BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

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1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba, M. Fructus, B. Harigto, J.-P. Keller, M.-F. Lallemad, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moiier, P.-L. Morie, S. Pelleri, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbro et A. Wari 4, CC BY-NC-SA 3. FR Derière mise à jour : le /5/5

2 Itroductio L épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la maière suivate : 5m de préparatio sur table. 5m de passage à l oral. Chaque sujet proposé est costitué de deux exercices : u exercice sur 8 poits issu de la baque publique accessible sur le site u exercice sur poits. Les deux exercices proposés portet sur des domaies différets. Ce documet cotiet les exercices de la baque pour la sessio 5 : 58 exercices d aalyse ( exercice à exercice 58). 37 exercices d algèbre (exercice 59 à exercice 94). 8 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice ). Das l optique d aider les futurs cadidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la baque est proposé, das ce documet, avec u corrigé. Il se peut que des mises à jour aiet lieu e cours d aée scolaire. Cela dit, il e s agira, si tel est le cas, que de mises à jour mieures : reformulatio de certaies questios pour plus de clarté, relevé d évetuelles erreurs, suppressio évetuelle de questios ou d exercices. Nous vous coseillos doc de vérifier, e cours d aée, e vous coectat sur le site : si ue ouvelle versio a été mise e lige, la date de la derière mise à jour figurat e haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices cocerés serot sigalés das le préset documet, page 3. Remerciemets à David DELAUNAY pour l autorisatio de libre utilisatio du fichier source de ses corrigés des exercices de l aciee baque, diffusés sur so site NB : la présete baque itègre des élémets issus des publicatios suivates : A. Atibi, L. d Estampes et iterrogateurs, Baque d exercices de mathématiques pour le programme 3-4 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 7 (3) exercices. D. Delauay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 4. L équipe des examiateurs de l oral de mathématiques des CCP, filière MP. Cotact : Valérie BELLECAVE, coordoatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. CC BY-NC-SA 3. FR Page

3 MISES À JOUR : mise à jour du /9/4 : exercice 5 corrigé. ( 3 derières liges). mise à jour du 5//4 : exercice : éocé et corrigé. otatio des suites modifiée. exercice 5 : corrigé. modificatio de la majoratio (pour qu elle soit valable pour ) et corrigé. lige 7 (équivalet de u ). exercice 7 : éocé (otatio de la série de foctios et i chagé e i)) et corrigé. exercice 8 : corrigé. lige 6. exercice 9 :éocé otatio suite de foctios modifié et corrigé.b. R chagé e [; + [. exercice 5 : corrigé. complété. exercice 6 : corrigé. derière lige rajoutée. exercice : corrigé. distictio R a et R a >. exercice 3 : corrigé. derière lige. exercice 9 : :corrigé 3. rajout e fi de questio. exercice 34 : corrigé. troisième lige a chagé e x. exercice 39 : éocé (ordre des questios modifié) et corrigé 4. rajout de la comparaiso F et (F ). exercice 4 : corrigé. chagé et rajout d ue remarque e fi de corrigé. exercice 55 : corrigé. souci de otatios. exercice 66 : corrigé 3. secod bloc k chagé e k. exercice 67 : corrigé troisième cas χ A (X) chagé e χ M (X). exercice 7 : corrigé foctio ulle chagée e edomorphisme ul (deux fois). exercice 93 : supprimé. Attetio : par coséquet, la umérotatio des exercices suivats est modifiée. exercice (acie exercice ) : éocé k chagé e. mise à jour du 8//5 : ( exercice 75 corrigé questio. : vecteur lige (, ) remplacé par vecteur coloe. ) exercice 94 corrigé : suppressio du 3.c. exercice éocé : t= remplacé par t =, modificatio des espaces autour des guillemets. exercice corrigé questio. : rajout de "d après la formule des probabilités totales". exercice fi du corrigé : exercice 8 corrigé. : loi de Y : remplacé par. i ( ) i chagée e i ( ) i. exercice éocé : p ] ; [ remplacé par p ]; [. mise à jour du 7/3/5 : exercice 5 éocé : reformulé pour préciser que α = pour l étude des dérivées partielles et de l aspect C de f. exercice 97 : suppressio de la première lige de l éocé. exercice : éocé Y (ω) = mi (X (ω),, X (ω)) chagé e Y (ω) = mi (X (ω),, X N (ω)). exercice : corrigé.b modifié : o recoait ue loi géométrique. exercice 3 : corrigé questio.a. : rajout d ue remarque. exercice 5 : corrigé.c. iterprétatio reformulée. exercice 8 corrigé.b : E(X) et V (X) remplacés par E(Y ) et V (Y ). mise à jour du 8/4/5 : Das tous les exercices, ker a été remplacé par Ker. exercice 3 éocé questio. : f chagé e f (). exercice 3 corrigé 3. : f ( k) g (k) (x) chagé e f ( k) (x)g (k) (x) et c est à dire e c est-à-dire. exercice 4 corrigé 3. : u poit devat le mais chagé e ue virgule. exercice 5 éocé 3. : 3 chagé e. exercice 5 corrigé. 4 ième lige : vosiage chagé e voisiage. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

4 exercice 6 corrigé. 6 ième lige : rajout d u doc. exercice 7 éocé : otatio des suites modifiée. exercice 8 corrigé : otatio des suites chagée e remplaçat par exemple (S ) e (S ) N. exercice 8 corrigé : c est à dire chagé e c est-à-dire. exercice 9 : (f ) N chagé e (f ). exercice 9 corrigé.c :? remplacé par u poit. exercice éocé : (f ) N chagé e (f ). exercice éocé : (f ) N chagé e (f ). exercice 3 : éocé. modifié pour otatio correcte de la suite de foctios et pout chagé e pour. exercice 4 éocé : (f ) N chagé e (f ). exerccie 5 éocé : rajout de "celle". exercice 6 corrigé. : S (x) = = u (x) chagé e S (x) = = u (x). exercice 7 éocé : (f ) N chagé e (f ). exercie corrigé : quelques petits rajouts et modificatios de otatios. exercice corrigé : modificatios de otatios et rajouts. exercice corrigé avat derière lige : comverge chagé e coverge. exercice 7 éocé et corrigé : dx chagé e dx et (f ) N chagé e (f ). exercice 9 corrigé : l(t) chagé e (l t). exercice 3 corrigé : mise e évidece par iii) de l hypothèse de domiatio. exercice 3 corrigé : complété. exercice 34 corrigé :. reformulé et 3. otatios des suites modifiée. exercice 35 : otatio des suites modifiée. exercice 36 éocé : précisios apportées sur les ormes. exercice 36 corrigé : rajout de dt derière lige. exercice 37 éocé et corrigé : harmoisatio des variables (tout modifié e t) et rajout d u λ pour la orme N. exercice 38 corrigé.a. : i, chagé e i,. exercice 39 éocé et corrigé : modificatio des otatios des suites et k= x chagé e exercice 4 corrigé 4. : "deux" supprimé. exercice 43 corrigé : complété et u arcta chagé e Arcta. exercice 44 corrigé : modificatio des otatios des suites. exercice 45 corrigé : modificatio des otatios des suites. exercice 47 éocé : élémet dx chagé e dx. exercice 47 éocé et corrigé : élémet dx chagé e dx, arcta chagé e Arcta et quelques otatios. exercice 48 éocé et corrigé : modificatio des otatios des suites de foctios et élémet dx chagé e dx, C ([, ], R) chagé é C ([, ], R) (das le corrigé). exercice 49 éocé et corrigé : élémet dx chagé e dx. exercice 5 : élémet dx chagé e dx, lim t + t ϕ(t) = chagé e exercice 5 corrigé : fractio u + u simplifiée. = x. lim t + t ϕ(t) = et corrigé complété. exercice 54 corrigé.(a) : (u ) chagé e (u ) N. exercice 55 corrigé : modificatio des otatios des suites et i chagé e i. exercice 56 : élémet dt chagé e dt. exercice 57 corrigé.(b) : rajout de parethèses sur certais couples. exercice 58 corrigé : complété. exercice 6 corrigé. derière lige : p chagé e p +. exercice 63 corrigé : otatio de la suite (D ) modifiée. exercice 64 corrigé.(b) : C est à dire chagé e c est-à-dire. exercice 68 corrigé : E 3 (A) = Vect(,, ) chagé e E 3 (A) = Vect. exercice 7 corrigé remarque : x = x e + x e x e chagé e v = x e + x e x e. exercice 73 éocé et corrigé : I chagé e I. exercice 74 corrigé : I chagé e I. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

