T(p) = C(p). H(p) fonction de transfert de la chaîne directe en boucle ouverte. F( p) = V s ( p) V e ( p) fonction de transfert en boucle fermée.

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1 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / A22 - Correceurs analogiques ère parie : correcion d'un sysème du er ordre Bu : corriger un sysème du premier ordre (simulé par un réseau RC) à l'aide de correceurs P, I, PI, en echnologie analogique. R Soi un sysème élecrique don la foncion de ransfer H(p), du premier ordre, es connue : ) Eude du sysème en boucle ouvere a) Exprimer sous forme normalisée H(p) en foncion de la consane de emps τ du sysème. A.N. : calculer τ. - Réponse à un signal carré (réponse indicielle) : v r () = signal carré symérique, ampliude crêe à crêe v r = 2 V, f = 40 Hz. b) Imprimer (). Rapidié : mesurer le emps de réponse à 5% : r. Vérifier que : r 3τ. c) Précision : visualiser l erreur ε() = v r () () à l oscilloscope. Que vau (en vols) l'écar saique ε? En déduire sa valeur définie en pourcenage par : ε 0 = ε. v r - Réponse à un signal riangulaire : v r () = signal riangulaire symérique, v r = 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. ε d) Visualiser (). Y a--il erreur de pene? v r e)mesurer (en pourcenage) l erreur de raînage ε 02 = ε v r v r 0 kω 00 nf C Ce sysème es inséré dans une boucle de régulaion à reour uniaire, comprenan un correceur don la foncion de ransfer sera noée C(p). v e ε Schéma foncionnel : v r C(p) H(p) (p) V s (p) (p) = C(p). H(p) foncion de ransfer de la chaîne direce en boucle ouvere. F( p) = V s ( p) ( p) foncion de ransfer en boucle fermée. f) Schéma de principe du correceur : c'es un amplificaeur inverseur à gain réglable : Soi k le rappor de division de ension du poeniomère. En supposan que ce Z 2 poeniomère foncionne presque à vide, monrer que : ε C( p) = v r ε = k Z 2 Z Par la suie, on pose : = k (gain saique) Z Correceur }r }r k = v r r r + r

2 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 2 Réglage du gain saique : le réglage de k s effecuera à l aide d un ohmmère connecé enre le curseur du poeniomère (5 kω, 0 ours) e la masse. Pour cela, il ne fau pas que le poeniomère soi relié au rese du circui ôer momenanémen les cavaliers pour faire la mesure. Schéma comple de la maquee comparaeur + correceur ( : cavaliers) v e Comparaeur kω kω kω kω ε Z 00 kω R C Z 2 Correceur 00 kω R 2 emplacemen pour C 2 r k = r +r Remarque : pour éliminer le signe inrodui par l'amplificaeur inverseur, le comparaeur exécue en réalié l opéraion v e = ε pour visualiser l'erreur, il fau inverser l'enrée de l oscilloscope. 2) Correcion proporionnelle P : C(p) = Soi : R = R 2 = 00 kω ; on choisi = 5 k = 0,20. Monage comple (le câblage des masses n'es pas représené) : v r }r }r v e 00 kω GBF 00 kω ε R Comparaeur R 2 Correceur k v r R 0 kω Sysème 00 nf C osc. boucle de reour uniaire a) Exprimer (p). b) Exprimer F(p) en foncion de τ e. A.N. : calculer les valeurs du gain saique, noé F, e de la consane de emps, noée τ F, de F. Réponse à un signal carré (réponse indicielle) : v e () = signal carré symérique, v e = 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. c) Imprimer. Mesurer le emps de réponse à 5% : r. En déduire τ F. Comparer τ F à τ. d) Visualiser l erreur ε() à l oscilloscope. Mesurer (en vols) l'écar saique ε e exprimer celui-ci en pourcenage par : ε 0 = ε. Jusifier sa valeur. v e

