TP 7 : Numérisation d un signal : quantification et traitement numérique

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1 Parie I : Élecronique TP TP 7 : Numérisaion d un : quanificaion e raiemen numérique I Inroducion Lors du précéden TP, nous avons éudiée une éape de la numérisaion d un : l éape d échanillonnage. Il ne s agi pas de la seule éape inervenan dans le processus de numérisaion, qui peu êre schémaisé comme ci-dessous : Échanillonneur-bloqueur CAN quanificaion Sockage en Échanillonnage échanillon Valeurs possibles pour le 4 = 8 Blocage Quanificaion par le CAN 4 = 6 3 = 4 2 = 2 1 = 0 1. L échanillonneur-bloqueur agi ous les (qui es la période d échanillonnage), donc aux emps = n avec n N. Il bloque la valeur du d enrée à un niveau consan égal à s(n ). On peu noer égalemen qu il possède une impédance d enrée élevée ( 1 MΩ pour un oscilloscope, moins pour nore care d acquisiion) afin que la mesure ne perurbe pas le foncionnemen du circui. 2. La valeur s(n ) à la sorie de l échanillonneur-bloqueur peu prendre n impore quelle valeur (c es une grandeur ). Mais un ordinaeur ou un sysème numérique en général ne peu raier que des valeurs numériques, qui ne peuven prendre qu un ensemble discre de valeurs 1, 2, ec. Le converisseur -numérique (CAN) aribue la valeur numérique 1, 2, ec. la plus proche de s(n ). 3. Ces valeurs son sockées en pour êre affichées ou manipulées. Un numérique peu êre laissé el quel. Il peu aussi se mere sous forme de bis, donc de suie de 0 e de 1, puisque chaque valeur possible du 1, 2, ec., possède une écriure binaire. Dans l exemple ci-dessus, on peu coder les valeurs possibles sur 4 bis : 0 = 0000, 2 = 0010, 4 = 0100, 6 = 0110, 8 = 1000, 10 = 1010, e le représené serai ransmis sous la forme ec... TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 1 / 5 Pierre de Couberin TSI

2 II Quanificaion e résoluion, nombre de bis On s inéresse plus pariculièremen à l éape de quanificaion. Soi n es le nombre de bis sur lequel l éape de quanificaion a lieu. Il y a 2 n valeurs possibles pour le numérisé socké dans l ordinaeur. D aure par, on noe U l ampliude maximale d acquisiion du (par exemple la care d acquisiion don on dispose perme d acquérir un allan de -15 V à +15 V, donc U = 30 V. On en dédui que l écar enre deux valeurs numériques possibles es q = U 2 n 1 U 2 n. q es appelé le pas de quanificaion. C es lui qui fixe la résoluion de la care d acquisiion numérique, car le numérique ne peu pas représener des poins don les ampliudes son disanes de plus de q. On donne des exemples de pas de quanificaion ci-dessous : Type de suppor Son sur un CD audio Valeurs pour un pixel d une image au forma jpeg, par canal de couleur Valeurs pour un pixel d un appareil numérique reflex (qui es d une couleur donnée) Care d acquisiion de l oscilloscope uilisé en TP Care d acquisiion vers l ordinaeur uilisée en TP Quanificaion 16 bis 8 bis 14 ou 16 bis selon modèle 8 bis 12 bis 1. Quelle es la valeur du pas de quanificaion q pour la care d acquisiion vers l ordinaeur que l on uilise? On s inéresse à l oscilloscope. Sa care d acquisiion es sur 8 bis, soi 2 8 = 256 valeurs possibles affichées à l écran. 2 Si le calibre es el que les valeurs exrêmes affichables à l écran son +20 V e -20 V, quelle es la résoluion q de l oscilloscope? e si on zoom pour que ces valeurs exrêmes soi -20 mv e +20 mv? Quel es donc l inérê de pouvoir choisir libremen les valeurs exrêmes? III Traiemen numérique d un Une fois le numérisé, il es pariculièremen facile de lui faire faire subir oue sore de ransformaions. Le es en effe socké en sous la forme d un ableau de données, s[i] représenan le s au emps i = i ( es la période d échanillonnage), avec i N pouvan aller de 1 au nombre oal de poins de l acquisiion. En pariculier, cee manipulaion numérique es plus aisée qu une manipulaion réalisée à l aide de composans (résisances, capaciés,...). On peu réaliser des aches plus complexes e qui son facilemen modifiables (pas besoin de changer la valeur des composans du circui ). Une fois raié, le numérique peu êre à nouveau converi en à l aide d un converisseur numérique- (CNA). Ce converisseur possède, ou comme le CAN, un pas de quanificaion q. À ire d illusraion, nous allons numériser un, réaliser un filrage numérique passe-bas sur ce numérisé, puis ransformer ce numérisé filré en. Dans un second emps, nous comparerons ce numérique filré au produi par un filre R-C. (GBF) Échanillonneur-bloqueur CAN Filre passe-bas R-C quanificaion numérique filré passe-bas Sockage en Algorihme de filrage passe-bas CNA quanificaion filré passe-bas visualisaion sur osciloscope TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 2 / 5 Pierre de Couberin TSI