5 exercice 75 corrigé : I chagé e I. exercice 76 : dt chagé e dt. exercice 78 corrigé : soiet chagé e soit et c est à dire e c est-à-dire. exercice 79 corrigé : c est à dire e c est-à-dire, commutatitivité e commutativité et das la questio., variable t chagée e x. exercice 8 corrigé : om des variables homogééisé avec l éocé et commutatitivité chagé e commutativité. exercice 8 corrigé : typo modifiée pour I e I et autres soucis de typo. exercice 8 corrigé : chagemet de otatios das. exercice 84 : i chagé e i. exercice 86 éocé : b. modifiée. exercice 89 : i chagé e i. exercice 9 corrigé : I chagé e I. exercice 9 : éocé. modifié et das le corrigé., distibutivité chagé e distributivité. exercice 9 corrigé 3. : tels chagé e telles. exercice 95 éocé : tir chagé e tirage. exercice 96 corrigé : corrigé complété. exercice 97 corrigé : rajout d ue parethèse lige 3 et de = au lieu de lige. exercice 98 éocé. modifié. exercice 99 éocé : rajouté d u trait d uio pour Bieaymé-Tchebychev. exercice corrigé : correctio d u souci de umérotatio.(d) chagé e 3 et derière lige du corrigé, matrice A modifiée. exercice corrigé : I chagé e I. exercice éocé : T chagé e A. exercice 3 corrigé : otatio de la loi de Poisso modifée. exercice 4 éocé : "elles vieet se rager" modifié e "elles vieet toutes se rager". exercice 4 corrigé : rajout de poctuatio. exercice 5 éocé : questio. complétée e pour u système complet d évéemets. exerccie 5 corrigé.(a) et.(b) : p(t ) chagé e P (T ) à deux reprises. exercice éocé.(b) : éocé modifié. exercice corrigé : lige rajout de parethèses autour de P(E). mise à jour du 4/5/5 : exercice éocé : précisez chagé e préciser. exercice 3 éocé : ème chagé e ième exercice 6 éocé : calculez chagé e calculer. exercice éocé rayo cahgé e rayo de covergece. exercice 4 éocé : précisez chagé e préciser. exercice 68 éocé et corrigé :I 3 chagé e I 3. exercice 69 corrigé : I 3 chagé e I 3. exercice 7 corrigé :I 3 chagé e I 3. exercice 7 éocé : soit p, la projectio chagé e soit p la projectio. exercice 8 éocé : calculez chagé e calculer. exerccie 86 éocé.a : rajout de :. exercice 99 éocé et corrigé : i ième chagé e i ème. exercice 9 corrigé : i ème chagé e i ième. mise à jour du /5/5 : les majuscules ot été elevées derrière : Les majuscules ot été accetuées das les sujets où il a été repéré que ça était pas le cas. exercice 3 : éocé. : Trouver les solutios de cette équatio différetielle développables e série etière à l origie e Trouver les solutios de cette équatio différetielle développables e série etière sur u itervalle ] r, r[ de R. éocé. chagé e est-ce que toutes les solutios de x(x )y + 3xy + y = sur ]; [ sot les restrictios d ue foctio développable e série etière sur ], [? exercice 4 éocé : rajout d u poit et uiformisatio des otatios des itervalles. exercice 7 éocé : fi chagée e Remarque : i désige le ombre complexe de carré égal à. exercice éocé : quatificateur chagé e pour tout. exercice 9 éocé. : rajout de :. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

6 exercice éocé. calculer chagé e détermier. exercice 4 éocé : das la défiitio de f, pour chagé e si. exercice 5 éocé :. pour tout etier chagé e pour tout etier aturel.. rajout de Pour tout N. exercice 6 éocé : pour tout chagé e pour tout etier. exercice 7 éocé : début chagé e pour tout N.(suppressio du quatifiacateur) et otatio des itervalles uiformisée. exercice 8 éocé : N.B chagé e N.B. exerccie 9 éocé : des virgules chagées e : et uiformisatio des otatios des itervalles. exercice 3 éocé : bores de l itégrale "mal placées". rectifié. exercice 33 éocé : début modifié e O pose : (x, y) R \ {(, )}, f (x, y) = xy et f (, ) =. x + y exercice 35 éocé. : allégé car des répétitios. exercice 36 éocé : E,F chagé e E et F et : rajouté sur P 3 après tel que. exercice 37 éocé : o pose, chagé e o pose :. exercice 38 éocé : début chagé e o ote R[X] l espace vectoriel des polyômes à coefficiets réels. O pose : P R[X], N (P ) = i= a i et N (P ) = max i a i où P = a i X i avec deg P. exercice 39 éocé 3. : C chagé e R. exercice 4 éocé : u : rajouté derrière o suppose que et u de A chagé e u A. exercice 4 éocé : poctuatio modifiée. exercice 4 éocé : équatio chagé e équatio différetielle et rajout d ue virgule. exercice 43 éocé : rajout de deux virgules. exercice 44 éocé : rajout de : après motrer que (3 fois) et rajout de virgules. exercice 45 éocé : E, A et A itroduits avat., : rajouté après o pose, chagé e = et das.(b) rajout de :. exercice 47 éocé : Soit f ue foctio cotiue sur [, ] chagé e soit f ue foctio cotiue sur [, ]. à valeurs das R et quel est le ses géométrique chagé e quelle est l iterprétatio géométrique? exercice 48 éocé : telle que, chagé e telle que : et otatio de l itégrale das c. rectifiée. exercice 49 éocé : e chagé e e, questio 3.a, quatificateur chagé e pour tout...et itégrale chagée e + g (t)dt. exercice 5 éocé : Soit x R supprimé. exercice 5 éocé : remarque mise e gras. exercice 5 éocé : présetatio de la défiitio de f chagée e Soit α R. y 4 O cosidère l applicatio défiie sur R par f(x, y) = x + y si (x, y) (, ) xy. α si (x, y) = (, ).. rajout de : 3.a et 3.b : formulatio légéremet revue. exercice 53 éocé :.a. : rajouté. exercice 54 éocé : des : rajoutés ( trois fois) et otatio de la orme modifiée. exercice 55 éocé : suppressio des parethèses autour de C. exercice 57 éocé : otatio des guillemets modifiée. exercice 58 éocé : otatio des guillemets modifiée. exercice 79 éocé : o pose, chagé e o pose :. exercice 8 éocé : première lige reformulée. exercice 9 éocé : o pose, chagé e o pose :. exercice 98 éocé : rajout d u espace etre p et (p...), Z chagé e Z. exercice 99 éocé : accet aigu sur le A chagé e accet grave. exercice éocé : R(x) = x(x+)(x+) chagé e R(x) = x(x + )(x + ). exercice éocé : rajout d u espace avat B, guillemets chagés e guillemets à la fraçaise, sas claculs chagé e sas calcul. exercice éocé : suppressio du poit derrière Y = mi (X i). i N i= CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

