1. Signaux passe-bas à bande limitée Signaux de bande infinie Signaux complexes Signaux réels passe-bande 12

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1 Table des matières 1. Signaux passe-bas à bande limitée 2 2. Signaux de bande infinie Signaux complexes Signaux réels passe-bande Bloqueur d ordre Distorsions introduites par le bloqueur d ordre Relations entre TFTC et TFTD 17 1

2 1. Signaux passe-bas à bande limitée Position du problème Soit x a (t) un signal réel et soit X a (F ) = + x a(t)e 2jπF t dt sa transformée de Fourier qui vérifie X a (F ) = X a( F ). Question : peut-on reconstruire x a (t) à partir de ses échantillons suivant l expression : x a (t)? = + k= x a (kt e )h(t kt e ) = x a (t) Solution : si x a (t) est de bande limitée B, cad si X a (F ) = 0 pour F > B, et si : F e = 1 T e 2B alors on peut effectuer une reconstruction parfaite en prenant h(t) = sin(2πbt) πf e t. 2

3 Preuve Calculons la transformée de Fourier de x a (t). Il vient : x a (t) = + n= x a (kt e )h(t kt e ) X a (F ) = + k= x a (kt e )e 2jπkF T e H(F ) Pour conclure il nous faut la formule de Poisson : Soit x a (t) un signal de module intégrable (x a (t) L 1 (R)) et dont la transformée de Fourier X a (F ) est elle-même de module intégrable. On a alors : G(F ) = + n= X a (F n T e ) = T e + k= x a (kt e )e 2jπkF T e Noter que G(F ) est périodique de période 1/T e. 3

4 Par conséquent : X a (F ) = H(F ) T e + n= X a (F n T e ) (1) L expression (1) est vraie quelle que soit la fréquence F e et cela même si la signal x a (t) n est pas à bande limitée. La reconstruction est parfaite si on peut avoir X a (F ) = X a (F ). Pour cela il faut et il suffit (voir figure 1) que (a) x a (t) soit à bande limitée B, (b) que F e > 2B et (c) que : H(F ) = T e rect ( B,B) (F ) h(t) = sin(2πbt) πf e t Dans le cas où F e < 2B, il y a chevauchement des motifs périodisés. On dit qu il y a repliement du spectre. Dans ce cas la reconstruction est impossible. 4

5 Fig. 1 Le spectre de G(f) s obtient par périodisation du spectre de x a (t). 5

6 Formule de reconstruction Par conséquent on a : x a (t) = + k= x(kt e)h(t kt e ) où la fonction d interpolation : h(t) = sin(2πbt) πf e t est non causale et décroît en 1/t

7 Reconstruction théorique Fig. 2 Reconstruction théorique 7

8 Effets du repliement de spectre On considère le signal où F 1 = 70Hz, F 2 = 180Hz. x(t) = a 1 cos(2πf 1 t) + a 2 cos(2πf 2 t) On échantillonne à F e = 300Hz (F e < 2B = 360Hz). Lors de la reconstruction le repliement fait apparaître une composante à la fréquence F 2 = F e F 2 = 120Hz. On la désigne sous le nom de fréquence image de F 2 par rapport à F e /2. Ce phénomène est simplement la conséquence du fait que les deux suites de points a 2 cos(2πf 2 n/f e ) et a 2 cos(2π F 2 n/f e ) sont identiques. 8

9 echantillonnage : Fe=300 ech./s

10 2. Signaux de bande infinie La reconstruction parfaite est impossible. On montre alors que, pour minimiser l écart quadratique, il faut supprimer les composantes fréquentielles au delà de F e /2. Par conséquent, avant l opération d échantillonnage on filtre le signal par un filtre passe-bas idéal de gain 1 dans la bande ( F e /2, +F 2 /2). Ce filtre est appelé filtre antirepliement. 10

11 3. Signaux complexes Le théorème d échantillonnage s applique exactement de la même façon aux signaux complexes. La seule différence est que X a (F ) ne possède plus la propriété dite de symétrie hermitienne. Dans ce cas, la reconstruction est parfaite si, le signal est à bande limitée cad X a (F ) = 0 pour F (B 1, B 2 ), que F e > (B 2 B 1 ) et : H(F ) = T e rect (B1,B 2 )(F ) h(t) = sin(π(b 2 B 1 )t) πf e t e jπ(b 2+B 1 )t 11

12 4. Signaux réels passe-bande On suppose à présent que x a (t) est réel et que X a (F ) = 0 pour F (F min, F max ). Pour éviter le repliement (chevauchement), il suffit de choisir F e telle que : F min + kf e < F min et F max + (k + 1)F e < F max 12

13 et donc k k 0 où k 0 = F min /(F max F min ). Pour des signaux à bande très étroite, on peut choisir pour F e une valeur beaucoup plus petite que la limite de Nyquist 2F max. De plus on a : H(F ) = T e (rect ( Fmax, F min )(F ) + rect (Fmin,F max )(F )) sin(π F t) h(t) = 2 πf e t cos(2πf 0 t) 13

14 5. Bloqueur d ordre x 0 (t) = et donc on a : X 0 (F ) = H(F ) T e + k= + n= x a (kt e )h(t kt e ) où h(t) = rect (0,Te )(t) X a (F n ) où H(F ) = sin(πf T e) e jπf T e T e πf 14

15 6. Distorsions introduites par le bloqueur d ordre 0 15

16 1. distorsion dans la bande utile ( B, B) du signal due au lobe principal du sinus-cardinal, 2. distorsion hors de la bande utile due aux lobes secondaires du sinus-cardinal. Un remède est 1. soit mettre un filtre à la sortie du bloqueur d ordre 0 2. soit, si l énergie dans les fréquences au delà de F e /2 sont pas ou peu gênantes, d effectuer numériquement une interpolation avant la reconstruction. Cette façon de faire est utilisée pour les signaux audio. 16

17 7. Relations entre TFTC et TFTD La transformée de Fourier à temps continu (TFTC) de x a (t) est définie par : X a (F ) = + x a (t)e 2jπF t dt Pour T e donné, on considère x e (n) = x a (nt e ). On note F e = 1/T e. La transformée de Fourier à temps discret (TFTD) de x e (n) est définie par : X e (f) = + n= x e (n)e 2jπfn La relation entre la TFTC de x a (t) et la TFTD de la suite x e (n) est : X e (f) = 1 T e + n= X a ((f n)f e )) On retrouve que si F e < 2B, alors on aura du repliement. 17

18 Par conséquent on a les règles de passage suivantes : TFTC TFTD : on divise l axe des fréquences par F e, on périodise avec la période 1, on divise l amplitude par T e. TFTD TFTC : on multiplie l axe des fréquences par F e, on multiplie l amplitude par T e, on limite à la bande (B 1, B 2 ). Remarque : si x a (t) est réel, B 1 = B 2. 18