Automates à nombre fini d états et langages réguliers

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1 3 Automtes à nomre fini d étts et lngges réguliers Nous utilisons tous d utomtes dns l vie de tous les jours (feux de circultion, progrmmtion d un lve-linge ou lve-visselle, tourniquets de métro non rennis! etc.). Certins d entre eux sont tellement rudimentires qu ils n ont ps d entrée, ils se contentent de répéter indéfiniment le même cycle (ex. feux de circultion) ; d utres ont esoin d une entrée, pr exemple l utomte qui régit l ouverture du tourniquet esoin de votre ticket de métro en entrée : il vérifie que votre ticket est vlide et si oui commnde l ouverture du tourniquet, sinon il émet un son (de rejet). Nous llons nous intéresser à des utomtes plus élorés qui permettent de vérifier si un mot pprtient à un lngge donné. Cette idée germé à prtir du «dixième prolème de Hilert» qui lors du congrès de mthémticiens de 1900 demndé s il est possile de vérifier utomtiquement si une preuve mthémtique (dûment formlisée) pprtient à un système xiomtique donné. Plus précisément il demndé s il existe un procédé (ujourd hui on dirit lgorithme) permettnt en un nomre fini d opértions de déterminer si l éqution p(x 1, x 2,..., x n ) = 0, où p est un polynôme à coefficients entiers et un nomre ritrire de termes, possède des solutions rtionnelles. Il

2 3.1 Automtes finis déterministes 30 été montré pr Mtiysevich en 1970 (voir [9] pour l version trduite du théorème) qu il n existe ps de tel lgorithme. Plus générlement, nous connissons ujourd hui que ceci n est ps possile cr Gödel montré [4] (voir [5] pour un document trduit et plus fcilement ccessile) que tout système xiomtique contient certines propositions qui restent indécidles (incomplétude de Gödel). Cependnt, l intuition de Hilert, même fusse, été très fructueuse cr elle initié toute une ligne de pensée dont le point culminnt est l notion de «mchine» introduite pr Turing [12] servnt de modèle théorique à tout lgorithme qui peut être exécuté sur un ordinteur pour donner des résultts en temps fini. Tout lgorithme que nous pouvons concevoir peut être en fit modélisé pr une mchine de Turing. L nde dessinée [3] relte ces développements historiques des fondements des mthémtiques, de l logique et des déuts de l informtique théorique de mnière très pédgogique et ludique. 3.1 Automtes finis déterministes Avnt de donner l définition d un utomte fini générl, commençons pr l utomte rudimentire sns entrée qui décrit le fonctionnement d un feu rouge. Nous vons un espce fini d étts X = {v,o,r} et une ppliction de trnsition δ : X X définie de mnière équivlente 1 soit pr le vecteur (δ(x)) x X soit pr une mtrice stochstique déterministe D M X X ({0,1}) définie pr D x,y = 1 {y} (δ(x)), x, y X. Si l suite (X n ) n N décrit l étt du système et si le système commence de mnière déterministe vec l étt initil X 0 = x 0 X, son évolution est une chîne de Mrkov trivile i.e. déterministe ppelée système dynmique sur X. On X n = δ(x n 1 ),n 1 ou de mnière équivlente X n = δ n (x 0 ) où δ n := δ } {{ δ } (vec l convention d 0 = id. En termes proilistes 2, nous vons l sitution trivile P x0 (X n = δ n (x 0 )) = 1, pour tout n 0 n termes Étnt donné que l ensemle X est fini et δ : X X, lors le système dynmique (X n ) devient nécessirement périodique à prtir d un certin instnt (en l occurrence il l est dès le déut dns cet exemple très simple). Pr illeurs, étnt donné que l évolution est donnée pr l mtrice D, on peut l décrire de mnière équivlente pr le digrphe G = G(D) ssocié à l reltion D. 1. Ceci est un résultt très générl : toute fonction mesurle f sur un espce mesurle (X,X ) est équivlente à un noyu stochstique déterministe K : X X {0,1} défini pr K (x, A) = 1 A (f (x)) = ε f (x) (A) pour tout x X et tout A X où ε désigne l msse de Dirc. Cette écriture s ppelle représenttion spectrle de f. 2. Cf. cours Proilités pour l théorie de l informtion.

