Equations différentielles : Application à des problèmes biologiques

Transcription

1 Equations différentielles : Application à des problèmes biologiques Problème 1 L évolution au cours du temps de la fréquence relative en base C ou G, γ(t), dans les génomes a été modélisée par Sueoka en Les hypothèses de ce modèle se traduisent sous la forme d une équation différentielle : dγ = (u + v)γ + v où u et v sont des paramètres strictement positifs représentant les taux de mutation des bases C ou G vers A ou T et des bases A ou T vers C ou G, respectivement : C ou G u v A ou T 1) Soit γ la valeur de γ(t) telle que dγ = 0. Exprimer γ en fonction de u et v. 2) Soit la condition initiale γ 0 = γ(0). Donner l expression de γ(t) en fonction de t, de γ 0, de γ, de u et de v. 3) Etudier le modèle obtenu en (2). Dans cette étude, on constate en particulier l existence des trois cas de figure, selon le sens de la croissance de la fonction γ(t). 4) Les gènes cps nécessaires pour le production d acide colanique ont été acquis dans le génome de Escherichia coli par transfert horizontal en provenance de Salmonella enterica. Sachant que le fréquence relative en bases C ou G de l ensemble des gènes est de 0.57 chez Escherichia coli, de 0.77 chez Salmonella enterica, et de 0.64 pour les gènes cps chez Escherichia coli, avec u+v = an 1, en déduire depuis combien d années les gènes cps sont présents dans le génome de Escherichia coli. 1

2 Problème 2 Le poids d un animal est supposé être une fonction du temps (mesuré à partir de l instant de conception de cet animal), fonction définie par l équation differentielle dp = KP e t 1 e t où K est un coefficient constant positif, particulier à l animal considéré. On se propose d étudier les variations de P en fonction de t (avec t 0). 1) En résolvant l équation différentielle ci-dessus, obtenir l expression de P en fonction de t. On précisera notamment le signe de la constante d intégration intervenant dans l expression ainsi établie. 2) Exprimer dp et d2 P en fonction de t et de P. 2 3) Etudier les variations de P en fonction de t, pour t variant de 0 à +. On distinguera les trois cas : (a) 0 < K < 1, (b) K = 1, et (c) K > 1, et on donnera une représentation graphique schématique des variations de P dans chacun de ces cas. Problème 3 La croissance pondérale d un certain organisme est représentée par l évolution de sa masse totale, soit x, en fonction du temps, soit t. L équation différentielle suivante (loi de Johnson et Schumacher) décrit la relation existant entre la vitesse de croissance de x et le temps : dx = ab b t 2 e t où a et b sont des constantes strictement positives. 1) Exprimer x en fonction de t, pour t > 0. On désignera par x 0 la valeur de la masse de cet organisme à l instant t = 0. 2) Etudier les variations de x en fonction de t, lorsque t croît de 0 à. Donner une représentation graphique de ces variations. 3) Exprimer en fonction des constantes a, b et x 0 : - le moment t m où la vitesse de croissance est maximum. - la valeur de la vitesse de croissance à t m. - la masse de l organisme à t m. 2

3 Problème 4 On ne peut pas compter directement le nombre de bactéries présentes dans un prélèvement de sol supposé homogène. C est pourquoi on a mis au point la méthode suivante : dans 1 cm 3 d eau distillée on dépose 1 mg de sol contenant x 0 bactéries (x 0 inconnu). On suppose que les bactéries présentes dans le prélèvement de sol peuvent passer en solution et réciproquement, selon le schéma suivant : k 1 x 1 x 2 k2 où x 1 est le nombre de bactéries (densité) dans le prélèvement, x 2 est le nombre de bactéries (densité) en solution et k 1 et k 2 sont des constantes (positives) caractéristiques du sol étudié. A ce schéma (modèle à compartiment) peut être associé l équation différentielle suivante : avec à t = 0, x 1 (0) = x 0 et x 2 (0) = 0. dx 1 = k 1x 1 + k 2 x 2 1) Exprimer x 2 en fonction de x 1 et x 0. Exprimer x 1 et x 2 en fonction du temps (on pourra k 2 poser K =. Donner le graphe de x 1 (t) et x 2 (t). Quelle est la limite e 1 de x 1 à k 1 + k 2 l équilibre (lorsque t tend vers )? 2) On suppose qu on est à l équilibre. On retire alors l échantillon de la solution et on le dépose à nouveau dans 1cm 3 d eau distillée, ce qui revient à recommencer l expérience avec une nouvelle condition initiale pour x 1 (càd à t = 0, x 1 = x 0 et x 2 = 0). a) Que vaut x 0, nombre de bactéries dans le prélèvement au moment du transfert? b) Donner la nouvelle expression de x 2 (t). Quelle est la limite e 2 lorsque t? c) Montrer que, connaissant e 1 et e 2, on peut estimer x 0, nombre de bactéries initialement présentes dans le prélèvement. 3

