M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition:

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1 Produit scalaire dans l espace : Définition: Soit A, B et C trois points, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = si AB = 0 ou AC = 0 AB AC = si AB 0 et AC 0 Conséquence : AB AB = ABCD un tétraèdre régulier de coté a ; calculer AB AC Propriétés : Pour tous vecteurs u ; v ; w de l espace et tous réels α et β u v = ; u( v + w) = ; ( α u) v = ; ( α u )( β v) = Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si Soit ( O, i, j, un repère orthonormé de l espace Pour tous vecteurs x x ' u y et v y ' z z ', u v = ; u = Vecteur normal à un plan : Étant donné un plan P de l espace, il existe une droite D et une seule orthogonale à P et passant par un point A de P soit n un vecteur directeur de D ; le vecteur n est un vecteur normal à P wwwzribimathsjimdocom /2014

2 Projection orthogonale sur une droite : Soit u un vecteur directeur de D ; le point A est le projeté orthogonale de M sur D si Projection orthogonale sur un plan : Soit n un vecteur normal à P ; le point A est le projeté orthogonale de M sur P si Droites orthogonales : Deux droites D et D de vecteurs directeurs u et u ' sont orthogonaux si et seulement si Droite orthogonale à un plan : Une droite D de vecteur directeur u est orthogonale à un plan P de vecteur normal n si et seulement si c'est-à-dire si et seulement si wwwzribimathsjimdocom /2014

3 Plans perpendiculaires : Deux plans P et P de vecteurs normaux n et n ' sont perpendiculaires si et seulement si Produit vectoriel : Définition : Soit A, B et C trois points, le produit vectoriel de AB AB AC défini par : par AC est le vecteur noté AB AC = 0 si AB et AC sont colinéaires si AB et AC ne sont pas colinéaires alors : - AB AC est orthogonale à AB et à AC - ( AB, AC, AB AC ) est une base directe - AB AC = AB ACsin BAC Propriétés : Pour tous vecteurs u ; v et w de l espace et tous réels α et β u u = ; u v = ; u ( v + w) = ; ( α u ) ( β v) = Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ( u v) w = = = wwwzribimathsjimdocom /2014

4 Soit ( O, i, j, un repère orthonormé de l espace Pour tous vecteurs Calcul d aire : x x ' u y et v y ' z z ', u v = L aire d un parallélogramme = L aire d un triangle ABC = Calcul de volume : Le volume d un tétraèdre ABCD= Le volume d un parallélépipède ABCDEHFG= wwwzribimathsjimdocom /2014

5 Exercice : On considère un cube ABCDEFGH d arête de longueur 1 H G E F I K A D J B C On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ] L espace est rapporté au repère orthonormal ( A ; AB, AD, AE) 1 Déterminer les coordonnées des points I, J et K dans ce repère 2 Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés 3 Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG) 4 déterminer le volume du tétraèdre HAKG 5 déterminer la distance de H au plan (AKG) 6 Soit L le centre du carré DCGH a Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL] b déterminer la nature du quadrilatère AILJ et calculer son aire wwwzribimathsjimdocom /2014

6 Equation d une droite, d un plan d une sphère : Définition: Soit A un point, u un vecteur non nul D la droite passant par a et de vecteur directeur u D est l ensemble des points M de l espace tel que AM = α u ou α IR on considère les points A(0,2,-1) ; B(1,2,-4), C(0,5,-2) et E(2,1,1) 1) montrer que AB, AC et AE ne sont pas coplanaires 2) déterminer une équation paramétrique de la droite (AB) 1 3) soit u 3 et D=(E,u)Étudier la position relative des droites (AB) et D 2 L espace est muni d un repère orthonormé, tout plan admet une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 ; ou les réels a,b,c et d ne sont pas tous nuls Le vecteur a n b c est un vecteur normal à ce plan L espace est rapporté au repère orthononnal ( A ; AB, AD, AE ) On considère le cube représenté ci-contre On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF] 1 Déterminer les coordonnées des points I, J et K 2 Démontrer que le vecteur n ( 2 ; 1 ; 1 ) normal au plan (IJK) est vecteur wwwzribimathsjimdocom /2014