3 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 3 e) Mesurer la dynamique admissible en enrée. La «dynamique d enrée» es le plus grand inervalle v e = v emax v emin de variaion possible de v e, en dehors duquel le sysème saure (sauraion de ε e/ou de vr : il fau visualiser ces deux ensions). v emin sorie dynamique d'enrée v emax sauraion enrée Réponse à un signal riangulaire : v e () = signal riangulaire symérique, v e = 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. f) Visualiser (). Que vau (en %) l erreur sur la pene p/p? Méhode de calcul : ε 02 v e v e /2 p e = v e 2 p s = 2 g) L erreur ε 02 en régime permanen es-elle finie ou infinie? p p = p e p s p e = v e Variaions de (par variaion de k) : Faire varier pour observer qualiaivemen commen varien le emps de réponse à 5% e la dynamique. 3) Correcion Inégrale I : a) On pose : = /k ; i = RC2.Exprimer C(p) en foncion de e i (schéma ci-conre). b) Exprimer (p). c) Donner l allure des diagrammes asympoiques de gain e de phase de (p). On pose : F i = /2π i (fréquence propre du correceur) e F s = /2πτ (fréquence propre du sysème). Indiquer les valeurs numériques de F i e F s sur ces diagrammes. Z 00 kω R Z 2 C 2 = 00 nf d) Calculer pour avoir une "marge de phase" de 45 (suivre explicaions en séance). e) Exprimer F(p) ; en déduire les expressions de m e τ 0 en foncion de i, e τ. Α.Ν Rappel : foncion de ransfer principale du second ordre : + 2mτ 0 p + τ 2 0 p 2 k

4 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 4 Régler le rappor k pour avoir = 0 (rappel : k = /). Réponse à un signal carré : v e () : signal carré symérique, 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. f) Imprimer. Mesurer le dépassemen (en %). Déerminer le emps de réponse à 5% : r. Jusifier les valeurs mesurées (voir formulaire, cours A4). g) Visualiser l erreur. En déduire la valeur de ε 0. Conclusion? h) Mesurer la dynamique d enrée. Réponse à un signal riangulaire : v e () : signal riangulaire symérique, 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. i) Visualiser la ension de sorie : y a--il une erreur de pene? j) Mesurer l erreur ε 02 = ε v e. Conclusion. Variaions de (par variaion de k) : Visualiser la réponse à un signal carré en faisan varier. Conclusion. 4) Correcion Proporionnelle Inégrale PI a) On pose : = /k ; i = RC2.Expimer C(p) en foncion de e i (schéma ci-conre). b) On choisi un réglage pariculier e simple : i = τ. Exprimer (p). A.N. : calculer C 2 e k pour avoir = 5 c) Exprimer F(p) en foncion de τ e. A.N. : calculer les valeurs du gain saique, noé F, e de la consane de emps, noée τ F, de F.. Z 00 kω R Z 2 00 kω R 2 Réponse à un signal carré : v e () : signal carré symérique, 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. d) Imprimer. Déerminer le emps de réponse à 5% : r. Mesurer le dépassemen. Jusifier les valeurs mesurées. e) Visualiser l erreur. En déduire la valeur de ε 0. Conclusion? f) Eudier la dynamique d enrée (visualiser la sorie du correceur). Réponse à un signal riangulaire : v e () : signal riangulaire symérique, 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. g) Visualiser la ension de sorie : y a--il une erreur de pene? h) Visualiser l erreur : conclusion sur ε 02. C 2 k quesion correceur emps de réponse er o. - er o. -2 er o. -3 er o. -4 boucle ouvere correceur P correceur I correceur PI ableau récapiulaif erreur saique dynamique dépassemen erreur de pene erreur de raînage r (ms) ε0 (%) Ve (v) D (%) p/p (%) ε02 (%)

5 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 5 2ème parie : correcion d'un sysème du 2ème ordre Bu : corriger un sysème du deuxième ordre (simulé par deux réseaux RC) à l'aide de correceurs PI e PID en echnologie analogique. On connece mainenan le réseau R'C' pour consiuer un sysème du deuxième ordre : v r R R 0 kω 200 kω 00 nf C nf C ) Eude du sysème en boucle ouvere a) On suppose que le couran délivré par la première cellule RC vers la seconde R'C' es négligeable : par conséquen, la première cellule n'es pas chargée e foncionne à vide. Exprimer H(p) en foncion des consanes de emps τ e τ du sysème. A.N. : calculer τ e τ. En déduire les expressions de m e τ 0. Applicaion numérique. Réponse à un signal carré (réponse indicielle) : v r () = signal carré symérique, v r = 2 V crêe à crêe, f = 50 Hz. b) Imprimer. Rapidié : mesurer le emps de réponse à 5% : r. c) Précision : visualiser l erreur ε() = v r () () à l oscilloscope. Que vau (en vols) l'écar saique ε? En déduire sa valeur définie en pourcenage par : ε 0 = ε. v r Remarque : pour que l'impédance d'enrée de l'oscilloscope (qui équivau à une résisance de MΩ en parallèle avec un condensaeur de 20 pf) n'influe pas sur le comporemen du sysème, on uilise un amplificaeur suiveur comme adapaeur d'impédance : R 0 kω R 200 kω v r C 00 nf C nf MΩ 20 pf Réponse à un signal riangulaire : v r () = signal riangulaire symérique, v r = 2V crêe à crêe, f = 40 Hz. e) Visualiser (). Mesurer l'erreur de pene. f) Que vau l erreur de raînage ε 02? 2) Correcion Proporionnelle : C(p) = 5 Soi : R = R 2 = 00 kω ; k = 0,2. a) Exprimer F(p) e en déduire les expressions de m e τ 0. Applicaion numérique.