3 3.1 Automtes finis déterministes 31 G(D) = v o r Chque élément de l ensemle Gx 0 des trjectoires émnnt de x 0 est ppelé trjectoire clcultoire de l utomte initiée à x 0. Considérons mintennt le cs d utomtes déterministes finis vec entrée. De nouveu l ensemle fini X désigner l ensemle des étts de l utomte ; mis mintennt nous vons ussi un ensemle fini A qui représente l lphet des mots de l entrée. L fonction de trnsition ser mintennt une ppliction δ : X A X. Au lieu de considérer une seule fonction δ définie sur X A, nous pouvons de mnière équivlente considérer une fmille (δ ) A indexée pr A de fonctions δ : X X définies pour tout x X et tout A pr δ (x) = δ(x, ). Mintennt, pour chque A l fonction δ est équivlente à une mtrice stochstique déterministe D qui induit une reltion sur X, dont toutes les rêtes sont reltives à l lettre A. Chque A donne donc nissnce à un digrphe G(D ) ynt d ensemles d rêtes G 1 (D ) différents mis le même ensemle de sommets G 0 (D ) = X. En superposnt tous les digrphes G(D ) insi otenus les rêtes quèrent une étiquette qui les différencie ; certins sommets peuvent lors être reliés pr des rêtes multiples différenciées pr leurs étiquettes ; u lieu de les dessiner séprément, on dessine une seule rête dirigée portnt toutes les étiquettes correspondntes. x δ (x) δ (x) δ c (x) Exemple Soient X = {0,1,2,3}, A = {,,c} et δ définie pr ou encore, de mnière équivlente, pr les mtrices stochstiques déterministes D = ;D = ;D c = Chcune des mtrices ci-dessus définit une reltion sur X vec dom(d l ) = X pour tout l A qui induit un digrphe G(D l ) l A.

4 3.1 Automtes finis déterministes c c 0 2 c c En superposnt les trois digrphes, nous otenons le digrphe vec des étiquettes multiples sur les rêtes : 1,,c,c 0 2 c 3,c Il est évident que l donnée de l fonction de trnsition δ est équivlente à l donnée du digrphe vec des rêtes multi-étiquettées otenus pr l fonction de trnsition δ. Définition Un utomte fini déterministe est l donnée M = (X,A,δ, x 0,F), où X est un ensemle fini d étts, F X est l ensemle des étts finux d ccepttion, A est l lphet fini des messges d entrée, x 0 X est l étt initil, δ = (δ ) A, vec δ : X X et dom(δ ) = X, est l fmille des fonctions de trnsition. L ensemle d utomtes finis déterministes est noté AFD. Le digrphe G(M) de l utomte ser le digrphe vec des rêtes étiquetées provennt des reltions (D ) A définies pr l fmille δ. Le lngge reconnu pr M est l ensemle des mots engendrnt des trjectoires clcultoires de G (M) qui rendent ccessiles les étts de F depuis l étt initil x 0, i.e. où α = δ α α δ α1. L (M) = {α A : α(x 0 ) F}, Exercice Soit M = (X,A,δ, x 0,F) un AFD. Pour tout A, on note D M X X ({0,1}) l mtrice stochstique déterministe codnt l ppliction δ.

5 3.1 Automtes finis déterministes Soit α = 1 n un mot en entrée de l utomte. Déterminer l mtrice D[α] qui code l ppliction de trnsfert α. 2. Montrer que pour tout α, l mtrice D[α] est une mtrice stochstique déterministe. Clculer ses éléments de mtrice D[α] x,y pour x, y X. 3. Pour B X, noter v B {0,1} X le vecteur (colonne) ynt comme coordonnées v B (x) = 1 B (x), x X. 4. Monter que le mot α est ccepté pr l utomte si, et seulement si, v t {x 0 } D[α]v F 1, où v t B désigne le vecteur trnsposé (ligne) de v B. Exemple Soit l utomte défini pr X = {,,c}, A = {0,1}, x 0 = et F = {} dont le digrphe est donné pr 0 1 strt 1 0 c 0,1 L étt initil est signlé pr l flèche «strt» tndis que les étts finux d ccepttion sont signlé pr un doule cercle. L utomte ci-dessus ccepte le mot α = 1101 présenté en entré tndis qu il rejette le mot β = En fit, si un mot γ = γ 1 γ γ A est présenté en entrée de l utomte, lors en prtnt de x 0, l utomte évolue selon γ(x 0 ) = δ γ γ δ γ1 (x 0 ). Si γ(x 0 ) F, lors le mot γ est ccepté, sinon il est rejeté. Dns cet exemple α() = F tndis que β () = c F. Définition Un lngge L est régulier s il existe un utomte déterministe fini M qui le reconnît, i.e. si L = L (M). Si L,L 1 et L 2 désignent des lngges sur A, on définit leur réunion : L 1 L 2 = {α A : α L 1 ou α L 2 }, concténtion (ou composition) : L 1 L 2 := L 1 L 2 = {αβ A : α L 1 et β L 2 }, clôture monoïdle : L = k N L k, vec L 0 = {ε}. Théorème L clsse des lngges réguliers est fermée pr réunion finie. Démonstrtion. Soient L 1 et L 2 deux lngges réguliers. Il existe lors deux utomtes M 1 = (X 1,A,δ (1), x 1 0,F1 ) et M 2 = (X 2,A,δ (2), x 2 0,F2 )

