A retenir : Chapitre 1

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1 retenir : hapitre 1 1 * 1 Vocabulaire des 4 opérations. alcul Symbole Opération 1 e élément 2 e élément Résultat = 18 + addition terme terme somme 15 3 = 12 - soustraction terme terme différence = 45. ou x multiplication facteur facteur produit 15 : 3 = 5 : (ou barre de fraction) division dividende diviseur quotient 1 * 2 Vocabulaire des puissances. Exposant 5 3 Puissance 5 3 = = se lit 5 exposant 3 ase 3 facteurs la troisième puissance de 5 ( 5 élevé à la puissance 3 ) Si possible, ne pas utiliser. 1 * 3 Propriétés de l addition. Formule : L addition est une opération commutative : on peut changer l ordre des termes sans changer le résultat. L addition est une opération associative : on peut grouper certains termes (en plaçant des parenthèses) sans changer le résultat. L addition est une opération qui admet un élément neutre 0 : on peut effectuer l opération avec cet élément sans changer le nombre de départ. a + b = b + a a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) a + 0 = a = 0 + a 1 * 4 Propriétés de la multiplication. Formule : La multiplication est une opération commutative : on peut changer l ordre des facteurs sans changer le résultat. La multiplication est une opération associative : on peut grouper certains facteurs (en plaçant des parenthèses) sans changer le résultat. La multiplication est une opération qui admet un élément neutre 1 : on peut effectuer l opération avec cet élément sans changer le nombre de départ. La multiplication est une opération qui admet un élément absorbant 0 : cet élément ramène tout à lui-même. a. b = b. a a. b. c = ( a. b ). c = a. ( b. c ) a. 1 = a = 1. a a. 0 = 0 = 0. a Théorie page 1

2 1 * 5 Règle d ordre des opérations. Dans une suite d opérations, on effectue dans l ordre : 1) les calculs entre parenthèses en commençant par les plus intérieures. 2) les puissances. 3) les multiplications et les divisions de gauche à droite. 4) les additions et les soustractions de gauche à droite. Théorie page 2

3 retenir : hapitre 2 1 * 1 Vocabulaire. Dans l égalité 48 = est un diviseur de 48 8 est un diviseur de 48 6 divise 48 8 divise est un multiple de 6 48 est un multiple de 8 48 est divisible par 6 48 est divisible par 8 1 * 2 Notation. N : l ensemble des nombres naturels div. n : l ensemble des diviseurs de n n : un nombre naturel exemple : div. 14 = 1 ; 2 ; 7 ; 14 div. 14 est l ensemble des diviseurs de 14 a N : l ensemble des multiples de a a n : un multiple de a exemple : 3 N = 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 3 N est l ensemble des multiples de 3 3 n : un multiple de 3 3 n peut valoir 0 ou 3 ou 6 ou 9 1 * 3 Propriété. Tout nombre naturel admet comme diviseurs 1 et lui-même 1 * 4 Définition de nombre premier. Un nombre premier est un nombre naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et le nombre lui-même 1 * 5 Propriétés fondamentales de la divisibilité. a) Si un nombre naturel en divise un autre alors il divise tous les multiples de cet autre nombre a divise b n b est un multiple de b a divise n b Théorie page 3

4 b) Si un nombre en divise deux autres alors il divise leur somme a divise b a divise c a divise b + c c) Si un nombre en divise deux autres alors il divise leur différence a divise b a divise c a divise b - c 1 * 6 aractères de divisibilité. Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est un multiple de 2 par 5 de 5 Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0 Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4 par 25 de 25 Un nombre est divisible par 100 si il se termine par 00 Un nombre est divisible par 8 si ses trois derniers chiffres forment un nombre multiple de 8 par 125 de 125 Un nombre est divisible par 1000 si il se termine par 000 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres forme un nombre multiple de 3 par 9 de 9 1 * 7 Décomposition en facteurs premiers. Décomposer un nombre en facteurs premiers, c est écrire ce nombre comme un produit de facteurs premiers affectés d un exposant Théorie page 4