6 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 6 Réponse à un signal carré : v e () : signal carré symérique, V crêe à crêe, f = 50 Hz. b) Imprimer. Mesurer le dépassemen D (en %). Mesurer le emps de réponse à 5% : r. c) Visualiser l erreur ε e indiquer sa valeur (en %) en régime permanen : ε 0 = ε. v e d) Mesurer la dynamique en enrée. Réponse à un signal riangulaire : v e () : signal riangulaire symérique, V crêe à crêe, f = 50 Hz. e) Visualiser (). Y a--il erreur de pene? f) Visualiser ε. Conclusion sur ε 02? 3) Correcion Proporionnelle e Inégrale PI : C( p) = + i p Le correceur es réalisé comme précédemmen (ère parie, quesion 3d) : R = R 2 = 00 kω ; C 2 = 0 nf. a) On choisi d éliminer la consane de emps la plus longue : on prend donc i = τ. Exprimer (p) dans ces condiions. b) Donner l allure du diagramme asympoique de gain de (p). Calculer pour avoir une marge de phase de 45 (même méhode de calcul qu'au 3 - ère parie). c) Exprimer F(p) ; en déduire les expressions de m e τ 0 en foncion de i, e τ'. Α.Ν. Calculer la valeur à donner à k. Régler k. Réponse à un signal carré : v e () : signal carré symérique, V crêe à crêe, f = 50 Hz. d) Imprimer. Mesurer le dépassemen D (en %). Déerminer le emps de réponse à 5% : r. e) Visualiser l erreur. En déduire la valeur de ε 0. f) Mesurer la dynamique d enrée. Réponse à un signal riangulaire :v e () : signal riangulaire symérique, V crêe à crêe, f = 50 Hz. g) Visualiser la ension de sorie : y a--il une erreur de pene? h) Visualiser l erreur : conclusion sur ε 02.

7 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 7 4) Correcion Proporionnelle Inégrale e Dérivée PID a) Exprimer C(p) en foncion de, R, R2, C, C2. Monrer que C(p) a la forme de la foncion de ransfer d'un régulaeur PID à srucure série: C( p) = ( + d p) + i p (On choisi un réglage simple : d = R C = τ e i = R 2 C 2 = τ, ainsi que : = 2,5. A. N. : Calculer C, C 2 e k. b) Exprimer (p). c) Exprimer F(p). A.N. : calculer son gain saique F e sa consane de emps τ F. Z 00 kω R C Z 2 00 kω R 2 C 2 k Réponse à un signal carré : v e () : signal carré symérique, f = 50 Hz. d) Mesurer la dynamique d enrée. Consaer que dans ce mode de correcion le correceur ravaille presque oujours en ou ou rien en débu de correcion : expliquer pourquoi. En déduire le choix d une valeur convenable de l ampliude crêe à crêe de ve pour qu il n y ai pas sauraion. e) Imprimer. Mesurer le emps de réponse à 5% : r. Mesurer le dépassemen. Jusifier. f) Visualiser l erreur. En déduire la valeur de ε 0. Conclusion? Réponse à un signal riangulaire : v e () : signal riangulaire symérique, ampliude crêe à crêe sans changemen, f = 50 Hz. g) Visualiser la ension de sorie : y a--il une erreur de pene? h) Visualiser l erreur : conclusion sur ε 02. Variaions de k : En agissan sur k, observer qualiaivemen le comporemen du régulaeur. Conclusion. quesion correceur emps réponse 2ème o. - 2ème o. -2 2ème o. -3 2ème o. -4 boucle ouvere correceur P correceur PI correceur PID ableau récapiulaif erreur saique dynamique dépassemen erreur de pene erreur de raînage r (ms) ε0 (%) Ve (v) D (%) p/p (%) ε02 (%)