6 3.2 Automtes finis non-déterministes 34 de AFD tels que L 1 = L (M 1 ) et L 2 = L (M 2 ). Nous construirons un utomte M qui simule M 1 et M 2 et ccepte les mots reconnus indifféremment pr M 1 ou M 2 en les lisnt une seule fois. Soit M = (X,A,δ, x 0,F) l utomte défini pr X = X 1 X 2, δ ((x 1, x 2 )) = (δ (1) (x 1 ),δ (2) (x 2 )) pour tout A et tout (x 1, x 2 ) X, x 0 = (x0 1, x2 0 ) et F = (F1 X 2 ) (X 1 F 2 ). Il est lors évident que M ccepte un mot α si soit M 1 soit M 2 l ccepte. Théorème L clsse des lngges réguliers est fermée pr concténtion. Nous ne pouvons ps répéter l construction précédente pour montrer l clôture pr concténtion (pourquoi?). Pour montrer ce théorème nous introduirons l notion d utomte non-déterministe. 3.2 Automtes finis non-déterministes Avnt de donner l définition d un utomte non-déterministe, donnons un exemple de digrphe d un tel utomte. Exemple ,1 0,1 1 0,ε 1 strt x 0 x 1 x 2 x 3 Nous consttons les nouveutés suivntes pr rpport ux utomtes déterministes : Les trnsitions δ, pour A ne sont plus de X dns X mis de X dns P (X). Le dom(δ ) peut-être un sous-ensemle strict de X. Un nouveu symole ε A sert à indexer l fmille des trnsitions. Ainsi, pour le digrphe précédent, les trnsitions sont définies pr x δ 0 (x) δ 1 (x) δ ε (x) x 0 {x 0 } {x 0, x 1 } x 1 {x 2 } x 2 x 2 {x 3 } x 3 {x 3 } {x 3 }

7 3.2 Automtes finis non-déterministes 35 ou de mnière équivlente pr les reltions représentées pr les mtrices D 0 := ; D := ; D ε := Nous consttons imméditement que dom(d 0 ) = {x 0, x 1, x 3 }, dom(d 1 ) = {x 0, x 2, x 3 } et dom(d ε ) = {x 1 }. Pr illeurs, l mtrice D 1 ne correspond ps à une ppliction mis uniquement à une reltion. Dns cet exemple, nous vons ussi que D ε D ε = 0 (D ε est 2- -nilpotente). Oulions pour l instnt l présence de D ε. Le fit que D 1 n est plus une ppliction signifie que prtnt de x 0 nous urons plusieurs trjectoires possiles émnnt du point x 0. Le fit que dom(d ) est strictement contenu dns X signifie que certines trjectoires ne pourront ps continuer indéfiniment mis s rrêteront près un nomre fini d étpes. Venons-en mintennt u cs de D ε. Étnt donné que ε est l élément neutre du monoïde lire A, il s ensuit que lorsque nous considérons un mot ritrire α = 1 n, nous pouvons intercler à tout point un nomre ritrire de mots vides ε ; en effet α = 1 ε 2 n = 1 εε 2 n =... = 1 ε m ε m2 n ε m n, où (m k ) k=1,...,n sont des entiers positifs ritrires. Cependnt, dns cet exemple, l mtrice D ε est -nilpotente donc les entiers m k dns l expression ci-dessus ne peuvent prendre que les vleurs 0 ou 1. En outre, dom(d ε ) = {x 1 }, donc m k 0 si et seulement si le dernier étt visité est l étt x 1. Cel signifie que si lors de l lecture du mot α l utomte visite l étt x 1, il peut instntnement suter à l étt x 2 cr il y une rête étiquetée ε relint x 1 à x 2. Exercice Pour l utomte ci-dessus, dessiner l rre des toutes les trjectoires clcultoires possiles lorsque le mot en entrée est α = Exercice Soit (D ) A {ε} une fmille de mtrices représentnt des reltions sur X. Dns l suite on utilise le même symole pour noter les reltions et les mtrices qui les représentent. On note E l reltion D ε. 1. Montrer que E = n N Dε n, où D 0 ε = I X. 2. Clculer E pour l utomte de l exemple Montrer qu en générl, si α = 1 n est un mot en entrée d un utomte décrit pr une fmille des reltions (D ) A {ε}, il y ur une trjectoire clcultoire de x à y si et seulement si l élément D[α](x, y) de l mtrice D[α] = D 1 E D n E est égl à 1. Définition Un utomte fini non-déterministe est l donnée M = (X,A,δ, x 0,F), où X est un ensemle fini d étts, F X est l ensemle des étts finux d ccepttion, A est l lphet fini des messges d entrée, x 0 X est l étt initil,