4 Problème 5 L étude d une épidémie dans une population donnée nous conduit à nous intéresser aux deux quantités suivantes, fonctions du temps t mesuré (en jours) à partir du début de l étude : p(t) = proportion des individus qui, à l instant t, sont porteurs de germes s(t) = proportion des individus qui, à l instant t, n ont pas été atteint pas la maladie Les conditions d hygiène ce cette population conduisent à supposer que ces deux fonctions satisfont les relations suivantes : dp(t) = bp(t) ds(t) où a et b sont des constantes positives = ap(t)s(t) On supposera qu à t = 0, on a p(0) = p 0 et s(0) = s 0. 1) Exprimer p(t) en fonction de t et étudier ses variations, pour t 0. 2) Exprimer ln s(t) en fonction de t et étudier ses variations, pour t 0. 3) Exprimer en fonction de a, b, p 0, s 0, la limite vers laquelle tend s(t) quant t augmente. En déduire la proportion d individus qui auront été malades, au cours de l épidémie. Quelle est la valeur numérique de cette limite dans le cas où a = 3, 65, b = 1, p 0 = 5% et s 0 = 90%. 4) Dans les mêmes conditions numériques que ci-dessus, déterminer l instant où la proportion des individus ayant contracté la maladie atteindra 22%. 4

5 Problème 6 Une réaction enzymatique peut se symboliser par le schéma suivant E + S k 1 k 1 C k 2 E + P qui se lit le substrat S est transformé par l enzyme E en produit P. Quantitativement, on décrit l évolution d une telle réaction par sa cinétique exprimée en terme de vitesse de réaction. Cette vitesse est : où v = dx = dy x représente la concentration du milieut réactionnel en substrat (S) y représente la concentration du milieut réactionnel en produit (P) Pour la réaction enzymatique considérée ici, on admettra que la vitesse est bien représentée par l expression (équation de Michaelis-Menten) : A et B sont des constantes positives. v = Ax B + x On suppopsera verifiées les conditions suivantes : à t = 0, on a x(0) = x 0 et y(0) = 0, et pour tout t 0, x + y = x 0. 1) Exprimer t en fonction de x. 2) Exprimer t en fonction de y. 3) Pour t 0 dessiner les graphes t = f(x) et t = g(y). 4) En déduire les graphes de x = f 1 (t) et y = g 1 (t). 5

6 Problème 7 On pratique une expérience de radiologie sur des insectes. On admet que chaque insecte comporte N éléments sensibles appelées cibles, et que, pour que le rayonnement auquel est soumis l insecte soit mortel pour lui, il faut que les N cibles soient toutes atteintes par le rayonnement. Au cours de cette expérience, on est amené à considérer l équation différentielle suivante dy = Nky e kt 1 e kt liant la variable t, durée de l irradiation et la variable y, proportion de morts dans la population d insectes après une irradiation de durée t. Les paramètres N et k sont des constantes strictement positives, avec N entier). 1) Résoudre cette équation différentielle, de façon à exprimer y en fonction de t. Pour rappel : f (x) dx = ln(f(x)) f(x) 2) Etudier les variations de cette fonction dans le cas où N=3 et k=0.02 sachant que pour une irradiation de très longue durée, la proportion de morts attribuable aux effets de cette irradiation se stabilise autour de la valeur constante ) Toujours pour N = 3 et k = 0.02, quelle durée d irradiation faut-il appliquer pour que 50% d insectes survivent? 6

7 Problème 8 On étudie la croissance du crabe violoniste mâle (Uca pugnax) dont on désigne par y le poids de la grande pince et par x le poids du reste du corps. Les poids x et y sont tous deux fonctions du temps, mesuré à partir d une origine arbitraire (poids en mg, temps en mois). On observe que le taux de croissance relatifs de chacun de ces deux caractères, est constant, soit : 1 dx x = a 1 dy y = b 1) Exprimer l évolution de x et l évolution de y en fonction du temps t. Dans ces expressions, on notera x 0 et y 0 respectivement les valeurs de x et y au temps t = 0. 2) Sur un même graphique, représenter schématiquement les courbes d évolution de x et y en fonction du temps (on supposera x 0 > y 0 ). A quelle conditions ces deux courbes se coupent-elles? Lorsque qu elles se coupent, à quels moment t c? 3) Exprimer le rapport z = y/x en fonction de t. Vérifier que, a priori, il existe trois types possibles d évolution de z en fonction des valeurs de a et b. Donner une représentation graphique de l évolution de z en fonction de t dans chacun des trois cas. 4) Etablir que, quelle que soit la valeur du temps t, les poids x et y sont liés entre eux par une relation de la forme y = kx p (relation d allométrie), où k et p sont des constantes que l on exprimera en fonction de x 0, y 0, a et b. 5) Application numérique : x 0 = 60 mg, y 0 = 6 mg, a = 0.05, b = Déterminer k, p, ainsi que le moment auquel le poids de la pince est égal au poids du reste du corps. Quelle est alors la valeur de ces poids? 7