8 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 8 3ème parie : Inégraeur Bu : procédure de déerminaion des paramères caracérisiques (gain saique e consane de emps) d'un correceur proporionnel e inégral. ) Inégraeur pur : acion sur un signal carré +A v e 2 v e 0 A 2 R 0kΩ C 0,µF 0kΩ 0kΩ On pose : v e () = A pour / 2 < < 0 e v e () = +A pour 0 < < / 2. Mesure : v e () es un signal carré symérique d'ampliude crêe A = 0,2 de fréquence 20 Hz. Observer le signal de sorie (), en agissan évenuellemen sur l'offse du GBF pour essayer d'éliminer oue composane coninue de v e. Que consae--on? Opimisaion du foncionnemen du monage : On veu limier le gain en ension coninu à V s max = 300 à l'aide d'une résisance r i connecée en parallèle avec le condensaeur : r i. a) Calculer r i (rappel : l'impédance du condensaeur en coninu es infinie). Expérimener. Conclusion. b) Eablir la foncion de ransfer V s c) Calculer la fréquence pour laquelle V s ( jω) de l'inégraeur pur (sans r i ). fréquence de l'inégraeur muni de sa résisance r i. d) racer dans le plan de Bode le diagramme asympoique de gain. = 300. En déduire la plage de foncionnemen en Calculs liéraux : a) Eablir l'expression de l'équaion différenielle qui lie v e () e (). On pose : τ i = R C. b) En déduire l'expression des réponses () lorsque v e () = +A e v e () = A. (on suppose que la consane d'inégraion es nulle).

9 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 9 2) Applicaion : procédure de déerminaion des caracérisiques d'un correceur PI On modifie le monage comme indiqué sur le schéma. Mesure : appliquer un signal carré idenique au signal uilisé plus hau. Relever () (imprimer l'oscillogramme sur feuille A4). r i R 0kΩ R 2 00kΩ C 0,µF 0kΩ 0kΩ Calculs liéraux : a) Monrer que la foncion de ransfer de ce circui s'écri (avec p = jω) : V s ( p) = V i +. e τ i p NB : dans ce calcul, négliger r i. b) En déduire (par changemen p. d ) l'équaion différenielle qui lie v e () e (). c) En déduire l'expression des réponses () lorsque v e () = +A e v e () = A. (on suppose que la consane d'inégraion es nulle). 0+ d) Calculer (0 ) e (0 + ). En déduire = vs (0 + ) (0 ), variaion insananée de la ension de sorie en = 0. 2τ [ ] i 0+ e) Calculer + (2τ i ). En déduire = 0 + e = 2τ i. [ ] 0 = vs (2τ i ) (0 + ), variaion de la ension de sorie enre Exploiaion des mesures : on veu mesurer i e τ i : f) Des quesions d) e e) déduire une procédure de mesure de 2τ i, donc de τ i, à parir du relevé effecué précédemmen. g) Connaissan l'ampliude A, en déduire la mesure de i.

10 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 0 4ème parie : dérivaeur Bu : procédure de déerminaion des paramères caracérisiques (gain saique e consane de emps) d'un correceur proporionnel e dérivée. ) Dérivaeur pur : acion sur un signal riangulaire R 2 v e +A C 00kΩ 0kΩ 0kΩ 0,µF 2 0 A 2 inverseur de gain unié pour changer le signe Mesure : v e () es un signal riangulaire symérique d'ampliude crêe A = 2 de fréquence 20 Hz. Relever le signal de sorie (). Calculs liéraux : a) Eablir l'expression de l'équaion différenielle qui lie v e () e (). On pose : τ d = R 2 C. b) On pose : v e () = a + b pour / 2 < < 0 e v e+ () = a + b pour 0 < < / 2. Exprimer a e b en foncion de A e. c) Calculer les réponses () pour / 2 < < 0 e + () pour 0 < < / 2. Opimisaion du signal de sorie : Sur le relevé précéden, on remarque la présence d'un brui haue fréquence imporan. Pour réduire ce brui, on limie le gain en ension HF à V s = 200 à l'aide d'une résisance r d connecée en série avec le condensaeur : r d a) Calculer r d (rappel : en HF, l'impédance du condensaeur es négligeable). Expérimener. Conclusion. b) Eablir la foncion de ransfer V s c) Calculer la fréquence pour laquelle V s max ( jω) du dérivaeur pur (sans r d ). fréquence du dérivaeur muni de sa résisance r d. d) racer dans le plan de Bode le diagramme asympoique de gain. = 200. En déduire la plage de foncionnemen en

