Geométrie dans l espace

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1 Geométrie dans l espace Quelques règles Montrer qu une droite est perpendiculaire à un plan il faut montrer qu elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toute droite de ce plan Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan Théorème du toit si deux plans P et P sont sécants en une droite, si une droite d du plan P parallèle à une droite d du plan P alors est parallèle à d et d I Droites Calcul vectoriel dans un repère orthonormé de l espace Une droite d définie par un point A( est l ensemble des points M (x ;y ;z) de l espace tels que avec k réel ( a,b,c) soit x= x A + a y = y A + b z = z A + c où k réel définit une représentation paramétrique de la droite d positions de droites droites parallèles vecteurs directeurs et (a ;b,c ) coordonnées des vecteurs proportionnelles = droites sécantes vecteurs directeurs et non droites non coplanaires vecteurs directeurs et non droites strictement parallèles ou confondues les droites se coupent en un point E(xE;yE ;ze) dont les coordonnées vont vérifier les deux représentation paramètriques xe= x Q + a = xf+k ye= y Q + b =yf+ ze = z Q + c =zf+k les droites ne sont ni parallèles ni sécantes Cas particulier Droites orthogonales leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux

2 II Plan et droites L espace est muni d un repère ( O ;,, ) Un plan est défini par trois points A,B et c non alignés soit un point A et deux vecteurs non Soit P le plan passant par le point A ( x A, y A,z A ) et de vecteurs directeurs ( a,b,c) et ( a,b,c ) P est l ensemble des points M (x,y,z) de l espace tel qu il existe deux réels t et t tels que = t Soit x= x A + t Y= y A + t avec t et t réels z = z A + t On dit que ce système est la représentation paramétrique du plan P et on dit aussi que les vecteurs que, sont coplanaires Droites et plan droite strictement parallèle au plan les vecteurs, et sont coplanaires il existe des réels p et q tels que le point A 1 de la droite d n est pas dans le plan P droite contenue dans le plan les vecteurs, et sont coplanaires il existe des réels p et q tels que et le point A 1 de la droite d est dans le plan P droite d est sécante au plan P les vecteurs, et ne sont pas coplanaires on ne peut pas déplacer dans le plan P les coordonnées de A 1 vérifient la représentation paramétrique du plan les coordonnées du point d intersection A vérifient la représentation paramétrique de la droite d et celle du plan P x= x A + t = +k Y=y A + t +k z = z A + t = +k Plans plans parallèles ou confondus : vecteurs plans sécants les vecteurs directeurs ne sont pas les deux plans se coupent en une droite

3 Equation cartésienne d un plan un vecteur normal d un plan P est orthogonal à tout vecteur du plan. pour que soit un vecteur normal au plan (ABC) il faut que Soit un vecteur non nul et A un point de l espace. Le plan P passant par le point A( xa ; ya ; za) et de vecteur normal est l ensemble des points M de l espace tel que soit a (x-xa)+b(y-ya)+c(z-za)=0 soit a x +b y + cz +d = 0 équation cartésienne du plan P de vecteur normal Intersection d une droite et d un plan La droite d de vecteur directeur, passant par le point A est sécante au plan P de vecteur normal si les vecteurs et ne sont pas orthogonaux La droite d de vecteur directeur, passant par le point A est parallèle au plan P de vecteur normal si les vecteurs et sont orthogonaux droite d et plan P strictement parallèles ou la droite d est incluse dans le plan P I(xI ;yi ;zi) le point d intersection de d et de P xi= xa + yi= ya + et a xi+byi+czi+d=0 zi = za + a(xa + +b(ya + )+c(za + =0 on trouve la valeur de k puis les coordonnées de I Cas particulier droite et plans perpendiculaires Le vecteur directeur de la droite d est colinéaire au vecteur normal du plan P

4 2)Intersection de deux plans Deux plans P et P de vecteurs normaux respectifs et sont parallèles si les vecteurs et sont Deux plans P et P de vecteurs normaux respectifs et sont sécants si les vecteurs et sont non P et P strictement parallèle si aucun point en commun Sinon ils sont confondus la droite d intersection est l ensemble des points (x ;y ;z) tels que ax+by+cz+d=0 a x+b y+c z+d =0 on doit trouver en résolvant le système une représentation paramétrique d une droite Cas particuliers Plans orthogonaux : vecteurs normaux orthogonaux Sphère et plans Une sphère de centre ( Equation ( x- ; ; ) et de rayon R )²+(y- )²+(z- )²=R² est l ensemble des points M(x ;y ;z) de l espace M=R

5 plan tangent à la sphère en H H= R soit H sur la sphère vecteur normal du plan et H dans le plan projeté orthogonal de sur le plan P Plan coupant la sphère en un cercle de rayon r, de centre H projeté orthogonal de sur le plan H < R vecteur normal du plan pas d intersection du plan avec la sphère H > R avec H projeté orthogonal de sur le plan P et donc vecteur normal du plan Produit scalaire Définition : On appelle produit scalaire des vecteurs et le réel noté. défini par :. =. = AB si = AB si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). =. = AC = AC si si contraires contraires K projeté orthogonal de B sur la droite (AC). =. =. = 1 ( 2 (( )) - - ² ) Si l espace est muni d un repère orthonormal ( O,,, ), ( x, y, z ) et ( x, y, z ) = = x² +y² +z². = xx + yy +zz même règles de calculs que dans le plan : Pour tous vecteurs, et de l espace, pour tout réel k. + ) =. +. ;. =. ; ( k ). =.(k ) = k (. ) ( + ) ² = ² ( - ) ² = ² ( + ). ( - ) = - ² Deux vecteurs sont orthogonaux équivaut à Pour calculer un produit scalaire On utilise souvent. =. = (( )) Ou Si l espace est muni d un repère orthonormal ( O,,, ), ( x, y, z ) et ( x, y, z ) = = x² +y² +z². = xx + yy +zz Ou la relation de Chasles en décomposant un des vecteurs

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