CALCULS NUMÉRIQUES CALCUL LITTÉRAL ARITHMÉTIQUE. ( 10 ) m p = 10 m p $ 10 n = 0,00...0!" # $# 1 avec n zéros. 10 m 10 p = 10 m+ p 10 m

Transcription

1 CLCULS NUMÉRIQUES CLCUL LITTÉRL Frctions Distributivité D + b D = + b D Puissnces D b D = b D b c d = c b d b : c d = b d c k ( + b ) = k + kb k ( - b ) = k - kb ( + b ) k = k + bk ( - b ) k = k - bk n = x x x x x vec n fcteurs On dit que 1 = 1 est l inverse de. Double distributivité 1 = 0 = 1 0 n = 0 1 n = 1 De fçon générle : n = 1 n Les puissnces de n = 10!### "### $ vec n fcteurs10 L nottion scientifique : 7,328 x n = 0,00...0!" # $# 1 vec n zéros Nombre compris entre 1 et 10 (10 exclu) x une puissnce de m 10 p = 10 m+ p 10 m 10 = p 10m p ( 10 ) m p = 10 m p Identités remrqubles ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( - b) 2 = 2-2b + b 2 ( + b)( - b) = 2 - b 2 Divisibilité RITHMÉTIQUE Eqution et inéqutions Exemples : Résoudre l éqution : Résoudre l éqution : Résoudre l inéqution : Un nombre entier est divisible : - pr 2, si son chiffre des unités est pir, - pr 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - pr 10, si son chiffre des unités est 0, - pr 3, si l somme de ses chiffres est divisible pr 3, - pr 9, si l somme de ses chiffres est divisible pr 9. Nombres premiers, nombres premiers entre eux Un nombre est premier s il possède exctement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Décomposition en fcteurs premiers : 20 = 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en produits de fcteurs premiers. En effet, chque fcteur de l décomposition est un nombre premier. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de fcteurs premiers. Cette décomposition est unique à l ordre des fcteurs près. 2( x + 3) = ( x + 3) 2x + 6 = x 3 2x x = (4x + 6)(3-7x) = 0 Si un produit de fcteur est nul, lors l un u moins des fcteurs est nul. 4x + 6 = 0 ou S = 3 2 ; 3 7 2( x 4) 4x 5 2x 8 4x 5 2x 4x 8 5 2x 3 x 3 2 On divise pr un nombre négtif donc on chnge le sens de l inéglité. Les solutions sont tous les nombres supérieurs à Définition : On dit qu une frction est irréductible, lorsque son numérteur et son dénominteur sont premiers entre eux.

2 Nottions FONCTIONS est ppelée une fonction. C est une «mchine» mthémtique qui, à un nombre donné, fit correspondre un utre nombre. Nombre de déprt! Nombre correspondnt On note : f : x! 5x x 2 ou f (x) = 5x x 2 Imges et ntécédents Si f (1) = 4, on dit que : - l imge de 1 pr l fonction f est 4. - un ntécédent de 4 pr f est 1. Fonctions ffines f x 5x x 2 et b étnt deux nombres fixés x x + b est ppelée fonction ffine x x est ppelée fonction linéire x b est ppelée fonction constnte. Une fonction linéire est une fonction ffine où b = 0. PROILITÉS L probbilité d un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime «l chnce qu un évènement de se produire». Propriété : L probbilité d un évènement est P() = L'événement contrire de, noté, est l'ensemble de toutes les issues de n'pprtennt ps à. On : P Moyenne pondérée m = Médine ( ) = 1 P ( ) STTISTIQUES = = 13,6 Pour déterminer une médine, il fut ordonner l série. L médine prtge l effectif en deux. Exemple 1 : Nombre d issues fvorbles Nombre d issues totl Propriétés : 1) Toute fonction ffine est représentée pr une droite. 2) Une fonction linéire est représentée pr une droite pssnt pr l origine. 3) Une fonction constnte est représentée pr une droite prllèle à l xe des bscisses. 5 données 5 données Exemple 2 : méd = ( ) : 2 = 12,5 L droite (d) représentnt l fonction f définie pr f(x) = x + b pour coefficient directeur et pour ordonnée à l origine b. Propriété des ccroissements : Si (x ; y ) et (x ; y ) sont deux points de l droite (d) représentnt l fonction f définie pr : f(x) = x + b lors : 4 données 4 données méd = 12 Etendue L étendue est l différence entre l plus grnde vleur de l série et l plus petite. = y y x x Propriétés : - ugmenter un nombre de N% revient à le multiplier pr 1+ N Diminuer un nombre de N% revient à le multiplier pr 1 N 100.