11 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 2) Applicaion : procédure de déerminaion des caracérisiques d'un correceur PD On modifie le monage comme indiqué sur le schéma. R R 2 00kΩ 00kΩ 0kΩ C 0,µF 0kΩ Mesure : appliquer un signal riangulaire idenique au signal uilisé plus hau. Relever () (imprimer l'oscillogramme sur feuille A4). Calculs liéraux : a) Monrer que la foncion de ransfer de ce circui s'écri (avec p = jω) : V s ( p) = d (+ τ d p). b) En déduire (par changemen p d. d ) l'équaion différenielle qui lie v e() e (). c) Calculer les réponses () pour / 2 < < 0 e + () pour 0 < < / d) Calculer (0) e + (0). En déduire = vs+ (0) (0), variaion insananée de la ension de sorie en = 0. [ ] 0+ e) Calculer + (2τ d ). En déduire enre = 0 + e = 2τ d. 2τ d [ ] 0 = vs+ (2τ d ) + (0), variaion de la ension de sorie Exploiaion des mesures : on veu mesurer d e τ d : f) Des quesions d) e e) déduire une procédure de mesure de 2τ d, donc de τ d, à parir du relevé effecué précédemmen. g) Connaissan la pene a, en déduire la mesure de d.

12 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 2 Commenaires Bu : corriger un sysème (du premier ou du second ordre) pour que celui-ci réponde de façon plus rapide aux solliciaions d'enrée (échelon ou rampe) ou en resan sable e sans apporer d'erreur saique. ) Eude du sysème en boucle ouvere ère parie : correcion d'un sysème du er ordre a En appliquan la règle du pon diviseur de ension, il vien : H( jω) = V s jcω = V r R + = + jrcω H ( p) = + τp ; avec τ = RC = = ms jcω Rappel (voir chapire A4) : Réponse (héorique) à l'échelon unié : = e τ b r = 3τ = 3 ms c ε 0 = 0. Il n'y a pas d'erreur saique car H(0) = V s = V r à fréquence nulle, c'es à dire en couran coninu (en régime saique, ω ou f = 0). d p/p = 0 (pas d'erreur de pene) e ε 02 8 % r ms f On suppose que le couran i p qui raverse le poeniomère es rès supérieur au couran i 2 raversan l'impédance Z 2 : ce poeniomère foncionne presque à vide. Sa ension de sorie au nivau de son curseur vau donc kv r, où k es le rappor de division de ension. ε Z i i 2 Z 2 k = kv r i 2 i p i p r r + r }r }r v r La méhode de calcul usuelle du gain du monage inverseur par la loi des nœuds s'applique ici en subsiuan kv r à v r : i + i 2 = 0 ε + kv r = 0 C( jω) = Z Z 2 k. Z 2 soi encore : C( p) = Z 2 ( p) Z Z ( p)

13 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 3 2) Correcion proporionnelle P : C(p) = = 5 2a Chaîne direce : = C.H = + τp 2b Calcul de la foncion de ransfer en boucle fermée F(p) d'un sysème à reour uniaire : (p) ε F = + = (p) V s (p) V s =.ε = (Vs ) (+ )V s =. F = V s = Applicaion : on calcule F en facorisan le dénominaeur de son expression par + : + τp + + τp = ++ τp = + + F = τ + τ p F p + τ F F + avec F = + = 5 6 = 0,83 (gain saique) e τ F = τ + = τ = 0,67 ms (consane de emps). 6 τ Rappel : réponse à l'échelon unié : = F e F = 5 6 ( e 6x) ε 0 r ms 2c r = 3τ = 0,5 ms 2d En régime saique, par définiion, la fréquence es nulle, donc ω = 0 e p = 0 : la foncion de ransfer devien : F = V s = V F e On en dédui l'erreur relaive commise sur l'ampliude du signal de sorie par rappor à l'ampliude v e du signal d'enrée : ε 0 = ε = v e = v e v F = 5 e 6 = 6 =7% 2e v emax = 2,5 V (plus grand échelon de ension possible avan sauraion du correceur) 2f p/p = 7 % (NB : valeur idenique à ε 0 ) 2g ε 02 = (plus exacemen, l'écar enre v e e endrai vers l'infini si ces signaux n'éaien pas périodique, puisque les penes ne son pas égales) Conclusion : Le sysème en boucle fermée répond plus rapidemen qu'en boucle ouvere (emps de réponse divisé par 6) mais inrodui un écar saique imporan (7% d'erreur).