8 3.3 Équivlence entre utomtes déterministes et non-déterministes 36 δ = (δ ) A {ε}, où δ : X P (X) et dom(δ ) X, est l fmille des fonctions de trnsition. L ensemle d utomtes finis déterministes est noté AFN. Le digrphe de l utomte G(M) ser le digrphe vec des rêtes étiquetées provennt des reltions (D ) A {ε} définies pr l fmille δ. Les rêtes étiquetées ε représentent des trnsitions instntnées vers l étt terminl de l rête ussitôt que l étt source est visité. Le lngge reconnu pr M est l ensemle des mots qui engendrent des trjectoires clcultoires de G (M) qui rendent ccessiles depuis x 0 les étts de F, i.e. L (M) = {α A : y FD[α](x 0, y) 1}. 3.3 Équivlence entre utomtes déterministes et nondéterministes Tout utomte déterministe est un utomte non-déterministe mis l définition d un utomte fini non-déterministe semle plus générle que celle d un utomte fini déterministe. On s ttend donc à ce que L (AFD) L (AFN). Il pprît comme une surprise qu en fit L (AFD) = L (AFN) comme le montre le théorème suivnt. Théorème Pour tout M AFN il existe un M AFD qui est équivlent à N, i.e. tel que L (M ) = L (M). Démonstrtion. Soit M = (X,A,δ, x 0,F) AFN un utomte non-déterministe qui reconnît le lngge L. Nous construisons un M = (Y,A,d,Y 0,H) AFD tel que L (M ) = L, où Y = P (X). Nous distinguons deux cs. [M n ps d rêtes ε] : Dns ce cs, nous définissons Y 0 = {x 0 } et l fmille d des fonctions de trnsition pour A et Y Y pr d (Y ) = {x X : x δ (y), pour un y Y } = y Y δ (y). L ensemle des étts finux d ccepttion H = {Y Y : Y F }. [M des rêtes ε] : Nous introduisons l nottion, pour tout Y Y, E (Y ) = y Y ξ G y (D ε ):s(ξ)=y {t(ξ)}. E (Y ) sont les étts ccessiles depuis les points de Y en suivnt uniquement des rêtes ε. Il suffit lors de définir Y 0 = E ({x 0 }), d (Y ) = y Y E (δ (y)) et les étts d ccepttion sont de nouveu H = {Y Y : Y F }.