7 exercice 3 : suivet ue loi de Poisso chagé e suivet des lois de Poisso, m N chagé e pour tout m N, (Ω, A) chagé e (Ω, A, P ). exercice 7 éocé : derière phrase avat. chagée e Pour tout N, o ote B l évéemet «la boule tirée au ième tirage est blache» et o pose p = P (B ). exercice 5 : chagé e. exercice 8 éocé : première phrase modifiée e : Soiet X et Y deux variables aléatoires défiies sur u même espace probabilisé (Ω, A, P ) et à valeurs das N. O suppose que la loi du couple (X, Y ) est doée par :....(b) : Y chagé e Y. exercice éocé :.(a) R chagé e R X, alors supprimé..(b) modifié e : exprimer, e justifiat la répose,....(a), suppressio du quatificateur.(b) chagé e des lois de Poisso de paramètres... exercice éocé : rajout devat la formule de la loi du couple (k, ) N. exercice éocé : u poit e trop à la fi supprimé. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

8 BANQUE ANALYSE EXERCICE aalyse Éocé exercice. O cosidère deux suites umériques (u ) N et (v ) N telles que (v ) N est o ulle à partir d u certai rag et u v. + Démotrer que u et v sot de même sige à partir d u certai rag. ( ) ( ). Détermier le sige, au voisiage de l ifii, de : u = sh ta. Corrigé exercice. Par hypothèse, ( N) N/ N, N = v. u Aisi la suite est défiie à partir du rag N. v u De plus, comme u v, o a lim =. + + v Alors, ε >, N N/N N et N, N = u v ε. () Preos ε =. Fixos u etier N vérifiat (). Aisi, N, N = u v. C est-à-dire, N, N = u v. O e déduit que N, N = u v. Et doc, N, N = u >. v Ce qui implique que u et v sot de même sige à partir du rag N.. Au voisiage de +, sh( ) = + ( ) o 3 et ta = + O e déduit, d après., qu à partir d u certai rag, u est égatif o ( ) 3. Doc u CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

9 EXERCICE aalyse Éocé exercice O pose f(x) = (x + ) (3 x).. Décomposer f(x) e élémets simples et e déduire la primitive G de f défiie sur l itervalle ] ; 3[ telle que G() =.. Détermier le développemet e série etière e de la foctio f et préciser le rayo de covergece. 3. Déduire de ce développemet la valeur de G (3) (). Corrigé exercice O pose f(x) = (x + ) (3 x).. E utilisat les méthodes habituelles de décompositio e élémets simples, o trouve : f(x) = 6 x (x + ) x. Les primitives de f sur ] ; +3[ sot doc les foctios F défiies par : F (x) = ( ) x + 6 l 3 x 4 + C avec C R. (x + ) De plus, F () = C = 8. Doc, x ] ; 3[, G(x) = ( ) x + 6 l 3 x 4 (x + ) D après le cours, x et x sot développables e série etière à l origie. x + (x + ) Le rayo de covergece de ces deux développemets e série etière vaut. () O a x ], [, + x = ( ) x. = Et, x ], [, ( + x) = ( ) + x ( obteu par dérivatio du développemet précédet). = Efi, 3 x = ( 3 x ). 3 Doc x est développable e série etière à l origie. 3 x Le rayo de so développemet e série etière vaut 3. () Et, o a x ] 3; 3[, 3 x = x 3 3 = O e déduit que f est développable e série etière. O ote R le rayo de covergece de ce développemet e série etière. D après () et (), R. Or lim x Doc R =. f(x) = + doc R. Et x ] ; [, f(x) = 6 =( ) x + 4 =( ) ( + )x ( ( ) C est-à-dire x ] ; [, f(x) = + ( ) ( + ) = = x 3. ) x. 3. D après le cours, les coefficiets d u développemet e série etière sot ceux de la série de Taylor associée. Doc, si o pose N, a = ( ) + ( ) ( + ) , alors, N, a = f ().! ( Aisi, G (3) () = f () () =!a = ) 4 + = CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

10 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. O pose g(x) = e x et h(x) = + x. Calculer, pour tout etier aturel k, la dérivée d ordre k des foctios g et h sur leurs esembles de défiitios respectifs.. O pose f(x) = ex + x. E utilisat la formule de Leibiz, cocerat la dérivée ième d u produit de foctios, détermier, pour tout etier aturel et pour tout x R\ { }, la valeur de f () (x). 3. Démotrer, das le cas gééral, la formule de Leibiz, utilisée das la questio précédete. Corrigé exercice 3. g est de classe C sur R et h est de classe C sur R\ { }. O prouve, par récurrece, que : x R, g (k) (x) = k e x et x R\ { }, h (k) (x) = ( )k k! ( + x) k+.. g et h sot de classe C sur R\ { } doc, d après la formule de Leibiz, f est de classe C sur R\ { } et x R\ { } : f () (x) = k= ( k ) g ( k) (x)h (k) (x) = k= ( ) k k e x ( )k k! ( + x) k+ =!ex k= ( ) k k ( k)!( + x) k+. 3. Notos (P ) la propriété : Si f : I R et g : I R sot fois dérivables sur I alors, fg est fois dérivable sur I et : ( ) x I, (fg) () (x) = f ( k) (x)g (k) (x). k k= Prouvos que (P ) est vraie par récurrece sur. La propriété est vraie pour = et pour = (dérivée d u produit). Supposos la propriété vraie au rag. Soit f : I R et g : I R deux foctios + fois dérivables sur I. Les foctios f et g sot, e particulier, fois dérivables sur I et doc par hypothèse de récurrece la foctio fg l est aussi avec x I, (fg) () (x) = k= ( k ) f ( k) (x)g (k) (x). Pour tout k {,..., }, les foctios f ( k) et g (k) sot dérivables sur I doc par opératio sur les foctios dérivables, la foctio (fg) () est ecore dérivable sur I. Aisi la foctio fg est ( + ) fois dérivable et : x I,(fg) (+) (x) = k= ( k ) ( f (+ k) (x)g (k) (x) + f ( k) (x)g (k+) (x)). E décomposat la somme e deux et e procédat à u décalage d idice sur la deuxième somme, o ( ) + ( ) obtiet : x I, (fg) (+) (x) = f (+ k) (x)g (k) (x) + f (+ k) (x)g (k) (x). k k k= C est-à-dire (( ) ( )) ( ) (fg) (+) (x) = + f (+ k) (x)g (k) (x) + f (+) (x)g () (x) + k k k= ( ) ( ) ( ) + Or, e utilisat le triagle de Pascal, o a + =. ( ) ( k ) k ( ) ( k ) + + O remarque égalemet que = = et = =. + + ( ) + O e déduit que (fg) (+) (x) = f (+ k) (x)g (k) (x). k Doc (P + ) est vraie. k= k= ( ) f () (x)f (+) (x). CC BY-NC-SA 3. FR Page