14 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 4 3) Correcion Inégrale I : 3a D'après la formule obenus au paragraphe, il vien : C = Z 2 = Z R C 2 p = i p avec i = R C 2 = 0 ms 3b = C.H = i p + τp 3c On pose : F s = (sysème) = 59 Hz 2πτ F i = 2π i (correceur)= 5,9 Hz Donc s'écri encore, en noaion complexe : = j f + j f F i F s D'où l'on dédui le gain en db de la foncion : G = 20log = 20log 20log f 20log+ j f F i F s 3d On consae que cee foncion es une foncion du second ordre pour f F s. Or on sai qu'un sysème en boucle fermée es sable si e seulemen si son gain en valeur linéaire es (ou, en décibels : G 0 db) dans le bande de fréquence où le sysème ravaille en 2 ordre (ici pour f F s ). Il fau donc limier le gain saique à une ceraine valeur elle que G 0 pour f F s. Pour déerminer on considère le gain de la foncion : G = 20 log = 20log f F i 20log+ j f F s (NB : dans ce qui sui, pour simplifier, on se limie au diagramme asympoique de cee foncion). D'après ce qui précède on peu relever ce diagramme d'une quanié égale à 20log elle que : G = 20log + G 0 pour f F s soi, en effecuan ce calcul à parir de l'asympoe du er ordre au poin d'abscisse f = F s : 20 log 20 log f 0 F s = i F i F i τ = 0 On règle donc le poeniomère du correceur à la valeur k = / = 0,, ce qui augmene le gain de : G = 20 log 0 = 20 db Remarque : au diagramme asympoique de gain correspond le diagramme asympoique de phase el qu'en f = F s il exise une marge de 45 enre ce diagramme e l'asympoe à 80. Or on sai qu'audelà d'un déphasage de 80 inrodui par le sysème en boucle fermée celui-ci peu devenir insable. Cee condiion de sabilié (marge de phase 45 ) es équivalene à la condiion précédene (marge de gain). Mais comme la valeur de cee marge de phase (45 ) es oujours la même quelque soi le sysème considéré, il es d'usage de parler de "marge de phase à 45 " alors que le réglage s'effecue d'après un calcul sur la marge de gain.

15 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 5 G -6dB/oc 0 db F i Fs f 20log F s F i 20log f F i +20log : marge de gain ϕ dB/dec 45 : marge de phase f 3e F = + = i p + τp + = + i i p + τp p + i τ p2 Par idenificaion avec la foncion de ransfer principale du second ordre, il vien : τ 0 = i τ = ms F = + 2mτ 0 p + τ 2 0 p 2 m = i 2 τ = 0,5 m τ Rappel : réponse à l'échelon unié (m < ) : = e 0 cos m 2 m + sin m2 τ 0 2 m τ 0 D % 3f mesures : r = 5,28 ms ; D = 6 % NB : vérificaion par calcul : D = e 3g ε 0 = 0 % πm m 2 = 0,6 3h v e = 3 V ; 3i p/p = 0 % ; 3j ε 02 8 % Conclusion : La correcion inégrale pure supprime l'écar saique, au prix d'un emps de réponse excessif qui ne correspond plus au bu recherché. r ms

16 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 6 4) Correcion Proporionnelle Inégrale PI 4a En sachan que C = Z 2 Z e que R = R 2, il vien : R 2 + C C = 2 p = + = + = i p R R C 2 p i p + i p 4b i = τ = C.H = i p + i p + τp = τp i = R C 2 = τ C 2 = 0 nf = 5 k = 0,2 4c En facorisan par : F = + = τp + = + τ p τp τ F τ F = τ/ = 0,2 ms F = τ rappel : réponse à léchelon unié : = e F = e 5x r 4d r = 3τ = 0,6 ms D = 0 % 4e ε 0 = 0 % 4f v e = 2,5 V ; 4g p/p = 0 % ; 4h ε 02 % ms Conclusion : La correcion PI donne au sysème en boucle fermée une foncion de ransfer du premier ordre de gain saique unié. Le sysème es donc inrinsèquemen sable (er ordre) e sans erreur saique ( F = ). En oure le cahier des charges es bien respecé cee fois, puisque le emps de réponse s'en rouve divisé par 5.