7 En déduire qu une équation du plan (IJK) est : 4x + 2y + 2z 5 = 0 3 a Déterminer un système d équations paramétriques de la droite (CD) b En déduire que le point d intersection R du plan (ljk) et de la droite (CD) est le point de coordonnées Définition : 3 ; 1 ; 0 4 Soit A un point et r un réel strictement positif On appelle sphère de centre A et de rayon r l ensemble des points M de l espace tel que AM=r L'espace est rapporté à un repère orthonormé m un paramètre réel S m l'ensemble des points M(x,y,z) tels que: x²+y²+z²-2mx-2y+2(2m-3)z-12m+1=0 1) montrer que S m est une sphère dont on précisera son centre I m et son rayon R m 2) déterminer l'ensemble D des point I m lorsque m décrit IR L espace est muni d un repère orthonormé ( O, i, j, S la sphère de centre A et de rayon r P un plan, h la distance de A à P ; H le projeté orthogonal de A sur P l intersection de P et S est : vide si R<h Réduite en H si h=r Le cercle de centre H et de rayon R ² h² L espace est muni d un repère orthonormé ( O, i, j, Soit S l ensemble des points M(x,y,z) tels que x²+y²+z²+2x-4y+6z=0 et P : 2x-y-z+1=0 Déterminer l intersection de P et S wwwzribimathsjimdocom /2014

8 Translation : Définition : Soit u un vecteur de l espace L application qui à tout point M de l espace associe l unique point M tel que M M ' = u est appelée translation de vecteur u et noté t u Pour tous points M et M de l espace t ( M ) = M ' si et seulem ent si M M ' = u Montrer que toute translation de l espace de vecteur u est bijective u Toute translation de l espace de vecteur u et bijective ; son application réciproque est la translation de vecteur - u Soit f une application de l espace M et N deux points de l espace d images respectives M et N par f 1) Montrer que si f est une translation de vecteur u alors M N = M ' N ' 2) Soit A un point de l espace et A =f(a) montrer que si M N = M ' N ' alors f est une translation de vecteur AA ' Une application f de l espace est une translation si et seulement si, pour tous points M et N d images respectives M et N par f, M N = M ' N ' ABCDEFGH est un parallélépipède, I un point du plan (ABD) et J son image par la translation de vecteur AE Montrer que J est un point du plan (EFG) Montrer que : 1) Toute translation de l espace conserve les distances wwwzribimathsjimdocom /2014

9 2) Toute translation de l espace conserve le produit scalaire Conséquences : Toute translation de l espace conserve les distances Toute translation de l espace conserve le produit scalaire Toute translation conserve le milieu Soit u un vecteur de l espace, A, B et C trois points non alignés de l espace T la translation de vecteur u ; A l image de A par t 1) Montrer que l mage de la droite (AB) par t est la droite passant par A et parallèle à (AB) 2) Montrer que l image du plan (ABC) est le plan passant par A et parallèle à (ABC) L image d une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle L image d un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle Conséquences : Toute translation conserve le parallélisme et l orthogonalité L espace est muni d un repère ( O, i, j, ; A(-1,2,3) ; B(1,0,-1) et u = 2 j + k t la translation de vecteur u et D l image de (AB) par t Donner une représentation paramétrique de D Soit t la translation de vecteur u ; S la sphère de centre I et de rayon R et I =t(i) ; S la sphère de centre I et de rayon r montrer sue l image de S par t est S L image d une sphère S de centre I par une translation t est la sphère de centre I et de même rayon ou I est l mage de I par t wwwzribimathsjimdocom /2014

10 L espace est muni d un repère orthonormé ( O, i, j, S la sphère de centre A(-1,2,3) et de rayon 2 t la translation de vecteur u = 2 j + k Donner une équation cartésienne de l image S de S par t L espace est muni d un repère ( O, i, j, a 1) Soit u b un vecteur de l espace ; déterminer l expression analytique de la c translation de vecteur u 2) Montrer que l application f de l espace dans lui-même qui à tout point M(x,y,z) associe le point M (x,y,z ) tels que x ' = x + a y ' = y + b z ' = z + c a est la translation de vecteur u b c L espace est muni d un repère ( O, i, j, a Soit u b un vecteur de l espace ; l expression analytique de la translation t de c vecteur u x ' = x + a est donnée par : t : y ' = y + b z ' = z + c L application f de l espace dans lui-même qui à tout point M(x,y,z) associe le point x ' = x + a a M (x,y,z ) tels que y ' = y + b est la translation de vecteur u b z ' = z + c c wwwzribimathsjimdocom /2014

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