5 retenir : hapitre 3 1 * 1 Notation de l ensemble des entiers L ensemble des entiers contient les entiers positifs (ou naturels) et les entiers négatifs. Zéro est à la fois positif et négatif. 1 * 2 Employer à bon escient les termes suivants : repère, droite graduée On représente les entiers sur une droite graduée, c est-à-dire une droite munie : D un repère qui fixe l unité, la graduation D une flèche qui indique le sens croissant (du plus petit au plus grand). 1 * 3 Définir la notion d abscisse sur une droite graduée L abscisse d un point est le nombre attribué à ce point sur une droite graduée. 1 * 4 Définir la notion de valeur absolue La valeur absolue d un entier mesure sa distance par rapport à zéro. 1 * 5 Définir la notion de nombres opposés Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même valeur absolue, mais sont de signes contraires. 1 * 6 Enoncer la règle de comparaison des entiers Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue. 1 * 7 Enoncer les règles d addition des deux entiers 1) Pour additionner deux entiers de même signe : a. On additionne les valeurs absolues des deux nombres b. On donne au résultat le signe commun aux deux nombres Théorie page 5

6 2) Pour additionner deux entiers de signes contraires : a. On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande b. On donne au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue 1 * 8 Enoncer les propriétés de l addition d entiers Propriétés L addition est commutative Généralisation Pour tout a, b entier : a + b = b + a L addition est associative Pour tout a, b, c entier : a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) 0 est l élément neutre de Pour tout a entier : 0 + a = a = a + 0 l addition 1 * 9 Enoncer la propriété de deux nombres opposés haque nombre admet un opposé. La somme d un nombre et de son opposé est nulle. 1 * 10 Enoncer la règle de soustraction de deux entiers Pour soustraire un nombre entier, on additionne son opposé 1 * 11 Utiliser à bon escient les termes suivants : origine, unité, coordonnées, abscisse, ordonnée, repère orthonormé, repère normé, repère orthogonal Pour repérer un point dans le plan, on trace deux axes se coupant en un point appelé l origine des axes. Sur ces axes, on choisit une unité. Les deux axes, l origine et l unité choisie forment le repère. Un repère est orthogonal si les deux axes sont perpendiculaires. Un repère est normé si les unités choisies sur les deux axes sont identiques. Un repère orthonormé est donc un repère orthogonal et normé. Pour repérer un point dans un plan muni d un repère, on utilise deux nombres, appelés les coordonnées de ce point, notés sous la forme d un couple de nombres. Le premier nombre est appelé abscisse. Le second nombre est appelé ordonnée. Théorie page 6

7 retenir : HPITRE 4 1 * 1 Symboles des différents éléments de la géométrie plane. Symboles Vocabulaire Dessins Point. d Droite d [] Segment d extrémités et Longueur du segment [] 3 cm Droite passant par les points et [ Demi-droite d origine et passant par d Le point appartient à la droite d d 1 * 2 Définition de milieu d un segment. En français : En math : Le milieu d un segment est le point qui appartient à ce segment et qui est à égale distance des extrémités de ce segment. M est milieu de [] si M [] et M = M 1 * 3 Définition de trois points alignés. Trois points sont alignés s ils appartiennent à une même droite. 1 * 4 Fondements de la géométrie. Par deux points distincts, passe une et une seule droite. Par un point, passe une infinité de droites. 1 * 5 Définition de médiatrice d un segment. La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment. Théorie page 7

8 1 * 6 Positions relatives de droites. Définitions de : deux droites sécantes : Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en seul point. Notation a // b deux droites perpendiculaires : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant des angles droits. a b deux droites parallèles : Deux droites parallèles sont deux droites qui ont la même direction. de deux droites parallèles distinctes : Deux droites parallèles distinctes sont deux droites qui ont la même direction et pas de point commun. a // b deux droites parallèles confondues : Deux droites parallèles confondues sont deux droites qui ont la même direction et tous les points en commun. a = b 1 * 7 Propriétés d unicité (xiomes). Par un point extérieur à une droite donnée, passe une seule parallèle à cette droite. Par un point extérieur à une droite donnée, passe une seule perpendiculaire à cette droite. 1 * 8 Les 3 énoncés de base relatifs aux positions de droites. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. d a e a d // e Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l une est parallèle à l autre. b // a b // c a // c Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. c // a d a d c 1 * 9 Définition d un angle. Un angle est une partie illimitée du plan déterminée par deux demi-droites de même origine. Notation : Â ou ˆ l angle de sommet, dont les côtés passent par et. Théorie page 8