11 EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Éocer le théorème des accroissemets fiis.. Soit f : [a, b] R et soit x ]a, b[. O suppose que f est cotiue sur [a, b] et que f est dérivable sur ]a, x [ et sur ]x, b[. Démotrer que, si f admet ue limite e x, alors f est dérivable e x et f (x ) = lim x x f (x). 3. Prouver que l implicatio : ( f est dérivable e x ) = (f admet ue limite fiie e x ) est fausse. Idicatio : o pourra cosidérer la foctio g défiie par : g(x) = x si x si x et g() =. Corrigé exercice 4. Théorème des accroissemets fiis : Soit f : [a, b] R. O suppose que f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = f (c)(b a).. O pose l = lim f (x). x x Soit h tel que x + h [a, b]. E appliquat le théorème des accroissemets fiis, à la foctio f, etre x et x + h, o peut affirmer qu il existe c h strictemet compris etre x et x + h tel que f(x + h) f(x ) = f (c h )h. Quad h (avec h ), o a, par ecadremet, c h x. Doc lim h (f(x + h) f(x )) = lim f (c h ) = lim f (x) = l. h x x O e déduit que f est dérivable e x et f (x ) = l. h 3. La foctio g proposée das l idicatio est évidemmet dérivable ) sur ], [ et ], + [.. g est égalemet dérivable e car ( h (g(h) g()) = h si ( ) ( ) h Or lim h si = car h si h. h h h h Doc, g est dérivable e et g () =. Cepedat, x R\ {}, g (x) = x si ( ) x si x x Doc g a pas de limite e. ( ) cos x ( ). x (car x si( ) x ), mais x cos x ( ) admet pas de limite e. x CC BY-NC-SA 3. FR Page

12 EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. O cosidère la série de terme gééral u = (a) Cas α (l ) α où et α R. E utilisat ue mioratio très simple de u, démotrer que la série diverge. (b) Cas α > Étudier la ature de la série. Idicatio : o pourra utiliser la foctio f défiie par f(x) =. Détermier la ature de la série Corrigé exercice 5 ( ( e + ) ) e (l( + )). x(l x) α.. (a) Cas α, l l doc (l ) α (l ) α. O e déduit que :, u (l ) α. Or diverge. Doc, par critère de mioratio pour les séries à termes positifs, o e déduit que u diverge. (b) Cas α > La foctio f : x est décroissate et positive sur [; + [ doc : x(l x) α + f() et f(x) dx sot de même ature. Puisque X f(x) dx = t=l x l(x) l dt, o peut affirmer que : tα O e déduit que : f() coverge α >.. O pose, pour tout etier aturel, u = Au voisiage ( de +, + + ( ( e + ) ) e (l( + )). ) = e e l(+ ) = e e ( +o( )) = e e +o( ) e = e ( O e déduit qu au voisiage de +, e + ) De plus, au voisiage de +, l ( + ) = l + l Doc l ( + ) + l. + e. ( + e Et comme e, o e déduit que u (l ). Or, d après.(b), (l ) coverge. f(x) dx coverge α >. + o ) = l + ( + o Doc, par critère d équivalece pour les séries à termes positifs, u coverge. ( ). ). CC BY-NC-SA 3. FR Page

13 EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 Soit (u ) N ue suite de réels strictemet positifs et l u réel positif strictemet iférieur à. u +. Démotrer que si lim = l, alors la série u coverge. + u u + Idicatio : écrire, judicieusemet, la défiitio de lim = l, puis majorer, pour assez grad, u + u par le terme gééral d ue suite géométrique.. Quelle est la ature de la série!? Corrigé exercice 6. Par hypothèse : ε >, N N/ N, u + u l ε. () Preos ε = l. Fixos u etier N vérifiat (). Alors N, N = u + u Et doc, N, u + u O pose q = + l + l.. O a doc q ], [. l l. O a alors N, u + qu. O e déduit, par récurrece, que N, u q N u N. Or q N u N = u N q N q et q coverge car q ], [. N N N Doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, u coverge.. O pose : N, u =!. N, u > et N, u + u = Or l( + ) doc lim + + Doc u coverge. ( + ) = l(+ e ). u + = e <. u CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

14 EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7. Soiet (u ) N et (v ) N deux suites de ombres réels positifs. O suppose que (v ) N est o ulle à partir d u certai rag. Motrer que : u v = u et v sot de même ature. + ( ). Étudier la covergece de la série (i ) si ( ). + 3 l Remarque : i désige le ombre complexe de carré égal à. Corrigé exercice 7. Par hypothèse, ( N) N/ N, N = v. u Aisi la suite est défiie à partir du rag N. v De plus, o suppose que u v. + u v =. O e déduit que lim + Alors, ε >, N N/N N et N, N = u v ε. () Preos ε =. Fixos u etier N vérifiat (). Aisi, N, N = u v. C est-à-dire, N, N = u v. O e déduit que N, N = u v 3. (*) Premier cas : Si v coverge D après (*), N, u 3 v. Doc, par critère de majoratio des séries à termes positifs, u coverge. Deuxième cas : Si v diverge D après (*), N, v u. Doc, par critère de mioratio des séries à termes positifs, u diverge. Par symétrie de la relatio d équivalece, o obtiet le résultat. ( ) (i ) si. O pose, u = ( ). + 3 l si( u = ) ( ). + 3 l De plus u + 3 l = v O a 5 4 v = 4 l, doc lim 5 4 v =. O e déduit que v coverge. + D après., u coverge. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

15 Doc u coverge absolumet. De plus, la suite (u ) est à valeurs das C, doc u coverge. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

16 EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8. Soit (u ) N ue suite décroissate positive de limite ulle. (a) Démotrer que la série ( ) k u k est covergete. Idicatio : o pourra cosidérer (S ) N et (S + ) N avec S = ( ) k u k. (b) Doer ue majoratio de la valeur absolue du reste de la série ( ) k u k.. O pose : N, x R, f (x) = ( ) e x. (a) Étudier la covergece simple sur R de la série de foctios f. k= (b) Étudier la covergece uiforme sur [, + [ de la série de foctios f. Corrigé exercice 8. (a) S + S = u + u +, doc (S ) N est décroissate. De même S +3 S +, doc (S + ) N est croissate. De plus S S + = u + et lim u + =, doc lim (S S + ) =. + + O e déduit que les suites (S ) N et (S + ) N sot adjacetes. Doc elles coverget et ce vers ue même limite. Comme (S ) N et (S + ) N recouvret l esemble des termes de la suite (S ) N, o e déduit que la suite (S ) N coverge aussi vers cette limite. Ce qui sigifie que la série ( ) k u k coverge. (b) Le reste R = k=+ ( ) k u k vérifie N, R u +.. O pose x R, N, a (x) = ( ) e x. O a alors N, a (x) = ( ) u (x) avec u (x) = e x. (a) Soit x R. Si x <, alors lim a (x) = +, doc a (x) diverge grossièremet. + Si x, alors (u (x)) N est positive, décroissate et lim u (x) =. + Doc d après.(a), a (x) coverge. Doc a coverge simplemet sur [, + [. (b) Comme a coverge simplemet sur [, + [, o peut poser x [, + [, R (x) = Alors, comme, x [, + [, (u (x)) N est positive, décroissate et d après.(b), que : x [, + [, R (x) e (+)x +. Et doc x [, + [, R (x). (majoratio idépedate de x) + k=+ a k (x). lim u (x) =, o e déduit, + CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