9 3.3 Équivlence entre utomtes déterministes et non-déterministes 37 À chque instnt l utomte déterministe M entre dns un étt (sous-ensemle de X) égl u sous-ensemle des étts qui serient ccessiles pr l utomte non-déterministe M u même instnt. Corollire Un lngge L est régulier si, et seulement si, il existe un utomte non-déterministe M AFN tel que L (M) = L. Démonstrtion. Si L est régulier, il existe un utomte déterministe M AFD qui le reconnît. Mis AFD AFN, donc L est reconnu pr l utomte non-déterministe M. Réciproquement, si L est reconnu pr un utomte M AFN, pr le théorème précédent, il existe un utomte déterministe M AFD qui est équivlent à M, qui reconnît pr conséquent L. Le lngge est lors régulier. Nous illustrons l puissnce de l notion d utomte non-déterministe en donnnt une nouvelle démonstrtion du théorème de clôture des lngges réguliers pr réunions finies. Nouvelle démonstrtion du théorème : Soient L 1 et L 2 deux lngges réguliers et N 1 = (X 1,A,δ 1, x0 1,F1 ) AFN et N 2 = (X 2,A,δ 2, x0 2,F2 ) AFN deux utomtes non-déterministes qui les reconnissent. On construit un utomte N = (X,A,δ, x 0,F) AFN vec X = {x 0 } X 1 X 2 otenu pr réunion disjointe des espces des étts et djonction d un étt supplémentire qui jouer le rôle d étt initil pour N, F = F 1 F 2, δ(x, ) = δ 1 (x, ) si x X 1 δ 2 (x, ) si x X 2 {x0 1, x2 0 } si x = x 0, = ε si x = x 0, ε. Il est lors évident que l utomte ccepte tous les mots qui serient cceptés individuellement pr N 1 ou N 2. Exercice Donner une interpréttion grphique schémtique de l démonstrtion précédente. Théorème L clsse des lngges réguliers est fermée pr 1. concténtion, 2. clôture monoïdle.

10 3.4 Expressions régulières 38 Démonstrtion. 1. Soient M i = (X 1,A,δ i, x0 i,f1 ),i = 1,2 deux utomtes finis non-déterministes cceptnt respectivement les lngges L i. On construit un utomte M = (X 1 X 2,A,δ, x0 1,F2 ) ynt comme espce des étts X l réunion disjointe des X 1 et X 2 et comme fonction de trnsition δ 1 (x, ) si x X 1 \ F 1 δ 1 (x, ) si x F 1, ε δ(x, ) = δ 1 (x, ) {x0 2} si x F1, = ε δ 2 (x, ) si x X 2. Alors, il est évident que l utomte M ccepte le lngge L 1 L Soit M = (X,A,δ, x 0,F) un utomte fini non-déterministe cceptnt le lngge L. On construit l utomte N = (X { ˆx},A,δ, ˆx,F { ˆx}) ynt comme fonction de trnsition δ 1 (x, ) si x X \ F δ 1 (x, ) si x F, ε δ(x, ) = δ 1 (x, ) { ˆx} si x F, = ε si x = ˆx, ε. L utomte N dmet lors le lngge L. Exercice Donner une «démonstrtion» grphique du théorème précédent en représentnt les utomtes comme de oîtes noires ynt comme entrée leur étt initil et comme sortie leurs ensemles d étts finux. 3.4 Expressions régulières Supposons que A = {0,1}. Des expressions de l forme (0 1)0 ou (0 1) sont connues sous le nom d expressions régulières et représentent des sousensemles spécifiques de A (i.e. des lngges). L première désigne le lngge des mots de longueur supérieure à 1 qui commencent pr 0 ou pr 1 et se terminent pr un nomre ritrire de zéros ; l seconde désigne l ensmle A lui-même. Plus générlement Définition On dit que R est une expression régulière sur l lphet A si elle dmet une des formes suivntes : pour un A, ε,

11 3.4 Expressions régulières 39, R 1 R 2, où R 1,R 2 sont d expressions régulières, R 1 R 2 = R 1 R 2, où R 1,R 2 sont d expressions régulières, R 1, où R 1 est une expression régulière. Dns l définition précédente, si R 1 =,R 2 = ε, les lngge décrit pr R 1 ser {} et pr R 2 ser {ε} ; ces lngges sont composés des uniques mots ou ε. L reltion R = décrir le lngge vide. On peut crindre que l définition précédente soit circulire. Cependnt, lorsque nous disons que R s écrit comme R 1 R 2, pr exemple, cel signifie que R 1 et R 2 ont une longueur de définition plus courte que R ; pr conséquent, il s git d une définition récursive, ps circulire. Signlons enfin qu en l sence de prenthèses, l présénce des opértions est,,. On distingue enfin entre l expression régulière R et le lngge L (R) décrit pr l expression régulière. Théorème Un lngge est régulier si, et seulement si, il est décrit pr une expression régulière. On montre ce théorème en deux étpes, en étlissnt les deux lemmes suivnts. Lemme Si un lngge est décrit pr une expression régulière R, lors il est régulier. Démonstrtion. Nous convertissons R en utomte fini non-déterministe en considérnt les 6 cs énumérés ci-dessus pour l forme d une expression régulière. R =, pour un A. Alors L (R) = {} et l utomte M = strt ccepte ce lngge. R = ε. Alors L (R) = {ε} et l utomte M = strt ccepte ce lngge. R =. Alors L (R) = et l utomte M = strt «ccepte» ce lngge. Les cs R = R 1 R 2, R = R 1 R 2 ou R = R1 sont lors construits pr récurrence à prtir des 3 cs précédents cr les R 1,R 2 pprissnt dns ces expressions sont nécessirement des expressions régulières plus simples (plus courtes) que R.