3 NGLES ET TRINGLES SEMLLES ngles lternes-internes Théorème de Thlès THÉORÈME DE THLÈS Si deux droites sont prllèles lors les ngles lternes-internes reposnt sur ces droites sont égux. Dns un tringle C, où [] et C [C] si ( C )//(C) lors = C ' C = 'C ' C Dns un tringle C, où () et C (C) si ( C )//(C) lors = C ' C = 'C ' C Si deux ngles lternes-internes sont égux lors les droites sur lesquelles ils reposent sont prllèles. C C Tringles semblbles On ppelle tringles semblbles des tringles qui ont des ngles deux à deux égux. Propriété : Si deux tringles sont semblbles lors les longueurs des côtés de l un sont proportionnelles ux longueurs des côtés de l utre. THÉORÈME DE PYTHGORE L églité de Pythgore : Un tringle rectngle est un tringle dont le crré de l hypoténuse est égl à l somme des crrés des deux utres côtés. Comment retenir le théorème de Thlès? C et C sont deux tringles en sitution de Thlès ; ils ont un sommet commun, et deux côtés prllèles ( C ) et (C). Un tringle est un «grndissement» de l utre. On dit que les deux tringles sont semblbles. Ils ont en effet des côtés deux à deux proportionnels. = C ' C = 'C ' C 1ers côtés 2èmes côtés 3èmes côtés Le petit tringle C Le grnd tringle C Réciproque du théorème de Thlès Si les points, et sont lignés dns le même ordre que les points, C et C et, = C ' C lors (C)//( C ). Théorème de Pythgore Réciproque du théorème de Pythgore Si un tringle C est rectngle en, Si dns un tringle C, on C 2 = 2 + C 2, lors C 2 = 2 + C 2. lors ce tringle est rectngle en. C C C C

4 cos( ngle) = djcent Hypoténuse sin( ngle) = Opposé Hypoténuse tn( ngle) = Opposé djcent TRIGONOMÉTRIE M. Trigo te dit : CH SOH TO* Trnsltion M est l imge de M pr l trnsltion qui envoie en signifie que : M M est un prllélogrmme. Une trnsltion fit glisser une figure dns une direction, un sens et une longueur donnés Rottion M est l imge de M pr l rottion de centre O et d ngle 60 dns le sens inverse des iguilles d une montre signifie que :! - MOM ' = 60 de M vers M dns le sens de l flèche, - MO = OM Une rottion fit tourner une figure utour d un point selon un ngle. * Csse-toi! Homothétie 1) Homothétie de rpport positif Symétrie xile TRNSFORMTIONS M est l imge de M pr l homothétie de centre O et de rpport 2 signifie que : - O, M et M sont lignés - M et M sont du même côté pr rpport à O. - OM = 2 x OM M et M sont symétrique pr rpport à l droite (d) signifie que : - [MM ] est perpendiculire à (d), - M et M sont égle distnce de (d). Deux figures symétriques pr symétrie xile se superposent pr un plige le long de l xe de symétrie. Symétrie centrle M et M sont symétrique pr rpport u point O signifie que : - M, O et M sont lignés, - MO = OM. 2) Homothétie de rpport négtif M est l imge de M pr l homothétie de centre O et de rpport -0,5 signifie que : - O, M et M sont lignés - M et M ne sont ps du même côté pr rpport à O. - OM = 0,5 x OM Deux figures homothétiques sont une réduction ou un grndissement l une de l utre. Deux figures symétriques pr symétrie centrle se superposent pr un demi-tour utour du centre de symétrie.

5 ESPCE Volumes Repère de l espce Un prllélépipède peut définir un repère de l espce. Il fut choisir une origine (ici le point ) et trois xes grdués définis à prtir des dimensions du prllélépipède : bscisse ordonnée ltitude Pour chque point, on note dns l ordre entre prenthèses l bscisse, l ordonnée et l ltitude. (0 ; 0 ; 0) E(0 ; 0 ; 4) K(3,5 ; 5 ; 4) (0 ; 5 ; 0) F(0 ; 5 ; 4) C(7 ; 5 ; 0) G(7 ; 5 ; 4) D(7 ; 0 ; 0) H(7 ; 0 ; 4) Sphère et boule ire de l sphère = 4 π r 2 Volume de boule = 4 3 π r3 grndissement et réduction Propriétés : Pour un grndissement ou une réduction de rpport k, - les longueurs sont multipliées pr k, - les ires sont multipliées pr k 2, - les volumes sont multipliés pr k 3. Rppels : formules d ires Hors du cdre de l clsse, ucune reproduction, même prtielle, utres que celles prévues à l'rticle L du code de l propriété intellectuelle, ne peut être fite de ce site sns l'utoristion expresse de l'uteur.