17 Et comme lim + + =, alors (R ) coverge uiformémet vers sur [, + [. C est à dire a coverge uiformémet sur [, + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

18 EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9. Soit X u esemble, (g ) ue suite de foctios de X das C et g ue foctio de X das C. Doer la défiitio de la covergece uiforme sur X de la suite de foctios (g ) vers la foctio g.. O pose f (x) = + + e x. (a) Étudier la covergece simple de la suite de foctios (f ). (b) La suite de foctios (f ) coverge-t-elle uiformémet sur [, + [? (c) Soit a >. La suite de foctios (f ) coverge-t-elle uiformémet sur [a, + [? (d) La suite de foctios (f ) coverge-t-elle uiformémet sur ], + [? Corrigé exercice 9. Soit g : X C et g : X C. Dire que (g ) coverge uiformémet vers g sur X sigifie que : ε >, N N / N, N = x X, g (x) g(x) ε. Ou ecore, (g ) coverge uiformémet vers g sur X. (a) O pose x R, f (x) = +. + e x Soit x R. Si x =, alors f () = + +, doc lim f () =. + Si x, alors lim f () = car f (x) e x. + + lim + ( sup g (x) g(x) x X O e déduit { que (f ) coverge simplemet sur R vers la foctio f défiie par : si x f(x) = si x = ) =. (b) N, f est cotiue sur [; + [ et f o cotiue e doc (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur [; + [. (c) Soit a >. O a : x [a, + [, f (x) f(x) = f (x) + (majoratio idépedate de x). + e a + Par ailleurs lim + + e a = (car + + e a e a ). + Doc (f ) coverge uiformémet vers f sur [a, + [. (d) O remarque que N, f est borée sur ], + [ car x ], + [, f (x) + +. D autre part, f est borée sur [, + [, doc, N, f (x) f(x) existe. sup x ],+ [ O a f ( ) f( ( + )e ) = doc + Or sup f (x) f(x) f ( ) f( ), doc x ],+ [ Doc (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur ], + [. lim f ( ) f( ) = e. + sup f (x) f(x). x ],+ [ + CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

19 EXERCICE aalyse Éocé exercice O pose f (x) = ( x + ) e x + xe x. + x. Démotrer que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet sur [, ].. Calculer lim + Corrigé exercice ( x + ) e x + xe x dx. + x. Pour x [, ], lim + f (x) = (x + )e x. La suite de foctios (f ) coverge simplemet vers f : x (x + )e x sur [, ]. O a x [, ], f (x) f(x) = (x + ) x(e x e x ), et doc : x [, ], f (x) f(x) e + x. Ce majorat idépedat de x ted vers quad +, doc la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers f sur [, ].. Par covergece uiforme sur le segmet [, ] de cette suite de foctios cotiues sur [, ], o peut itervertir limite et itégrale. O a doc lim (x + ) ex + xe x dx = (x + )e x dx. + + x Puis, e effectuat deux itégratios par parties, o trouve (x + )e x dx = e 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

20 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Soit X ue partie de R, (f ) ue suite de foctios de X das R covergeat simplemet vers ue foctio f. O suppose qu il existe ue suite (x ) N d élémets de X telle que la suite (f (x ) f (x )) N e tede pas vers. Démotrer que la suite de foctios (f ) e coverge pas uiformémet vers f sur X. si (x). Pour tout x R, o pose f (x) = + x. (a) Étudier la covergece simple de la suite (f ). (b) Étudier la covergece uiforme de la suite (f ) sur [a, + [ (avec a > ), puis sur ], + [. Corrigé exercice. Par cotraposée : si (f ) coverge uiformémet vers f alors : il existe u etier N tel que N, f f = sup f (x) f(x) existe et lim f f x X + =. Or, N, x X doc N, N = f (x ) f(x ) f f. Or lim f f + =. Doc lim f (x ) f(x ) =. + C est-à-dire la suite (f (x ) f(x )) N coverge vers.. (a) Soit x R. Si x =, alors f () =. Si x, alors lim f (x) = car f (x) + x. Doc la suite (f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R. (b) Soit a >. x [a, + [, f (x) f(x) = f (x) Cette majoratio est idépedate de x et + a. lim + + a =. O e déduit que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [a, + [. O pose, N, x = π. O a N, x ], + [ et f (x ) f(x ) = qui e ted pas vers quad +. + π 4 O e déduit, d après., que la suite de foctios (f ) e coverge pas uiformémet sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page

21 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Soit (f ) ue suite de foctios de [a, b] das R. O suppose que la suite de foctios (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers ue foctio f, et que, pour tout N, f est cotiue e x, avec x [a, b]. Démotrer que f est cotiue e x.. O pose : N, x [; ], g (x) = x. La suite de foctios (g ) N coverge-t-elle uiformémet sur [; ]? Corrigé exercice. Soit x [a, b]. Prouvos que f est cotiue e x. Soit ε >. Par covergece uiforme, il existe u etier N tel que N, N = ( x [a, b], f(x) f (x) ε). E particulier pour = N, o a x [a, b], f(x) f N (x) ε. (*) Or la foctio f N est cotiue e x doc α > tel que : x [a, b], x x α f N (x) f N (x ) ε. (**) D après l iégalité triagulaire, x [a, b], f(x) f(x ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N (x ) f(x ). Alors d après (*) et (**), x [a, b], x x α f(x) f(x ) 3ε. O e déduit que f est cotiue e x.. La suite (g ) N coverge simplemet sur [, ] vers la foctio g : x N, g est cotiue e alors que g est discotiue e. { si x [, [ si x = D après la questio précédete, o e déduit que (g ) N e coverge pas uiformémet vers g sur [, ]. CC BY-NC-SA 3. FR Page

22 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3. Soit (g ) ue suite de foctios de X das C, X désigat u esemble o vide quelcoque. O suppose que, pour tout N, g est borée et que la suite (g ) coverge uiformémet sur X vers g. Démotrer que la foctio g est borée.. Pour tout etier aturel o ul, o cosidère la foctio f défiie sur R par : { x si x f (x) = si x > x Prouver que la suite de foctios (f ) coverge simplemet sur R. La covergece est-elle uiforme sur R? Corrigé exercice 3. N, g est borée sur X, c est-à-dire : N, M R + / x X, g (x) M. (*) Notos que ce majorat M déped de. (g ) coverge uiformémet vers g sur X. Ce qui sigifie que : ε >, N N / N, N = x X, g (x) g(x) ε. () Preos ε = et fixos u etier N vérifiat () pour ce choix de ε. Alors, N, N = x X, g (x) g(x). E particulier, x X, g N (x) g(x). (**) Or, d après l iégalité triagulaire, x X, g(x) g(x) g N (x) + g N (x). Doc, d après (*) et (**), x X, g(x) + M N. Ce qui sigifie que g est borée sur X.. N, f () =, doc lim f () =. + Soit x R. lim + = doc, N N tel que, N, N = < x. Fixos u tel etier N. Alors N, N = f (x) = x. Doc lim f (x) = + x. O e déduit que (f ) coverge simplemet sur R vers la foctio f défiie par : { si x f(x) = x si x =. De plus, N, f est borée car x R, f (x). Or f est pas borée sur R doc, d après la questio précédete, (f ) e coverge pas uiformémet sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page