17 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 7 2ème parie : correcion d'un sysème du 2ème ordre ) Eude du sysème en boucle ouvere a Calcul simplifié : applicaion de la règle du pon diviseur de ension si l'on suppose que le couran issue du circui RC es négligeable : R R H = V s = V s. V i = 0 0 kω 200 kω i V r V i V V r e C V i C V s 00 nf V s = V i + RCp = + τp H = V i = V r + R C p = (+ τp)(+ τ p) = + ( τ + τ ) p + τ τ p 2 + τ p Avec τ = RC = ms e τ' = R'C' = 0,2 ms. Par idenificaion, il vien : τ 0 = τ τ = 0,447 ms H = + 2mτ 0 p + τ 2 0 p 2 m = τ + τ 2 τ τ =,34 Calcul exac : si l'on ien compe du couran débié par la première cellule RC dans la seconde, on obien la relaion (démonsraion complèe : voir P A25 page 5) : nf H = Z (+ Z 4 Y 2 )(+ Z 3 Y ) + Z 4 Y 4 Z 3 V r Z 2 V i Z V s Avec : Z 4 = R ; Z 3 = R' ; Y 2 = Cp ; Y = C'p. D'où, en posan τ" = RC' = 0,0 ms : H = (+ RCp)(+ R C p) + R C p = + (τ + τ + τ )p + τ τ p 2 Après idenificaion, on consae que la fréquence propre du sysème n'es pas modifiée (τ 0 sans changemen), mais que l'amorissemen exac es : m = τ + τ + τ =,35 2 τ τ On vérifie que la différence consaée avec la valeur obenue de façon approchée es négligeable. m τ Rappel : réponse à l'échelon unié (m > ) : = e 0 ch m 2 m + sh m 2 τ 0 m 2 τ 0 b r = 3,2 ms ; c ε 0 = 0 ; d p/p = 0 ; e ε 02 9 % r ms

18 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 8 2) Correcion Proporionnelle : C(p) = 5 2a = C.H = (+ τp)(+ τ p) = + (τ + τ ) p + τ τ p 2 avec = 5 F = + = + (τ + τ ) p + τ τ p 2 = + + (τ + τ ) p + τ τ p (τ + τ ) p + τ τ p 2 F = + + τ + τ + p + τ τ (après facorisaion par + ) + p2 Par idenificaion avec la forme canonique + 2mτ 0 p + τ 2, il vien : 2 0 p F = + = 5 6 = 0,83 τ τ τ 0 = + = τ τ = 0,826 ms 6 m = τ + τ 2 ( + )τ τ = τ + τ = 0, τ τ m τ Rappel : réponse à l'échelon unié (m < ) : = e 0 cos m 2 + τ 0 m sin m2 2 m τ 0 D % ε 0 r ms L'inroducion d'un correceur P améliore la rapidié du sysème mais inrodui un écar saique e un dépassemen : 2c r = 0,95 ms ; D = 3 % NB : vérificaion par calcul : D = e 2d ε 0 = 7 % πm m 2 = 0,3 NB : vérificaion par calcul : ε 0 = F = 5 6 = 6 0,7 2e v e = 2,5 V ; 2f p/p = 7 % ; 2g ε 02 =

19 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 9 3) Correcion Proporionnelle e Inégrale PI Eude héorique 3a C( p) = + = + i p i p i p = C.H = + i p i p (+ τp)(+ τ p) On choisi i = τ = après simplificaion par + τp τp + τ p 3b diagramme asympoique e méhode de calcul : voir premère parie, 3. F i = F s = = 59 Hz 2πτ F s = = 796 Hz 2π τ F' s = τ F s τ = 5 k = 0,2 G = 20 log 5 = 4 db 3c F = + = τp + τ p + = + τ τp + τ p p + τ τ p2 Après idenificaion avec la forme + 2mτ 0 p + τ 2, il vien : 2 0 p F = m = 2 τ 0 = τ τ τ τ' = 0,5 = 0,2 ms D % r ms L'inroducion d'un correceur PI supprime l'écar saique mais n'élimine pas le dépassemen : 3f r =,05 ms ; D = 6 % NB : vérificaion par calcul : D = e 3g ε 0 = 0 % 3h v e = 2 V ; 3i p/p = 0 % ; 3j ε 02 = 2 % πm m 2 = 0,6