3 III.1 Écriure de l algorihme de raiemen numérique passe-bas H La foncion de ransfer complexe d un filre passe-bas es H = 0 avec H 1 + jω/ω 0 le gain saique e ω c la pulsaion c de coupure. On prendra H 0 = 1 dans la suie. On obien alors l équivalen dans le domaine emporel : s e = 1 s + 1 ds 1 + jω/ω c ω c d = e ds d = ω cs() + ω c e(). Il fau donc résoudre l équaion différenielle encadrée à l aide d un schéma numérique. Il fau donc l écrire sous forme discrèe. On rappelle que le numérique es composé des s( n ), que l on noe s n, avec n = n. On noe de même e( n ) = e n. La méhode du schéma d Euler explicie consise à faire l approximaion : ω c s() + ω c e() = ω c s n + ω c e n. 3 Monrer que ceci perme d arriver à la relaion de récurrence suivane : s n+1 = Ae n + Bs n, avec A e B à exprimer en foncion du paramère α = ω c. ds d = s n+1 s n, e à considérer que Nous allons écrire un algorihme sous Lais Pro qui perme d effecuer ce calcul numérique. On prendra ω c = rad/s, ce qui correspond à une fréquence de coupure f c = ω c /(2π) = 1.6 khz. 4 Aller dans Traiemen -> Feuille de calcul. L algorihme sera le suivan, qui es à recopier (sans les commenaires) e compléer. Te = 20.e-6 omegac = 1e4 alpha = omegac * Te A = B = s = Tableau(0) // Déclare la variable Te (période d échanillonnage) avec la valeur // de 20 microsecondes. À MODIFIER en foncion de vore choix. // Déclare la variable omegac (pulsaion de coupure du filre) // avec la valeur rad/s. // À compléer // À compléer // Ser à créer un ableau s, qui sera le de sorie s[n] = A*EA1[n-1] + B*s[n-1] // L équaion de récurrence s écri ainsi sous Lais Pro Pour l exécuer, on uilise Calcul -> exécuer (F2). On peu ensuie afficher la courbe s sur le graphique. III.2 Acquisiion e raiemen du 5 Réaliser l acquisiion numérique d un sinusoïdal de fréquence f 1 khz avec une période d échanillonnage = 10 µs e un nombre de poins suffisan pour voir une dizaine de périodes. Réaliser le filrage numérique de ce. 6 Resiuer ce numérique filré en sorie de la care e le visualiser sur l oscilloscope. Pour cela, uiliser l ongle sorie de Lais Pro, e choisir s comme sorie. Cee sorie es envoyée sur la borne sorie DA de la care d acquisiion lorsque l on clique sur émere. Il fau faire une acquisiion e appuyer sur Run/Sop sur l oscilloscope pour le figer. Sur l oscilloscope, mesurer l ampliude du, compléer la première colonne du ableau qui sui (parie filrage numérique seulemen). 7 Réaliser les mesures nécessaires pour compléer les deux aures colonnes du ableau (parie filrage numérique seulemen). TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 3 / 5 Pierre de Couberin TSI