23 EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Soit a et b deux réels doés avec a < b. Soit (f ) ue suite de foctios cotiues sur [a, b], à valeurs réelles. ( b ) Démotrer que si la suite (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers f, alors la suite f (x) dx coverge vers b a f (x) dx.. Justifier commet ce résultat peut être utilisé das le cas des séries de foctios. ( + ) 3. Démotrer que x dx =. Corrigé exercice 4 = =. Comme la suite (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers f, et que, N, f est cotiue sur [a, b], alors f est cotiue sur [a, b]. Aisi, N, f f est cotiue sur le segmet [a, b]. O pose alors, N, f f = sup f (x) f(x). x [a,b] b b b b O a f (x) dx f(x) dx = (f (x) f(x)) dx f (x) f(x) dx (b a) f f. (*) a a Or (f ) coverge uiformémet vers f sur [a, b], doc Doc d après (*), b lim + a a f (x) dx = b a f(x) dx. a lim f f + =.. O suppose que N, f est cotiue sur [a, b] et f coverge uiformémet sur [a, b]. O pose S = f k. k= f coverge uiformémet sur [a, b], doc coverge simplemet sur [a, b]. O pose alors, égalemet, x [a, b], S(x) = f k (x). k= f coverge uiformémet sur [a, b] sigifie que (S ) coverge uiformémet sur [a, b] vers S. De plus, N, S est cotiue sur [a, b], car S est ue somme fiie de foctios cotiues. O e déduit que S est cotiue sur [a, b]. Et d après., Or b Doc a lim S (x)dx = lim Ou ecore b + a b + k= lim a k= b a + k= S (x) dx = f k (x)dx = f k (x) dx = b a b a f k (x) dx = b a k= S(x) dx. b a S(x) dx. b a k= Ce qui sigifie que b f k (x) dx coverge et a f k (x)dx car il s git d ue somme fiie. f k (x) dx. b k= a f k (x) dx = b a k= f k (x) dx. Bila : La covergece uiforme de la série de foctios f où les f sot cotiues sur [a, b] permet d itégrer terme à terme, c est-à-dire : b a = f (x) dx = b = a f (x) dx. a N CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

24 3. La série etière x est de rayo de covergece R = doc cette série de foctios coverge [ ormalemet et doc uiformémet sur le compact, ] ], [. [ De plus, N, x x est cotiue sur, ]. ( + ) O e déduit alors, e utilisat., que : x + dx = x dx = + + =. = = = = CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

25 EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5 Soit X ue partie de R ou C.. Soit f ue série de foctios défiies sur X à valeurs das R ou C. Rappeler la défiitio de la covergece ormale de f sur X, puis celle de la covergece uiforme de f sur X.. Démotrer que toute série de foctios, à valeurs das R ou C, ormalemet covergete sur X est uiformémet covergete sur X. 3. La série de foctios! z est-elle uiformémet covergete sur le disque fermé de cetre et de rayo R R +? Corrigé exercice 5. O suppose que N, f est borée sur X. O pose alors N, f = sup f (t). t X f coverge ormalemet sur X f coverge. O pose N, S = f k. k= f coverge uiformémet sur X la suite de foctios (S ) coverge uiformémet sur X.. O suppose que f coverge ormalemet sur X. Les foctios f sot doc borées sur X et la série umérique f coverge. Or, x X, f (x) f. Doc, par comparaiso des séries à termes positifs, la série f (x) est absolumet covergete et doc covergete, puisque les foctios f sot à valeurs das R ou C. Aisi la série de foctios f coverge simplemet sur X. O peut doc poser x X, N, R (x) = x X, N, N N, N + = N k=+ k=+ Alors, e faisat tedre N vers +, o obtiet : + x X, R (x) = f k (x) f k (x) k=+ k=+ Or f coverge ormalemet sur X doc lim f k (x). f k (x) k=+ + k=+ N k=+ f k (x) N k=+ f k. f k. (majoratio idépedate de x) f k =. O e déduit alors que la suite de foctios (R ) coverge uiformémet vers sur X. Comme R = S S, la suite (S ) coverge uiformémet vers S sur X. C est-à-dire f coverge uiformémet sur X. 3. O pose, N, a =!. N, a + = + a. Doc lim + a + a =. O e déduit que série etière! z a u rayo de covergece égal à +. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

26 Cette série etière coverge doc ormalemet sur tout compact de C. E particulier, cette série etière coverge ormalemet et doc uiformémet, d après., sur tout disque de cetre O et de rayo R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

27 EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 O cosidère la série de foctios de terme gééral u défiie par : ( N, x [, ], u (x) = l + x ) x. O pose, lorsque la série coverge, S(x) = =. Démotrer que S est dérivable sur [, ].. Calculer S (). Corrigé exercice 6. Soit x [, ]. Si x =, u () = et doc u () coverge. [ ( l + x ) x ]. ( ) + o x, alors u (x) +. coverge doc, par critère de comparaiso des séries à termes positifs, u (x) coverge Si x, comme au voisiage de +, u (x) = x Or absolumet, doc coverge. O e déduit que la série des foctios u coverge simplemet sur [, ]. La foctio S est doc défiie sur [, ]. N, u est de classe C sur [, ] et x [, ], u (x) = x + = x (x + ). Doc N, x [, ], u (x). O e déduit que u = Or coverge. sup u (x) x [,]. Doc u coverge ormalemet, doc uiformémet sur [, ]. O peut alors affirmer que la foctio S est de classe C. Elle est doc dérivable sur [, ]. Et o a : x [; ], S (x) = =. E vertu de ce qui précède, S () = Or N = u (x). = u () = ( + ) = N +. N + Doc S () =. = ( + ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

