dioptre est ue surface séparat deu ilieu trasparets, hoogèes et de réfrigece différete. Nous avaços doc das l'optique géoétrique puisque les rayos peuvet cette fois-ci péétrer das la surface plae ou sphérique ce qui 'était bie sûr pas possible ode évaescete eclue) das le cas des iroirs. I. Dioptre pla. O part coe d habitude d u poit A situé à gauche de l iterface etre les deu ilieu d idice et. Les rayos issus de A sot réfractés et doet ue iage A. Nous allos essayer de voir s il eiste u stigatise rigoureu pour ces dioptres plas.. Stigatise vrai Le stigatise est possible das le cas d u dioptre pla pour des cas très restreits : L objet est sur l iterface et est so propre objet ce qui est sas itérêt. L objet est à ue distace ifiie et est rejetée à droite à ue distace ifiie.. Stigatise approché egardos ce qui se passe lorsqu u poit A quelcoque est situé e avat de l iterface. H I H A ta i H A ' ta i ta i H A ' H A ta i Or d après le è loi de Sell, ce est pas le rapport des tagetes qui est costat ais le rapport des sius! Doc le stigatise parfait est ipossible pour u poit A quelcoque. O peut e revache evisager u stigatise approché e preat des agles faibles c est-à-dire lorsque les rayos sot peu écartés de l ae AH) où l o peut avoir la relatio de cojugaiso que ous allos déotrer. Nous allos repredre la forule avec les tagetes e supposat les agles faibles : ta i H A ' H A H A ' H A, i faibles ta i or si i ) si i ) doc H A ' si i H A ' H A H A si i si i si i

2 O obtiet doc la forule des dioptres plas : H A H A ' Quelques rearques sur cette forule assez siple HA et HA sot de êe sige doc si A est réel, A est virtuel et réciproqueet si A est virtuel, A est réel. ' ' ) AA HA HA AH et o déduit A pour traslatio du vecteur AH «rectifié». 3. Lae à faces parallèles La lae à faces parallèles est coposée de deu dioptres plas distats de e, est l'idice du ilieu. Si l o suppose u stigatise pour A, u poit objet A a pour iage u poit A' situé sur la perpediculaire eée de A au faces de la lae puisque la réfractio e odifie pas les rayos orau. Cosidéros la lae parallèle coe ue additio d ifiité de ilieu où i= idique le ilieu etérieur gauche d idice, 3, 4, N les idices des couches ifiitésiales d idice puis N+ = l idice du ilieu de droite. N N H A N e H A e N H A H A H A e / H A 0 e / N H A e H A N N e... N N et soit HA H A N e e 0 H A ' e e H A H A ' H A e e H A ' H A et e AA' e La lae trasparete est équivalete à u dioptre, seule la valeur de la traslatio AA chage. II. Dioptres sphériques Après l étude des iroirs sphériques, il est logique d étudier cette fois-ci les dioptres sphériques. Bie sûr, ous allos à ouveau eaier le stigatise de tels systèes optiques

3 . Stigatise des dioptres sphériques : poits de Youg-Weierstrass O peut déjà éocer qu il y a stigatise rigoureu pour tous les poits de la surface du dioptre ais aussi pour le cetre C qui est sa propre iage car les rayos orau e sot pas déviés d après la è loi de Sell. Il eiste aussi deu poit rearquable W et W que l o appelle les poits de Youg-Weierstrass qui d u poit W doe ue iage W. Le dioptre sphérique sépare les ilieu d idice et A : poit objet ; A so iage par le dioptre. L objet A est réel, l iage A est virtuelle ou iverseet) suivat u rayo luieu AIA, I état sur le dioptre. La coditio de stigatise rigoureu s écrit : L AA = AI A I)= C te Ici o a : L AA = AI A I = C te NB : - Si A et A sot sur la surface du dioptre o a L AA = 0 - De êe si A est au cetre du dioptre o a : A =A = C et L AA = 0 Horis ces cas, otros que deu poits seuleet appelés poits de Weierstrass, vérifiet la coditio de stigatise rigoureu. Pour cela : Cosidéros le repère C,, y) où C est le cetre du dioptre. Notos S le soet du dioptre. Posos : = SC, p = SA, p = SA '. O désige par H la projectio de I sur l ae C Posos : = SH Eprios AI et A I das C,, y) O retrouve le êe Karl Weierstrass ) que vous avez déjà vu e athéatiques supérieures avec le théorèe d aalyse de Bolzao-Weierstrass qui éoce : «De toute suite réelle borée, o peut etraire ue sous-suite covergete.» 3

4 AI AH HI AS SH ) IC CH ) AS SH ) [ IC CS SH ) ] AI p ) ) p p ) p p ) AI p p) A' I A' H HI A ' S SH ) IC CH ) A ' S SH ) [ IC CS SH ) ] p ' ) ) p ' p ' p ' p ' A ' I p ' p ') Doc AI p p ) A ' I p ' p ') Le chei optique etre A et A est : L AA = p p) -. p ' p ') L AA = p ) - p ' ) p p Pour les poits de Weierstrass ce chei optique est «rigoureuseet» idépedat de la positio du poit I : c est-à-dire de. Autreet dit L AA ) est idépedate de d où : dl AA dl AA dl AA ' ) 0 d p ) ' ) p p d ) p p ) ' ) p d ) p p ' ) ) ' ) ) dl AA' d ) ) ' ) p ' p ' p p ' 0 ) ' ) ) ) p p ' p p p ' p ' 4

