COURS MEC3400 ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE DU SOLIDE TP no. 6, Fréquences naturelles d'un arbre

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1 COURS MEC3400 ÉLÉMENTS FINIS EN MÉCANIQUE DU SOLIDE TP no. 6, Fréquences naturelles d'un arbre Le but de ce dernier travail pratique est d'obtenir les principales caractéristiques du comportement dynamique d'un arbre sur lequel sont montés deux rotors (Fig. 1). En particulier, nous chercherons à connaître ses principaux modes de vibration ainsi que les fréquences naturelles qui leurs sont associées à l'aide d'un modèle d'éléments finis très simple. Nous évaluerons également l'effet de la masse des rotors et de la rigidité des paliers placés en bouts d'arbre sur les fréquences naturelles. Comme à l'habitude, nous procéderons à une vérification de la convergence de nos solutions. Dans la figure 1, deux rotors en acier sont montés sur un arbre également fait d'acier. L'arbre est supporté à son extrémité gauche par un roulement à billes et à son extrémité droite par un roulement à rouleaux. Le rotor «A» a une masse de 15 kg et un rayon de giration polaire de 16 cm. Le rotor «B» a une masse de 7 kg et un rayon de giration polaire de 1 cm. Toutes les dimensions de l'arbre sont montrées dans la figure. Pour votre modèle, choisissez la longueur "L" en fonction du dernier chiffre de votre logon (voir tableau en bas). 15 cm 3 15 cm L 5 18 cm 10 cm A B Ø 30 mm Ø 60 mm Ø 75 mm Ø 30 mm Dernier chiffre du logon Longueur "L" (cm) Figure 1 Dimensions de l'arbre 1

2 Travail demandé 1) Pour les modes de vibration latérale, déterminez les trois premières fréquences naturelles qui sont supérieures à 0. ) Pour les modes de vibration en torsion, déterminez également les trois premières fréquences naturelles supérieures à 0. 3) Validez les réponses obtenues en 1) en conduisant une étude de convergence. Pour cela, raffiner le maillage de l'arbre en utilisant des éléments de poutre plus petits. 4) Calculez les nouvelles fréquences naturelles pour les trois premiers modes de vibration latérale pour les cas suivants: a. les rotors en acier sont remplacés par des rotors en aluminium de géométrie identique b. le roulement à rouleaux de droite est remplacé par un roulement à billes (rotors d'aluminium). Modélisation avec ANSYS Types d'éléments: BEAM 188 pour l'arbre et MASS 1 pour les rotors Créer des «Sections» pour les éléments poutres. Pour le segment où la section de l'arbre varie (arbre conique) : Preprocessor Sections Taper Sections By Picked Nodes MASS 1 (M et I sont donnés dans le système de coordonnées global) MASSX = MASSY =MASSZ I xx I yy = I zz Matériaux o Acier: E= 00 GPa; PRXY= 0.9, Densité= 7850 kg/m 3 o Aluminium: E= 70 GPa, PRXY= 0.33, Densité= 700 kg/m 3 Géométrie et maillage Il y a plusieurs façons de créer le modèle. L'approche suivante n'est qu'une suggestion. 1. Créer des "keypoints aux lieux géométriques importants (bouts de l'arbre, changement de section, centre des rotors).. Créer des lignes entre ces points 3. Mailler les lignes avec les éléments poutre appropriés (au moins 3 éléments par ligne) 4. Ajouter les deux éléments masse (keypoints) Hadi Moussaddy (Dernière revision : Décembre 011) Luc Marchand, Ph. D., ing., nov. 008

3 TP no.6, notes supplémentaires Application des conditions cinématiques A) Modes de vibration latérale dans le plan X-Y Dans ce qui suit, on peut bloquer les degrés de liberté de tous les nœuds de l'arbre ou bien on peut se limiter à bloquer uniquement les D.L. des nœuds situés au keypoints. Dans les deux cas, les résultats devraient être les mêmes. Bloquer tous les mouvements de flexion dans le plan X-Z (Uz = Ry = 0.0) Bloquer les mouvements en torsion et les mouvements axiaux (Ux = Rx = 0.0) Pour le roulement à billes, toutes les translations sont bloquées en plus des conditions précédentes Pour le roulement à rouleaux, toutes les translations et les rotations sont bloquées. B) Modes de vibration en torsion Enlever toutes les "constraints" du cas A) À tous les nœuds (ou keypoints) du modèle, bloquer tous les degrés de liberté sauf Rx. En conséquence, il y a une possibilité de mouvement rigide qui va "vibrer" à la fréquence de 0.0 autour du centre de masse, et qui sera le premier mode de l'output. Ce mode n'est pas un vrai mode de vibration en torsion et ne sera pas considéré. Commandes ANSYS pour obtenir la solution (Solution) Solution>Analysis Type>New Analysis [Modal] Solution>Analysis Options [Subspace, 4 modes to extract] Solution>Solve>Current LS Résultats (General Postproc) Results Summary (donne les fréquences de chaque mode) Read Results (First, Next ou Last) Plot Results>Deformed Shape (permet de voir le mode de vibration en flexion seulement) Menu Utility: Plot Ctrls >Animate>Mode Shape (pour voir une animation) 3

4 Unités Il est absolument essentiel d'avoir un système d'unités consistant (c'est la principale source d'erreur dans ce TP). Par exemple: Système 1 Système Force: N N Longueur: m mm Masse=F/a: N-s /m? Densité=M/Vol: N-s /m 4? Poutre de section variable Pour le segment où la section de l'arbre varie (arbre conique), on ne peut pas obtenir de bons résultats avec un seul élément "Tapered". Dans le cas présent, la solution la plus simple consiste à définir des éléments poutre (BEAM 188) avec des propriétés "moyennes" pour la partie conique de l'arbre. On pourrait également définir plusieurs éléments de propriétés différentes pour cette section de l'arbre, mais ce serait un travail beaucoup plus long qui apporterait peu d'amélioration au niveau de la précision des résultats. Preprocessor Sections Common Sections (Sub-Type : User-Defined) Note : Pour calculer les propriétés moyennes, vous pouvez voir les propriétés des sections déjà crées en cliquant sur «Preview» dans le «Beam Tool». Rayon de giration des rotors Le rayon de giration est l'endroit où l'on pourrait concentrer toute la masse du rotor et obtenir les mêmes propriétés d'inertie de masse. Ex. I xx = km (k x, rayon de giration autour de x) x Moments d'inertie d'un disque mince 1 I xx = mr = kx m 1 1 I = I = mr = I 4 yy zz xx Attention: Ne pas confondre le moment polaire et le second moment de section d'une poutre (I XX, I YY ) avec les moments d'inertie des rotors (I xx, I yy ). Se sont des propriétés différentes qui sont toutes nécessaires pour construire le modèle d'éléments finis. 4

5 Exemple d'un tableau regroupant toutes les données du modèle d'éléments finis Note: RC signifie "Real Constant" Dans ce tableau, RC5 et RC6 sont les constantes des rotors en acier. Pour les rotors en aluminium, nous pouvons modifier RC5 et RC6, ou bien nous pouvons ajouter de nouvelles constantes, par exemple RC7 et RC8. 5