28 EXERCICE 7 aalyse Éocé exercice 7 Soit A C et (f ) ue suite de foctios de A das C.. Démotrer l implicatio : ( la série de foctios ) f coverge uiformémet sur A (la suite de foctios (f ) coverge uiformémet vers sur A). O pose : N, x [; + [, f (x) = x e x. Prouver que f coverge simplemet sur [; + [. f coverge-t-elle uiformémet sur [; + [? Justifier. Corrigé exercice 7. O suppose que f coverge uiformémet sur X. O e déduit que f coverge simplemet sur X. O pose alors, x X, S(x) = f k (x) et N, S (x) = f k (x). k= k= f coverge uiformémet sur X, c est-à-dire (S ) coverge uiformémet vers S sur X, c est-à-dire lim S S =, avec S S = sup S (x) S(x). + x X O a N, x X, f (x) = S (x) S (x) S (x) S(x) + S(x) S (x). Doc N, x X, f (x) S S + S S (majoratio idépedate de x). Or lim S S =, doc lim ( S S + S S ) =. + + Doc (f ) coverge uiformémet vers sur X.. O pose : N, x [; + [, f (x) = x e x. Soit x [; + [. Si x = : N, f () = doc f () coverge. Si x : Or ( ). lim + f (x) =, doc au voisiage de +, f (x) = o coverge doc, par critère de domiatio, f (x) coverge. O e déduit que f coverge simplemet sur [; + [. N, f est cotiue sur [; + [ et lim f (x) =, doc f est borée sur [; + [. x + Comme f est borée (f = ), o e déduit que N, f est borée. De plus, la suite de foctios (f ) coverge simplemet vers la foctio ulle. E effet, si x = alors f () = et si x, lim f (x) =. + O a N, f ( ) = e. ( ) ( ) Or, N, f = f sup f (t) ; doc sup f (t) e. t [;+ [ t [;+ [ Aisi, sup f (t). t [;+ [ + CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

29 O e déduit que (f ) e coverge pas uiformémet vers la foctio ulle sur [; + [. Doc, d après., f e coverge pas uiformémet sur [; + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

30 EXERCICE 8 aalyse Éocé exercice 8 O pose : N, x R, u (x) = ( ) x. O cosidère la série de foctios u.. Étudier la covergece simple de cette série. O ote D l esemble des x où cette série coverge et S(x) la somme de cette série pour x D.. (a) Étudier la covergece ormale, puis la covergece uiforme de cette série sur D. (b) La foctio S est-elle cotiue sur D? Corrigé exercice 8. La série de foctios étudiée est ue série etière de rayo de covergece R =. E x =, il y a covergece par le critère spécial des séries alterées. E x =, la série diverge (série harmoique). O a doc D = ], ].. (a) x D, u (x) = ( ) x. u = sup u (x) = x ],] et diverge. Doc ( ) x e coverge pas ormalemet sur D. ( ) x e coverge pas uiformémet sur D o plus car, sio, o pourrait employer le théorème de la double limite e et cela etraîerait la covergece absurde de la série (b) E tat que somme d ue série etière de rayo de covergece, S est cotiue sur ], [. (*) Pour étudier la cotiuité e, o peut se placer sur [, ]. x [, ], la série umérique u (x) satisfait le critère spécial des séries alterées ce qui permet de majorer so reste. O a, x [, ], k=+ Et, lim + + =. Doc, u coverge uiformémet sur [, ]. u k (x) u +(x) = x+ +. (majoratio idépedate de x) + Les foctios u état cotiues sur [, ], la somme S est alors cotiue sur [, ]. Doc, e particulier, S est cotiue e. (**) Doc, d après (*) et (**), S est cotiue sur D.. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

31 EXERCICE 9 aalyse Éocé exercice 9. Démotrer que la série z! est absolumet covergete pour tout z C.. O pose : z C, f (z) = = z!. Démotrer que : (z, z ) C, f (z) f (z ) = f (z + z ), sas utiliser le fait que f (z) = e z. 3. E déduire que : z C, f (z) et f (z) = f ( z). Corrigé exercice 9. Pour z =, la propriété est immédiate. Pour z, o pose u (z) = z!. O a u + (z) u (z) = z + <. Le critère de d Alembert assure alors l absolue covergece voulue.. Soit (z, z ) C. Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, ( ) z k z k Or k! ( k)! = z k z k = (z + z ).! k! k=( k= + ) ( z + ) z (z + z ) Doc =.!!! = = = C est-à-dire, o a bie f(z) f(z ) = f(z + z ). 3. Soit z C. ( + Puisque f(z) f( z) = f() =, o peut affirmer f(z) et = ) ( z +! = f(z) = f( z). ) (z ) =! = k= z k (z ) k k! ( k)!. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

32 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Doer la défiitio du rayo de covergece d ue série etière de la variable complexe.. Détermier le rayo de covergece de chacue des séries etières suivates : (a) (!) ()! z+. (b) ( ) z. Corrigé exercice. Soit a z ue série etière. Le rayo de covergece R de la série etière a z est l uique élémet de R + {+ } défii par : R = sup {r /(a r ) est borée}. O peut aussi défiir le rayo de covergece de la maière suivate :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a z coverge absolumet. ii) z C, z > R = a z diverge (grossièremet). R est le rayo de covergece de la série etière a z. Remarque : pour ue série etière de la variable réelle, la défiitio est idetique.. (a) Notos R le rayo de covergece de (!) ()! z+. O pose, N, z C, u (z) = (!) ()! z+. Pour z =, u () coverge. Pour z, u + (z) u (z) = z. Doc lim u + (z) + u (z) D après la règle de d Alembert, Pour z <, la série umérique u (z) coverge absolumet. Pour z >, la série umérique diverge grossièremet. O e déduit que R=. (b) Notos R le rayo de covergece de ( ) z. Posos, N, a = ( ). = z 4. O a, N, z C, a z z et le rayo de covergece de la série etière z vaut. Doc R. (*) De même, N, z C, z a z et le rayo de covergece de la série Doc R. (**) D après (*) et (**), R =. z vaut. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

33 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Doer la défiitio du rayo de covergece d ue série etière de la variable complexe.. Soit (a ) N ue suite borée telle que la série a diverge. Quel est le rayo de covergece de la série etière a z? Justifier. 3. Quel est le rayo de covergece de la série etière ( ) ( ) l ( + ) z? Corrigé exercice. Soit a z ue série etière. Le rayo de covergece R de la série etière a z est l uique élémet de R + {+ } défii par : R = sup {r /(a r ) est borée}. O peut aussi défiir le rayo de covergece de la maière suivate :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a z coverge absolumet. ii) z C, z > R = a z diverge (grossièremet). R est le rayo de covergece de la série etière a z. Pour ue série etière de la variable réelle, la défiitio est idetique.. La série umérique a z diverge pour z =. Doc R. (*) De plus, la suite (a ) N état borée doc la suite (a ) N est borée. Doc {r /(a r ) est borée}. Doc R. (**) D après (*) et (**), R =. 3. Notos R le rayo de covergece de O pose, N, a = ( ( ) ( ) l N, a l Or b ( + ) = b. ( ) ( ) l ( + ) z. + ). + et diverge doc b diverge. Doc, par critère de mioratio pour les séries à termes positifs, a diverge. (***) De plus, N, a = a ( l + ) car x [, + [, l( + x) x. Doc (a ) N est borée. (****) D après (***) et (****), o peut appliquer. et o e déduit que R =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 33