12 3.4 Expressions régulières 40 Lemme Si L est un lngge régulier, lors il existe une expression régulière R qui le décrit, i.e. L (R) = L. L démonstrtion de ce lemme qui ser donnée un peu plus loin repose sur une suite de trnsformtions qui modifient loclement un utomte fini déterministe en utomte fini non-déterministe générlisé. Ce dernier est un utomte non-déterministe dont les rêtes peuvent être étiquetées pr des expressions régulières u lieu de lettres de A {ε} ; l utomte lit lors des locs de symoles en entrée (comme le ferit un utomte non-déterministe ordinire) et ccepte le loc si son étt interne devient un étt d ccepttion. Nous décrivons une trnsformtion qui est répétée récursivement sur les rêtes de l utomte : x i R 4 x j R 1 y R 3 R 4 [R 1 R2 = x R 3] i x j R 2 Cette opértion d excision d un étt et de réprtion locle des rêtes, diminue le crdinl de X d une unité. Étnt donné que l utomte est fini, cette procédure s rrêter u out d un nomre fini d opértions. Afin de complètement décrire l trnsformtion d un utomte finie déterministe en utomte fini non-déterministe générlisé (AFNG), nous djoignons deux étts supplémentires {x d, x f } à l ensemle X pour otenir l ensemle des étts Y = X {x d, x f }. Ces étts supplémentires ont les prticulrités suivntes : l étt x d uniquement des rêtes sortntes les relint à tous les utres étts de Y \ {x d } mis ps d rête entrnte (suf le symole strt) ; l étt x f uniquement des rêtes entrntes émnnt de tous les utres étts de Y \ {x f } mis ps d rête sortnte ; de tout étt x Y \ {x f } émne une unique rête vers chque étt de Y \ {x d } ; les rêtes sont étiquetées pr des expressions régulières, lorsque Y est réduit à l ensemle {x d, x f }, l procédure s rrête ; l étiquette de l unique rête qui relie x d à x f est l expression régulière définie pr l utomte. Définition Soit R := R A, l clsse des expressions régulières sur A. Un utomte fini non-déterministe générlisé M est l utomte fini non-déterministe

13 3.4 Expressions régulières 41 défini pr le quintuplet (Y,R,δ, x d,{x f }), où, pour y, y Y et R R, δ(y,r) = y si, et seulement si, etiq(y, y ) = R, où est l fonction d étiquetge des rêtes. etiq : (Y \ {x f }) (Y \ {x d }) R Nottion Étnt donné que l connissnce de l une des fonctions δ et etiq détermine l utre, nous utiliserons indifféremment les quintiplets (Y,R,δ, x d,{x f }) ou (Y,R,etiq, x d,{x f }) pour désigner un utomte M fini non-déterministe générlisé. On note AFNG l clsse de ces utomtes. Nous sommes mintennt en mesure de montrer le lemme 3.4.4, à l ide de l lgorithme récursif ci-dessous. Algorithme fn2regex Requiert: M = (Y,R,etiq, x d,{x f }) AFNG. Retourne: Expression régulière R R. k crdy si k=2 lors R etiq(x d, x f ) retourner R sinon choisir y Y \ {x d, x f } Y Y \ {y} répéter choisir (x, z) (Y \ {x f, y}) (Y \ {x d, y}) R 1 etiq(x, y) R 2 etiq(y, y) R 3 etiq(y, z) R 4 etiq(x, z) etiq(x, z) R 1 R2 R 3 R 4 jusqu à ce que les couples (x, z) ient lyé l totlité de (Y \ {x f, y}) (Y \ {x d, y}) M (Y,R,etiq, x d,{x f }) fn2regex(m) fin si Démonstrtion du lemme : Si L est un lngge régulier, lors il est ccepté pr un utomte M AFD AFNG. En ppliqunt l lgorithme 3.4.7, nous otenons une expression régulière R qui décrit le lngge L = L (R).