9 1 * 10 Sens des mots. Sortes d angles Sens Dessins mplitudes ngle nul ngle dont l amplitude est égale 0 M X Y XMY ˆ = 0 ngle aigu ngle dont l amplitude est comprise entre 0 et 90 M X Y 0 < XM ˆ Y < 90 X ngle droit ngle dont l amplitude est égale à 90 M Y XMY ˆ = 90 ngle obtus ngle dont l amplitude est comprise entre 90 et 180 X M Y 90 < XM ˆ Y < 180 ngle plat ngle dont l amplitude est égale à 180 X M Y XMY ˆ = 180 ngle saillant ngle dont l amplitude est comprise entre 0 et 180 M X Y X M Y 0 < XM ˆ Y < 180 ngle rentrant ngle dont l amplitude est comprise entre 180 et 360 X M Y M Y 180 < XM ˆ Y < 360 X ngle plein ngle dont l amplitude est égale à 360 M X Y XMY ˆ = * 11 Définition de deux angles adjacents. Deux angles adjacents sont deux angles qui ont : le même sommet, un côté commun, qui sont situés de part et d autre de ce côté commun. Définition de deux angles complémentaires. Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme de leurs amplitudes vaut 90. Définition de deux angles supplémentaires. Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leurs amplitudes vaut * 12 Définition de la bissectrice d un angle. La bissectrice d un angle est la demi-droite issue du sommet de cet angle et le partageant en deux angles de même amplitude. Théorie page 9

10 retenir : hapitre 5 Programme de construction voir page 260. (à lire!) THEORIE : 1 * 1 Sens des mots : Les points, et sont les sommets du triangle. Les segments [], [] et [] sont des côtés. - L angle  est opposé au côté []. - L angle  est adjacent aux côtés [] et []. 1 * 2 Définition : Les triangles sont classés suivant deux critères : 1) La nature de leurs angles - Un triangle acutangle est un triangle dont tous les angles sont aigus. - Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. - Un triangle obtusangle est un triangle ayant un angle obtus. 2) La longueur relative de leurs côtés - Un triangle scalène est un triangle dont les côtés sont de longueurs différentes. - Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins 2 côtés de même longueur. - Un triangle équilatéral est un triangle ayant 3 côtés de même longueur. Théorie page 10

11 1 * 3 1. Définition : Une hauteur d un triangle est un segment de droite issu d un sommet et perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement. H D K E F 2. Définition : Une médiane d un triangle est un segment de droite qui joint le milieu d un côté au sommet opposé. M 3. Définition : Une bissectrice d un angle est une demi-droite qui coupe cet angle en deux angles de même amplitude. 4. Définition : Une médiatrice d un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Remarque : Un triangle possède 3 hauteurs, 3 médianes, 3 médiatrices et 3 bissectrices. 1 * 4 Sens des mots : Les points,, et D sont des sommets du quadrilatère. Les segments [], [], [D] et [D] sont les côtés. [] et [D] sont des côtés adjacents. [] et [D] sont des côtés opposés. et D sont des sommets consécutifs. et sont des sommets opposés. D Théorie page 11

12 1 * 5 Définition : Une diagonale d un quadrilatère est un segment qui joint 2 sommets opposés de ce quadrilatère. 1 * 6 Définition : Un trapèze est un quadrilatère qui possède 2 côtés parallèles. Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles 2 à 2. Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui possède 4 angles droits. Définition : Un losange est un quadrilatère qui possède 4 côtés isométriques. Définition : Un carré est un quadrilatère qui possède 4 angles droits et 4 côtés isométriques. 1 * 7 rbre selon les côtés et les angles. QUDRILTERE +2 côtés parallèles TRPEZE +2 autres côtés parallèles PRLLELOGRMME +4 angles droits RETNGLE +4 côtés isométriques LOSNGE +4 côtés isométriques RRE +4 angles droits 1 * 8 Propriétés des diagonales : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Dans un losange, les diagonales se coupent perpendiculairement. Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur. Dans un carré, les diagonales ont la même longueur et se coupent perpendiculairement. Théorie page 12

13 retenir : hapitre 6 1*1. Définition : Un cercle est l ensemble de tous les points situés à égale distance d un point fixe, appelé le centre du cercle. 1*2 Sens des mots : [O] est un RYON du cercle. [] est un DIMETRE du cercle. [] est une ORDE du cercle. Le cercle délimite une surface appelée DISQUE. est un R DE ERLE. O ˆ est un NGLE U ENTRE. O Théorie page 13