34 EXERCICE aalyse Éocé exercice. Que peut-o dire du rayo de covergece de la somme de deux séries etières? Le démotrer.. Développer e série etière au voisiage de, e précisat le rayo de covergece, la foctio f : x l ( + x) + l ( x). La série obteue coverge-t-elle pour x = 4? x =? x =?. Corrigé exercice. O ote R a et R b les rayos de covergece respectifs de a z et b z. O ote R est le rayo de covergece de la série etière somme de a z et b z, c est- à-dire le rayo de covergece de la série etière (a + b )z. O a toujours R mi(r a, R b ). De plus, si R a R b alors R = mi(r a, R b ). Preuve : O suppose par exemple que R a R b. Premier cas : R a =. R = mi(r a ; R b ). Deuxième cas : R a >. Soit z C tel que z < mi(r a, R b ) = R a. Comme z < R a, alors a z coverge absolumet. De même, comme z < R b, alors b z coverge absolumet. De plus, N, (a + b )z a z + [b z. (*) Or ( a z + [b z ) coverge car somme de deux séries covergetes. Doc, par critère de majoratio pour les séries à termes positifs et e utilisat (*), o e déduit que (a + b )z coverge, c est-à-dire (a + b )z coverge absolumet. Doc z D (O, R). O e déduit que R mi(r a, R b ). (**) O suppose maiteat que R a R b, c est-à-dire R a < R b. Soit z C tel que R a < z < R b. z < R b, doc b z coverge. z > R a, doc a z diverge. Doc (a + b )z diverge (somme d ue série covergete et d ue série divergete). O e déduit que z R. O a doc prouvé que z C, R a < z < R b z R. Doc R R a. C est-à-dire R mi(r a, R b ). (***) Doc, d après (**) et (***), R = mi(r a, R b ).. Pour x <, l( + x) = = ( ) x. Pour x < +, l( x) = x. = CC BY-NC-SA 3. FR Page 34

35 D après., le rayo de covergece de ( ) x vaut. Doc le domaie de validité du développemet e série etière à l origie de f cotiet [ coteu das, ]. Et, pour x < +, f(x) = ( ) x. = Pour x = 4 : la série etière ( ) x coverge car 4 <. Pour x = : ], [ et est la série etière ( ) x diverge car elle est la somme d ue série covergete ( appartiet au disque de covergece de la série etière ( ) x ) et d ue série divergete (série harmoique). Pour x = : la série etière ( ) x coverge comme somme de deux séries covergetes. E effet : D ue part, ( ) x. ( ) ( ) coverge car appartiet au disque de covergece de la série etière D autre part, ( ) = ( ) coverge d après le critère spécial des séries alterées ( la suite ( ) N est bie positive, décroissate et de limite ulle). CC BY-NC-SA 3. FR Page 35

36 EXERCICE 3 aalyse Éocé exercice 3 Soit (a ) N ue suite complexe telle que la suite ( ) a+ admet ue limite. a N. Démotrer que les séries etières a x et ( + )a + x ot le même rayo de covergece. O le ote R.. Démotrer que la foctio x Corrigé exercice 3 = a x est de classe C sur l itervalle ] R, R[.. Pour x, posos u (x) = a x et v (x) = ( + )a + x. a + O pose l = lim. a u + (x) v + (x) O a, alors, lim = l x et lim = l x. u (x) v (x) O e déduit que le rayo de covergece des deux séries etières a x et ( + )a + x vaut R = /l (avec R = + das le cas l = et R = das le cas l = + ).. Soit R le rayo de covergece de a z. O pose, N, z ] R, R[, f (z) = a z. Soit r [, R[. O pose D r = [ r, r]. i) f coverge simplemet sur D r. ii) N, f est de classe C sur D r. iii) D après., f est ue série etière de rayo de covergece R. Doc, d après le cours, f coverge ormalemet doc uiformémet sur tout compact iclus das ] R, R[, doc coverge uiformémet sur D r. O e déduit que r [, R[, S : x Doc, S est de classe C sur ] R, R[. = a x est de classe C sur D r. CC BY-NC-SA 3. FR Page 36

37 EXERCICE 4 aalyse Éocé exercice 4. Détermier le rayo de covergece de la série etière x ()!. O pose S(x) = = x ()!.. Doer le développemet e série etière e de la foctio x ch(x) et préciser le rayo de covergece. 3. (a) Détermier S(x). (b) O cosidère la foctio f défiie sur R par : Démotrer que f est de classe C sur R. Corrigé exercice 4. Pour x, posos u = x ()!. lim u + + u = lim + O e déduit que la série etière. x R, ch(x) = +. = f() =, f(x) = ch x si x >, f(x) = cos x si x <. x ( + )( + ) =. x ()! x ()! 3. (a) Pour x, o peut écrire x = t et alors S(x) = coverge pour tout x R et doc R = +. et le rayo de covergece du développemet e série etière de ch est égal à Pour x <, o peut écrire x = t et alors S(x) = x ()! = + = = = x + ()! = = t ()! = ch(t) = ch x. ( ) t ()! = cos(t) = cos x. (b) La foctio f est autre que la foctio S. S est de classe C sur R car développable e série etière à l origie avec u rayo de covergece égal à +. Doc f est de classe C sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 37

38 EXERCICE 5 aalyse Éocé exercice 5. Démotrer que, pour tout etier aturel, la foctio t + t + t est itégrable sur [, + [. e t + dt. Pour tout N, pose u = + t + t. Calculer lim e t u. + Corrigé exercice 5. f : t + t + t est défiie et cotiue par morceaux sur [, + [. e t De plus, t [, + [, f (t) + t = ϕ(t). Or ϕ(t) t et t est itégrable sur [, + [, doc ϕ est itégrable sur [, + [. t Doc, par critère de majoratio pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. Or f est cotiue sur [, ] doc f est itégrable sur [, + [. +. i) La suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f défiie par : + t si t [, [ f(t) = + e si t = si t ], + [ ii) Les foctios f et f sot cotiues par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, f (t) ϕ(t) avec ϕ itégrable sur [, + [. Alors, d après le théorème de covergece domiée, Or + Doc, f(t) dt = lim u = π + 4. dt + t = π 4. lim u = + lim + + f (t) dt = + f(t) dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 38

39 EXERCICE 6 aalyse Éocé exercice 6 Pour tout etier, o pose I =. Justifier que I est bie défiie. + ( + t ) dt.. Étudier la mootoie de la suite (I ) N et détermier sa limite. 3. La série ( ) I est-elle covergete? Corrigé exercice 6 Posos : N, t [, + [, f (t) = ( + t ).. N, f est cotiue sur [, + [. De plus, f (t) + t. Or, alors t est itégrable sur [, + [. t Doc, par règle d équivalece pour les foctios positives, f est itégrable sur [, + [. Or f est cotiue sur[, ], doc f est itégrable sur [, + [.. t [, + [, ( + t ) + ( + t ) car + t. Doc e itégrat, N, I + I. Doc (I ) N est décroissate. Remarque : (I ) N est décroissate et clairemet positive ce qui ous assure la covergece de la suite (I ) N. Détermios la limite de la suite (I ) N. i) N, f est cotiue par morceaux sur [, + [. ii) La suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f défiie sur [; + [ par : f() = et x ], + [, f(x) =. De plus, f est cotiue par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, N, u (t) = ϕ(t) avec ϕ itégrable sur [, + [. + t E effet, ϕ(t) t et t est itégrable sur [, + [, doc ϕ est itégrable sur [, + [. t Or ϕ est cotiue sur [, ], doc ϕ est itégrable sur [, + [. + Doc, d après le théorème de covergece domiée, lim I = + lim + + f (t) dt = + f(t) dt =. 3. D après les questios précédetes, la suite (I ) N est positive, décroissate et coverge vers. Doc, par applicatio du théorème spécial des séries alterées, o peut affirmer la covergece de la série ( ) I. CC BY-NC-SA 3. FR Page 39

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