20 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 20 4) Correcion Proporionnelle Inégrale e Dérivée PID 4a Rappel : C( p) = Z 2 ( p) Z ( p) = + C Z R p = + R C p R Z 2 = R 2 + C 2 p = + R 2 C 2 p C 2 p C = + R C p. + R 2 C 2 p = (+ R R C 2 p C p) + R 2 C 2 p car R = R 2 R 2 C 2 p C(p) es donc bien de la forme ( + d p) +, avec : i p d = R C = τ = ms C = 0 nf i = R 2 C 2 = τ' = 0,2 ms C 2 = 2 nf e = 2,5 k = 0,4 4b = C.H = ( + d p) + i p i p (+ τp)(+ τ p) = après simplificaions τ p 4c F = + = + τ p F = τ F = 0,08 ms r L'inroducion du correceur PID élimine l'écar saique e le dépassemen ou en permean une réponse rès rapide. On consae qu'aux fréquences proposées (40 à 50 Hz) un signal carré raverse la double cellule RC praiquemen sans déformaion! Mais cee performance implique un signal réglan v r de rès grande ampliude, ce qui limie considérablemen la dynamique d'enrée v e. 4d r = 0,24 ms D = 0 % 4e ε 0 = 0 % 4f v e = 0,3 V ; 4g p/p = 0 % ; 4h ε 02 = 0,8 % ms

21 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 2 Remarque générale : dans ce qui précède, les différenes réponses à une rampe n'on pas éé déaillées. En valeur absolue, l'erreur ε 02 es mesurée comme indiqué ci-dessous lorsqu'il n'y a pas d'erreur de pene - sinon on la considère comme infinie. ε 02 dépend de l'ampliude du signal riangulaire uilisé pour simuler la rampe si on calcule ε 02 en valeur relaive (%) par rappor à cee ampliude. écar saique ε 02 = erreur de raînage rampe réponse d'un sysème du er ordre réponse d'un sysème du 2ème ordre

22 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 22 3ème parie : Inégraeur I- Inéraeur pur : acion sur un signal carré τ i = R C = ms a) Amélioraion du foncionnemen du monage : r i /R = 300 r i = 3 MΩ b) V s = jτ i ω c) V s = = 300 0,53 Hz < f < τ i ω G d) 20log300 = 50dB Calculs liéraux : a) = v τ e d avec τ i = R C = ms ; i 0 b) v e = A () = A τ i e v e = +A + ( ) = A τ i 0,5 Hz 2πτ i = 60Hz f avec : A τ i = 200 V/s. 2) Applicaion : éude d'un correceur proporionnel e inégral Calculs liéraux : a) V s b) V s ( jω) = R 2 (+ R R 2 Cjω ) i = R 2 R =0 ; τ i = R 2 C = 0ms ( p) = i (+ τ d p ) = i v e + i τ i c) v e = A () = i A i A τ i 0 v e d d) (0) = i A+ c e + (0) = i A+ c e) + (2τ i ) = i A + 2 i A τ i ; v e = +A () = i A+ i A [ ] 0 2τ τ i [ ] i 0 = 2 i A τ τ i i [ ] 0 = f) Sur le graphe on cherche l'insan où 0+ [ ] 0 g) i = 2A 0+ = 2i A [ ] 0 τ i 0+. Ce insan es : = 2τi c v e +A 2 0 A 2τ i 2

23 G. Pinson - Physique Appliquée Correceurs analogiques A22-P / 23 4ème parie : Dérivaeur ) Dérivaeur pur : acion sur un signal riangulaire Calculs liéraux : dv a) = τ e d avec τ d = R 2 C = 0 ms ; d b) v e () = 4 A A e v e+ ( ) = 4 A A avec : = /20 = 50 ms a = 60 V/s e b = 2V ; c) = ± aτ = ±,6 V. 2 v e +A 0 A 2 Opimisaion du signal de sorie : G 20log200 = 46dB R 2 / r d = 200 r d = 500 Ω V s = jτ d ω V s = τ d ω = < f < 200 2πτ d = 3200Hz 2πτ d =6Hz f 3200 Hz 2) Applicaion : procédure de déerminaion des caracérisiques d'un correceur PD Calculs liéraux : a) V s ( jω) = R 2 (+ R R Cjω) d = R 2 = ; τ R d = R C = 0ms dv ( p) = d (+ τ d p) = d v e + d τ e d d b) V s c) v e = a + b () = d a + d b d τ d a ; v e = +a + b + ( ) = d a + d b + d τ d a [ ] 0 d) (0) = d b d τ d a e + (0) = d b + d τ d a 2τ e) + (2τ d ) = d b + 3 d τ d a [ ] d 0 = 2d τ d a f) Sur le graphe on cherche l'insan où : 0+ [ ] 0 = [ ] 0. Ce insan es : = 2τ d 0+ [ ] 0 g) d = 2τ d a 0+ = 2d τ d a 2 v e +A A 0 2τ d 2