Exercices Corrigés Corps des nombres complexes

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1 Exercices Corrigés Corps des nombres complexes Exercice 1 1) Qu est ce que le conjugué d un nombre complexe? ) Déterminer les nombres complexes z vérifiant : (1 + i)z 1 + i = 0 ) Préciser le complexe : z = 1 i + i + 1 i 1 + i Exercice 1) Déterminer les nombres complexes δ tels que : δ = + i ) Puis, déterminer les nombres complexes z tels que : z + z i = 0 Exercice 1) Déterminer les nombres complexes δ tels que : δ = 4i ) Puis, déterminer les nombres complexes z tels que : z + z + i = 0 Exercice 4 Caractériser la similitude directe : C C, z f(z) = ( 1 i)z + + ( + )i Exercice 5 Caractériser la similitude directe : C C, z f(z) = ( i)z + Exercice 6 (Extrait de l examen d octobre 010) 1) Déterminer les nombres complexes δ tels que : δ = i + 6 ) Puis, déterminer les nombres complexes z tels que : z + (1 i)z = 0 ) En déduire une factorisation de z + (1 i)z Exercice 7 (Extrait de l examen d octobre 010) On considère la similitude : f : C C : z f(z) = ( i)z + i 1) Déterminer les points fixes de f ) Caractériser la similitude f (cad préciser sa décomposition en composée d une rotation et d une homothétie de même centre) 1) Si a et b sont des réels, le conjugué du complexe a + ib est a ib On prendra garde que si 1

2 a et b sont des complexes le conjugué de a + ib est a ib ) L équation équivaut à : (1 + i)z = 1 i Il en résulte : z = 1 i 1 + i = (1 i) = 1 i 1 = i = i ) On trouve : z = (1 i)( i) 5 + (1 i)(1 i) = 1 i i = 6i 5 15i 10 = 1i 10 1) Comme + i 0, nous savons que l équation δ = + i admet deux solutions Cherchons δ sous la forme δ = x + iy avec x, y réels Comme δ = (x y ) + xyi, l èquation δ = + i équivaut à : x y = et xy = D autre part, on obtient l égalité entre modules δ = + i Il en résulte : Ainsi, (x, y) est solution de : x + y = = 1 = x y =, x + y = et xy > 0 x = + = 1 +, y = 1 = 1+, xy > 0 x = , y = 1, xy > 0, puisque x et y sont de même signe : δ = i 1 ou δ = 1 + i 1 Comme + i 0, nous savons que l équation δ = + i admet deux solutions Les deux valeurs ci-dessus sont donc les deux solutions cherchées ) Considérons l équation du deuxième degré à coefficients complexes : z + z i = 0 Les racines de cette équation sont : u 1 = + δ, u = δ,

3 où δ est une solution de δ = ( ) 4( i) = + i D aprés la question précédente, on obtient : u 1 = i 1, u = 1 + i 1 Remarque sur la rédaction : Le principe de la rédaction du 1) est d affirmer qu il y a deux solutions en s appuyant sur le cours On montre ensuite que les solutions cherchées sont solutions de trois équations, que les solutions de ces trois équations sont +( 1 + i + 1) Ainsi, +( i 1 + 5) sont les complexes δ de carré + 4i Pour la rédaction du ), il faut utiliser le cours en choisissant un complexe dont le carré est + i On prendra 1 + i + 1 et on déroule la formule 1) Comme + 4i 0, nous savons que l équation δ = 4i admet deux solutions Cherchons δ sous la forme δ = x + iy avec x, y réels Comme δ = (x y ) + xyi, l èquation δ = 4i équivaut à : x y = et xy = 4 D autre part, on obtient l égalité entre modules δ = 4i Il en résulte : Ainsi, (x, y) est solution de : x = + 0 x + y = = 0 x y =, x + y = 0 et xy < 0 = 1 + 5, y = + 0 = 1 + 5, xy < 0 x = , y = , xy < 0, puisque x et y sont de signe contraire : δ = i ou δ = i Comme 4i 0, nous savons que l équation δ = + 4i admet deux solutions Les deux valeurs ci-dessus sont donc les deux solutions cherchées ) Considérons l équation du deuxième degré à coefficients complexes : Les racines de cette équation sont : z + z + i = 0 u 1 = + δ, u = δ,

4 où δ est une solution de δ = ( ) 4(i) = 4i D aprés la question précédente, on obtient : u 1 = i 1 + 5, u = i Les points fixes de f sont les complexes z solutions de l équation f(z) = z, soit : z = ( 1 i)z + + ( + )i, soit : z + z + iz = + ( + )i, soit : z( + i) = + ( + )i, soit : z = + ( + )i + i = [ + ( + )i]( i) ( + i)( i) z = 7 + 7i = 1 + i 7 La similitude f a un donc un unique point fixe :, soit : z 0 = 1 + i ) Le module de a = ( 1 i) est 1 + = Ainsi le complexe a a = 1 i = 1 i est de module 1 On remarque que π 1 a pour cosinus et pour sinus (visualiser avec un cercle trigonométrique) Il en résulte que l argument de a est π En résumé, a est le complexe de module et d argument π Il résulte du cours que si M est l affixe du complexe z et M du complexe f(z), le point M se déduit de M par la composée de la rotation de centre z 0 d angle π et de l homothétie de centre z 0 et de rapport Les points fixes de f sont les complexes z solutions de l équation f(z) = z, soit : z = ( i)z +, soit : z z + iz =, soit : z( + i) =, soit : z = + i = ( i) ( + i)( i), soit : 4

5 4 6i z = 1 La similitude f a un donc un unique point fixe : z 0 = 4 6i 1 ) Le module de a = i est i = = Ainsi le complexe a a = i = i est de module 1 On remarque que π 4 a pour cosinus et pour sinus Il en résulte que l argument de a est π 4 En résumé, a est le complexe de module et d argument π 4 Il résulte du cours que si M est l affixe du complexe z et M du complexe f(z), le point M se déduit de M par la composée de la rotation de centre z 0 d angle π et de l homothétie de 4 centre z 0 et de rapport Nous savons que l équation δ C et δ = i + 6 a deux racines Cherchons ses racines sous la forme δ = x + iy avec x et y réels Nous remarquons que : x + y = δ = = 40 = 10 Ainsi, les réels x et s sont solutions du système : Nous trouvons : δ 1 = x y = 6 x + y = 10 xy = + i et δ1 = + i ) Le discriminant de l équation est = (1 i) 4( ) = i + 6 D aprés la question précédente le carré de δ 1 = + i est égal à Les complexes z tels que : z + (1 i)z = 0 sont donc : z 1 = i 1 + δ 1 ou encore : i(1 10 ) z 1 = et z = i 1 δ 1 et 5 z = i( )

6 ) Pour tout z complexe : z + (1 i)z = (z z 1)(z z ) L application f a un unique point fixe : z 0 = 1 + i(1 + ) 5 + Soit a = ( i) le module de a est, son argument est 5π 6 Autrement dit : a = ( i) = e 5iπ 6 Il s en suit que f correspond à la transformation géométrique du plan obtenue en composant la rotation de centre z 0 et d angle 5π 6 avec l homothétie de centre z 0 et de rapport 6