14 retenir : hapitre 9 1 * 1 Règle de multiplication des entiers Pour multiplier deux nombres entiers : 1) déterminer le signe du produit par la règle des signes : le produit de deux entiers de même signe est positif, - le produit de deux entiers de signes contraires est négatif, 2) multiplier les valeurs absolues. 1 * 2 Propriété Le carré d un nombre est toujours positif. 1 * 3 Règle de multiplication de plus de deux entiers Pour multiplier plus de deux entiers : 1) déterminer le signe du produit par la règle suivante : - si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit sera négatif, - si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit sera positif, 2) multiplier les valeurs absolues. 1 * 4 Propriétés de la multiplication d entiers Propriétés La multiplication est commutative. La multiplication est associative. 1 est l élément neutre de la multiplication. 0 est absorbant pour la multiplication. La multiplication est distributive par rapport à l addition. Généralisation Pour tout a, b entier : a. b = b. a Pour tout a, b, c entier : a. b. c = (a. b). c = a. (b. c) Pour tout a entier : 1. a = a = a. 1 Pour tout a entier : 0. a = 0 = a. 0 Pour tout a, b, c entier : a. ( b + c ) = a. b + a. c Théorie page 14

15 1 * 5 Règle d ordre des opérations (règle de priorité des opérations) Dans une suite d opérations, on effectue dans l ordre : 5) les calculs entre parenthèses en commençant par les plus intérieures, 6) les puissances, 7) les multiplications et les divisions de gauche à droite, 8) les additions et les soustractions de gauche à droite. Il faut effectuer les opérations de gauche à droite, c est-à-dire dans le sens de lecture. Théorie page 15

16 retenir : hapitre 10 1 * 1 Définir une isométrie. Une isométrie est une transformation du plan qui conserve la forme et la taille de la figure. Elle peut être décrite par un mouvement de déplacement ou de retournement : - Les déplacements : les translations, les symétries centrales et les rotations. - Les retournements : les symétries orthogonales. 1 * 2 ssocier chaque transformation avec le verbe qui la caractérise. Verbes Glisser Se retourner, plier Tourner d un demi-tour Tourner Transformations du plan Translation Symétrie orthogonale Symétrie centrale Rotation 1 * 3 iter les éléments caractéristiques des isométries. L élément caractéristique d une symétrie orthogonale est la droite autour de laquelle on effectue un retournement, on l appelle l XE DE SYMETRIE. L élément caractéristique d une symétrie centrale est le point autour duquel on effectue un demi-tour, on l appelle le ENTRE DE SYMETRIE. L élément caractéristique d une translation est le VETEUR, symbolisé par une flèche, selon lequel on effectue un glissement. 1 * 4 iter les invariants des isométries. Les isométries conservent c est-à-dire que : l alignement des points. le parallélisme des droites. l amplitude des angles. les longueurs des segments. Les images de trois points alignés par une isométrie sont trois points alignés. Les images de deux droites parallèles par une isométrie sont deux droites parallèles. L image d un angle par une isométrie est un angle de la même amplitude. onséquence : les images de deux droites perpendiculaires par une isométrie sont deux droites perpendiculaires. L image d un segment par une isométrie est un segment de même longueur. 1 * 5 Définir X comme image de X par une symétrie orthogonale, centrale et une translation. X est l image de X par une symétrie orthogonale d axe m si m est la médiatrice de [XX ]. X est l image de X par une symétrie centrale de centre si est le milieu de [XX ]. X est l image de X par une translation de vecteur si XX // XX = [XX est dans le même sens que [ Théorie page 16

17 retenir : hapitre 11 1 * 1 Le sens des mots : Les faces sont les surfaces planes qui délimitent le solide. Notation d une face : l énumération de ses sommets dans l ordre ( en suivant le contour de la face ). Exemple : ette face est appelée : D ou D ou D ou D, D mais pas D! Les arêtes sont les intersections des faces. e sont des segments dont les extrémités sont des sommets. Notation d une arête : le segment qui joint ses 2 sommets. Exemple : l arête [] Les sommets sont les extrémités des arêtes. Notation d un sommet : un point. Exemple : le sommet Un polygone est une figure plane à plusieurs côtés. Un polyèdre est un solide délimité par des surfaces planes ( = faces, = polygones ). Un non polyèdre est un solide dont au moins une surface n est pas plane. Un prisme droit est un polyèdre formé de deux faces parallèles identiques et de rectangles joignant ces deux faces parallèles. Les bases sont les faces parallèles, les faces latérales sont les autres faces. Exemple : dessins p. 286 Le parallélépipède rectangle est un polyèdre formé de 6 rectangles. Le cube est un polyèdre formé de 6 carrés. Une pyramide est un polyèdre formé d un polygone appelé base et de triangles qui se joignent tous en un seul point. Les faces latérales sont les triangles qui se joignent en un seul point. Le sommet de la pyramide est le sommet commun à toutes les faces latérales. Théorie page 17