4 fréquence du d enrée 1 khz (soi f c /1.6) 2f c f c /10 Filrage numérique valeur de α = ω c valeur de A e de B ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope Filrage ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope III.3 Comparaison avec un filre passe-bas Afin de vérifier le bon foncionnemen du filre numérique, e de eser la dépendance du résula en foncion de la fréquence d échanillonnage, on réalise égalemen un filre. 8 À l aide des composans don vous disposez, réaliser un filre passe-bas don la foncion de ransfer es H = 1 + jω/ω c avec la même valeur de ω c que pour le filre numérique. Réaliser les mesures nécessaires pour compléer le ableau ci-dessus, parie filrage. Enfin, comparer les résulas pour le filre e numérique e conclure sur le bon foncionnemen de ce dernier. H 0 III.4 Imporance du choix de la fréquence d échanillonnage On noe encore f la fréquence du d enrée, e f e celle d échanillonnage. Dans oue cee parie on garde f = 1.0 khz. 9 Rappeler le crière que doi vérifier f e. Mais ici, une roisième fréquence inervien dans le problème : f c = ω c /(2π) la fréquence de coupure du filre passe-bas que l on simule numériquemen. Nous allons voir qu il fau donc qu il y a une conraine enre f e e f c pour que l algorihme foncionne correcemen. 10 Réaliser les mesures nécessaires pour compléer le ableau ci-dessous. La première colonne correspond normalemen à ce qui a éé fai précédemmen, les mesures ne son donc pas à refaire. période d échanillonnage 10 µs 80 µs 100 µs fréquence d échanillonnage f e Crière de Shanon respecé? valeur de α = ω c valeur de A e de B ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope Correspond à ce qui es aendu (aux inceriudes près)? TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 4 / 5 Pierre de Couberin TSI

5 11 Conclure sur un crière à respecer concernan f e e f c. IV Synhèse Quanificaion du Après l échanillonnage, la quanificaion es la seconde éape de la numérisaion d un. Elle consise à aribuer à chaque valeur s(n ) une des valeurs numériques possibles 1, 2, ec. (Voir schéma en page 1.) Le nombre de valeurs numériques possibles es donné par le nombre de bi n de la care : il es de 2 n 1 2 n. Le pas de quanificaion, ou résoluion de la care, es l écar enre deux valeurs numériques possibles. Il dépend : du nombre de valeurs numériques possibles : 2 n 1 ; du calibre choisi pour l acquisiion, c es-à-dire de la plage de valeurs U admise par la care d acquisiion (par exemple U = 20 V si le calibre es ±10 V). Le pas de quanificaion, ou résoluion, es ainsi : q = U 2 n 1 U 2 n. Filrage numérique d un Le raiemen numérique d un perme d effecuer des opéraions diverses e complexes de façon simple, par programmaion d un algorihme. Les mêmes opéraions, réalisées de façon par un circui élecronique, peuven nécessier des circuis complexes e don la modificaion des paramères implique de changer les valeurs des composans. Exemple : C es la raison pour laquelle les oscilloscopes numériques numérisen le pour pourvoir le raier facilemen (opéraions de muliplicaion des deux voies, de sousracion, calcul du specre, de valeur moyenne, ec..., qui seraien complexes à réaliser de façon ). La srucure générale du raiemen numérique d un es la suivane : Échanillonneur-bloqueur 1. CAN quanificaion 2. numérique Sockage en e manipulaions numériques numérique CNA Il fau ouefois prendre garde à : La fréquence d échanillonnage f e du d enrée, qui doi : oujours respecer le crière de Shannon par rappor au d enrée : êre suffisammen élevée pour permere une bonne précision des manipulaions numériques. Par exemple lorsque l on réalise l algorihme pour faire un filre passe-bas de fréquence de coupure f c à l aide d un schéma d Euler explicie, la fréquence d échanillonnage doi vérifier : Le pas de quanificaion, qui doi êre assez fin pour avoir une bonne précision. Le fai que le en sorie du CNA varie par palier ous les (période d échanillonnage). Le fai que le raiemen numérique prend un cerain emps e nécessie un processeur e des lecures en rapides. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 5 / 5 Pierre de Couberin TSI

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