14 3.5 Exercices Exercices Automtes finis 1. On note D 1 et D 2 les utomtes finis déterministes suivnts : x 2 strt x 1 x 3 x 2, strt x 1 x 3 x 4 D 1 D 2 () Quelle est l suite des étts à trvers lesquels pssent les utomtes lorsqu on leur présente l entrée? () Les utomtes cceptent-ils l entrée? (c) Les utomtes cceptent-ils l entrée ε? (d) Donner les descriptions formels de ces utomtes. 2. Un utomte fini est donné pr le quintuplet ({,,c,d,e},{0,1},δ,c,{c}), où δ est définie pr le tleu : 0 1 c c d d c e e d Dessiner le digrmme de l utomte. e 3. Chcun des lngges ci-dessous peut-être défini comme l intersection de deux lngges plus simples. Construire les utomtes finis déterministes qui décrivent ces lngges plus simples et les cominer pour construire l utomte qui qui reconnît les lngges L 1 et L 2. Dns tous les cs A = {,}. () L 1 = {α : α contient exctement deux et u moins deux }. () L 2 = {α : α contient un nomre pir de et chque est suivi pr u moins un }. 4. Donner les digrmmes des utomtes finis non-déterministes vec le nomre prescrit d étts qui reconnissent les lngges suivnts. Dns chque cs, A = {0,1}. () {α : α se termine pr 00} (vec trois étts).

15 3.5 Exercices 43 () 1 (001 + ) (vec trois étts). 5. Montrer que tout utomte fini non-déterministe vec plusieurs étts d ccepttion peut être converti en un utomte fini non-déterministe équivlent vec un seul étt d ccepttion. 6. Utiliser l procédure cnonique introduite en cours pour trnsformer les utomtes non-déterministes N 1 et N 2, dont les digrmmes sont donnés ci-dessous, en utomtes déterministes équivlents. ε strt 1 2, strt 1 2 N 1 N 2 3, Expressions régulières 7. Utiliser l procédure cnonique introduite en cours pour trnsformer les utomtes non-déterministes N 1 et N 2, dont les digrmmes sont donnés ci-dessous, en expressions régulières. strt 1 2, strt 1 2 N 1 N 2 8. Soit L un lngge sur l lphet A. Montrer que L = L LL L. 9. Convertir les expressions régulières suivntes en utomtes finis nondéterministes selon l procédure cnonique du cours. 3 () (). () + +. (c) ( + ) Soit A = {,,c,d}.

16 3.5 Exercices 44,,c,d () Soient M 1 = strt et B A M 2 = strt C D (Pour des risons de clrté, nous vons omis les étiquettes des rêtes de M 2. Chque rête pointnt sur un nœud indexé pr une lettre mjuscule ser étiquetée pr l même lettre minuscule. Ainsi, u nœud A rrivent 4 rêtes étiquetées, etc.) Déterminer L (M 1 ) et L (M 2 ). () En utilisnt l même convention pour les étiquettes, on note B A M 3 = strt C D Déterminer L (M 3 ). (c) On suppose mintennt que A u lieu d être un simple ensemle est un sous-ensemle d un groupe, noté F 2. On suppose que = c 1 et = d 1 et qu ucune utre reltion ne relie les éléments de A. Le groupe F 2, ppelé groupe lire à deux générteurs, est dénomrle et ses éléments peuvent être otenus comme produits ritrires d éléments de A. Monter qu il existe une ijection 3 entre L (M 3 ) et F 2? Quelle reltion L (M 2 ) vec F 2? 3. Un groupe engendré à prtir d un ensemle générteur fini est hyperolique si (en tnt qu ensemle) il est en ijection vec un lngge régulier. Pr conséquent F 2 est hyperolique ; il constitue même l rchétype d un groupe hyperolique.

17 3.5 Exercices 45 (d) Mintennt, les éléments de A, en sus des reltions = c 1 et = d 1, vérifient ussi l reltion =. Quel est le groupe engendré pr L (M 1 ) ou L (M 2 )?