18 1 * 2 La définition d un plan : Un plan est un prolongement d une face dans tous les sens. Il est déterminé par 3 points non alignés. Ex: Les points,, déterminent le plan qui prolonge la face D. H E F G 1 * 3 La définition de deux arêtes gauches : D Deux arêtes sont gauches si elles n appartiennent pas au même plan. Ex : Les arêtes [] et [G] sont gauches. Les arêtes [] et [EF] ne sont pas gauches. 1 * 4 La méthode pour dessiner en perspective cavalière: En perspective cavalière, tous les segments parallèles restent parallèles. Les arêtes vues sont en traits pleins. Les arêtes cachées sont en traits pointillés. Les proportions doivent être conservées. Les faces latérales sont souvent représentées dans une inclinaison de 45 par rapport à l horizontale. Théorie page 18

19 retenir : hapitre 12 PERIMETRE ET IRE DES FIGURES PLNES Nom Représentation Périmètre ire 2 arré P4 c c Losange P4 c D d 2 Rectangle L l 2 L l P P 2 2 L l Parallélogramme P somme des longueurs des côtés b h Trapèze P somme des longueurs des côtés bh 2 Triangle P somme des longueurs b h des côtés 2 Polygone régulier Pc nombre de côtés a périmètre 2 ou c a nombre de côtés 2 2 Disque P 2r d r Théorie page 19

20 VOLUMES DES SOLIDES Nom Représentation Volume 3 ube V ccc c Parallélépipède rectangle l V L h Prisme droit V aire base h V aire de la base hauteur 2 ylindre V r h Pyramide V aire base 3 h V aire de la base hauteur 3 ône 2 r V 3 h Sphère 4 r V 3 3 Théorie page 20

21 retenir : hapitre 13 1 * 1 Sens des mots * Une expression littérale est une expression mathématique dans laquelle interviennent des nombres et des lettres. Elle permet de généraliser un calcul. Exemple : 2 a + 2 b est une expression littérale qui permet de généraliser le calcul du périmètre d un rectangle de longueur a et de largeur b Dans une expression littérale : - Les lettres s appellent les variables, elles constituent la partie littérale de l expression - Le nombre qui multiplie une variable s appelle le coefficient de cette variable. Exemple : dans l expression 2 a + 5 b, a et b sont les variables 2 et 5 sont les coefficients de ces variables * Réduire une expression littérale, c est l écrire avec un minimum de termes. * Des termes semblables sont des termes qui ont la même partie littérale. Exemple : termes semblables : 7 a et 3 a ; 7 ab et 5 ab ; 2 a² et 5 a ² termes non semblables : 5 ab et 5 ac ; 2 a² et 2 b² 1 * 2 Définition de la valeur numérique d une expression littérale. La valeur numérique d une expression littérale est le nombre obtenu en remplaçant les lettres par des nombres donnés. Exemple : si a = 3 et b = 5 alors la valeur numérique de 2 a + 6 b = = 36 1 * 3 Règle de réduction dans une somme algébrique. Pour réduire une somme algébrique, on additionne les termes semblables c est-à-dire on recopie leur partie littérale et on additionne leurs coefficients. Exemples : 5 c + 7 c = 12 c 6 xy + 5 xy = 11 xy 4 b² + 3 b² = 7 b² Théorie page 21

22 1 * 4 Règle de réduction dans un produit algébrique. Pour réduire un produit algébrique, on multiplie : - Les coefficients entre eux - Les parties littérales entre elles, en notant les lettres dans l ordre alphabétique. Exemples : 4 a. 2 c = 8 a c 2 ab. 5 c = 10 a b c 1 * 5 Formule de la distributivité et vocabulaire. La multiplication est distributive par rapport à l addition et par rapport à la soustraction. Méthode : La distributivité Développer : Produit Somme ou différence k. ( a + b ) = k. a + k. b k. ( a b ) = k. a k. b Produit Somme ou différence Méthode : La distributivité en mettant en évidence Factoriser : Remarque : convention d écriture : a. ( b + c ) = a ( b + c ) 1 * 6 Définition d une équation. Une équation est une égalité comprenant une (des) inconnue(s). Exemple : 3 x + 4 = 58 Théorie page 22

23 1 * 7 Méthode de résolution d une équation. ( lire attentivement!) Résoudre une équation à une inconnue, c est trouver la valeur de l inconnue pour que l égalité soit vérifiée. ette valeur est la solution de l équation. Exemple : 3 x + 4 = 58 1 ) Traduire l équation par un schéma d'opérateurs : x 3 x 58 2 ) Trouver la valeur de x par les opérateurs réciproques : : ) La valeur de x est 18 4 ) Vérification : = 58 Théorie page 23