5 ' p SW ) p ' SW ) ' Ces deu relatios caractériset les poits de Weierstrass pour u dioptre sphérique. E coclusio, u dioptre sphérique est doc rigoureuseet stigatique que pour les poits de Weierstrass, pour les poits de sa surface et pour so cetre. E preat l origie au cetre de la sphère, o obtiet ue relatio plus élégate : CW CW ' CS CS ' et CW. CW CS. Stigatise approché des dioptres sphériques. O va réaliser u développeet liité autour du cetre C et des poits de Weierstrass car le stigatise approché e peut être réalisé qu autour de ces deu poits. Stigatise proche de C : pour les poits proches de C, u rayo A C) est réfracté e IA ). cos ' ' ' cos et si i) ' si r ) si i) si ) si r) si ) soit si r ) cos ' si i) ' ' cos 5

6 cos cos cos ) ' ' cos ) ' ' ' cos ' ' cos cos ' cos ' ) cos et ' ' ') cos ou C A C A ' ' La distace e déped pas de l agle au preier ordre : il y a doc stigatise approché ais o voit que le stigatise disparaît très vite lorsque augete l ordre deu est pas ul). Stigatise proche de W : o pred u poit A tel que CA=CW + et ous allos calculer la quatité CA. C A. C A ' C S C W ). C W ') C S C W. C W. C W '. C W ') C S. C W '. C W ' 0 ' très petit CW. C W '. C W 0 '. C W. C W soit ' CW CS ' ' CS ' ' est doc petit ' Le stigatise est doc assuré autour des poits de Weierstrass. III. Le prise. Présetatio du prise et coditios epérietales O appelle prise u ilieu hoogèe trasparet et isotrope d idice liité par deu dioptres plas. 6

7 E se reportat au dessi, les lois de Descartes ous doet : si i.si r si i '.si r ' *) E regardat la figure du prise ci-dessus : A r r ' D i i ' A **) Ces relatios sot algébriques siges + ou pour les agles) : il faut doc établir des covetios de siges. Covetios de siges pour le prise : E se reportat de ouveau au dessi :. Autour de I, les agles sot coptés + à partir de la orale, das le ses trigooétrique ;. Autour de I, les agles sot coptés + à partir de la orale, das le ses trigooétrique iverse ;. A est +, et D est copté + si dévié vers la base car ses + autour de I. Coditios d éergece : Si tous les rayos péètret das le prise car o passe d u ilieu ois réfriget à u plus réfriget), tous e peuvet e sortir car o passe d u ilieu plus réfriget à u ilieu ois réfriget) ce qui sera ise à profit pour certaies utilisatios du prise voir fi du chapitre). Pour que l éergece soit possible, il faut et il suffit qu il e subisse pas la réfleio totale sur la face de sortie ce qui se traduit par : r' Où si si est l agle de réfractio liite. Or r est pas accessible par l epériece car itérieur au prise : il faut faire apparaître l agle i qui est lui esurable par l epériece. E coclusio, pour que l éergece soit possible du prise, il faut vérifier à la fois les deu coditios suivate : Coditio iposée au prise : A Coditio iposée à l agle d icidece : i0 i Où 0 i est défii par : 0 si i.sia ) 7

8 . Etude de la déviatio. Variatio de D avec l agle d icidece i sur la face d etrée : La courbe D = fi) est représetée ci-cotre avec, coe vu ci-dessus, i 0 D D D. 0 i ce qui coduit à Cette valeur D correspod à u iia de la courbe ou asyptote horizotale ce qui se traduit par : dd di 0 D se oe iiu de déviatio. Nous allos regrouper les quatre relatios * et **) pour pouvoir créer ue foctio Di) et esuite la dériver pour trouver l agle de iiu de déviatio que ous avos vu e cours. D i arcsi si A r )) A si i D i) i arcsi si A arcsi )) A Dérivos aiteat la foctio Di) pour coaître so etreu. si i D i) i arcsi si A arcsi )) A dd i) d si i arcsi si A arcsi )) avec arcsi' ) di di si i cos A arcsi ) cos i si i si i / ) si A arcsi )) cos A r ) cos i cos r ') cos i si r ) si A r ) cos r si r ') dd i) cos r ') cos i 0 di cos r cos i ' ésolvos cette équatio fialeet assez siple. 8

9 cos r ') cos i cos r cos i ' cos r ') cos i 0 0 cos r cos i ' cos r cos i ' cos r cos i ' cos r ') cos i r r ' et i i ' C est la coditio du iiu de déviatio et des forules du prise o déduit que : i i r r ' r A D i A Des deu derières relatios, o coclut doc que, au iiu de déviatio, le tracé du rayo luieu est syétrique par rapport au pla bissecteur de l agle A du prise. O déduit efi de l eseble des relatios que, au iiu de déviatio, o a A D si A si O peut aisi relier préciséet l idice optique avec l agle iiu de déviatio pour ue logueur d ode doée grâce au prise. Cas des agles petits : Das ce cas, A et i sot petits et o a : D ).A. L idice se calcule doc très facileet et o a de plus dd 0 di toujours : o travaille doc e peraece au iiu de déviatio. 9