TP 2 : Nume risation d un signal analogique

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1 TP 2 : Nume risation d un signal analogique Corrige du TP 2 : Nume risation d un signal analogique 1 E chantillonnage L objectif est ici d apprendre a faire le spectre d un signal nume rise et de voir les contraintes impose es par la nume risation sur la transforme e de Fourier (crite re de Shannon) On souhaite nume riser un signal e lectrique sinusoı dal ge ne re par un GBF, de fre quence f = 100 Hz et d amplitude U0 = 2 V. On cre e donc un signal sinusoı dale a l aide d un GBF. On re gle le type de signal et la fre quence sur le GBF. On envoie le signal sur un oscilloscope a l aide d un ca ble coaxial afin d observer le signal. 1. On ve rifie les caracte ristiques du signal a l aide de l oscilloscope. Dans un premier temps, on mesure ces caracte ristiques a l aide des curseurs de l oscilloscope. 1

2 On mesure ainsi la distance entre la valeur maximale et minimale du signal valant deux fois l amplitude du signal, notée A : 2A = 3,96 ± 0,04 3 V (l incertitude de type B est ici essentiellement due à l expérimentateur lors du pointage avec le curseur d une valeur). A = 1,98 ± 0,01 V De même, on mesure la période du signal notée T : 4T = 40,0 ± 0,2 3 ms. T = 10,0 ± 0,1 ms En déduit la fréquence du signal, notée f avec la formule de propagation des incertitudes T = f. T f f = 100 ± 1 Hz Nous utilisons dans un deuxième temps, les fonctions measures de l oscilloscope pour vérifier les caractéristiques du signal. On obtient alors les valeurs suivantes (l incertitude de type B est mesurée grâce aux fluctuations de la valeur affichée) : A = 2,00 ± 0,01 V T = 10,0 ± 0,1 ms f = 100 ± 1 Hz 2. On branche la sortie du GBF sur l une des entrées analogiques de la carte d acquisition. On sélection la voie appropriée sur le logiciel Latis-Pro. On règle ensuite la période d échantillonage (T ech = 1 ms pour avoir f ech = 1000 Hz), la durée totale d acquisition T 0 = 1 s. La relation NT ech = T 0 fixe alors le nombre N de points d acquisition. Remarque : Dans le menu courbe, on peut régler le style de la courbe affichée et ainsi relier les points par des traits. 2

3 3. On retrouve la fréquence de 100 Hz sur le spectre correspondant au signal acquis. Le spectre est donc correct. 200<1000, le critère de Shannon est donc respecté. La fréquence maximale que l on peut échantillonée est de 500 Hz d après le critère de Shannon (f ech /2). 4. On a tracé le spectre du même signal mais avec une fréquence d échantillonage f ech = 166,7 Hz ne respectant plus le critère de Shannon. On observe alors un spectre avec deux pics ne correspond pas au signal acquis. Ainsi, lorsque le critère de Shannon n est pas respecté, le spectre du signal numérisé est erroné. Ces mesures illustrent le théorème de Shannon : lorsque le critère de Shannon n est pas respecté, il y a moins de 2 prises de mesure (échantillons) par période du signal, ce qui est insuffisant pour rendre compte fidèlement de la fréquence du signal. On modifie la forme du signal émis. On crée à l aide du GBF un signal électrique rectangulaire, de fréquence f = 50 Hz et d amplitude U 0 = 2 V. On vérifie à nouveau les caractéristiques du signal émis par le GBF à l aide de l oscilloscope. 5. On réalise une nouvelle acquisition avec f ech = 1000 Hz et T 0 = 1 s. Le spectre obtenu est alors plus complexe car c est un signal rectangulaire. Un signal rectangulaire est constitué d une somme de sinusoïdes. On retrouve sur le spectre les amplitudes et les fréquences des sinusoïdes constituant le signal rectangulaire. 3

4 6. La fréquence maximale ayant une amplitude non négligeable sur le signal rectangulaire précédente était d environ 350 Hz, le critère de Shannon est respecté si 700 Hz est inférieur à la fréquence d échantillonnage f ech. C était donc le cas sur la dernière acquisition. Ici, on augmente la fréquence du signal à numériser afin de ne plus respecter le critère de Shannon. Lorsque celui-ci n est plus respecté, on observe un repliement de spectre. 4

5 7. D après la notice d utilisation de la carte d acquisition, la fréquence maximale d échantillonnage et de 10 MHz. Ainsi, la fréquence maximale que l on peut acquérir avec cette carte est de 5 MHz. Conclusion : Le critère de Shannon doit être respecté afin d obtenir un signal numérisé représentant avec fidélité le signal analogique. Dans le cas contraire, le spectre du signal présente des artéfacts numériques correspondant à l échantillonnage et donnant lieu à un repliement de spectre Applications 1. Les signaux audio des CD sont échantillonnés à 44,1 khz car la plus grande fréquence audible est de 20 khz. Afin de respcter le critère de Shannon, la fréquence d échantillonnage est au moins 2 fois supérieur à la fréquence maximale du signal, soit 40 khz. 2. La voix humaine parcourt un intervalle de fréquence compris entre 100 Hz et 3400 Hz, ainsi les cartes d acquisition (convertisseur analogique-numérique) des téléphones doivent avoir une fréquence d échantillonnage d au moins 6800 Hz (typiquement 7000 Hz). 2 Quantification Nous allons mettre en évidence la quantification d une conversion analogique-numérique et mesurer le nombre de bits sur lequel est codé le signal acquis à l aide de la carte d acquisition. 1. On règle grâce au GBF un signal sinusoïdal d amplitude 0,2 V (utilisation d un atténuation à l issue du GBF pour pouvoir atteindre de si faibles amplitudes) et de fréquence f = 100 Hz. On vérifie ces paramètres sur l oscilloscope et on envoie le signal dans la carte d acquisition. On règle l acquisition LatisPro avec les paramètres suivants : durée d acquisition T 0 = 1 s ; fréquence d échantillonnage f ech = 100 khz. 5

6 2. Afin de remonter au nombre de bits de l acquisition, nous allons essayer de mesurer la distance séparant deux niveau de quantification sur la courbe précédente. En connaissant cette écart et la calibre de l acquisition (fenêtre des valeurs acceptées pendant l acquisition), nous pourrons remonter au nombre de bits de codage. On fait donc un zoom sur la courbe pour pouvoir observer la distance séparant deux niveaux de quantification successifs. On obtient ainsi la mesure de δv. δv = 4,026 ± 0,001 mv Le calibre de l acquisition est visible à l aide d un clic droit sur la voie d acquisition choisie. Ici, le calibre est réglé par défaut sur +10 V/ -10 V (+V c / -V c ). Ainsi, les 20 V constituant la fenêtre d acquisition sont divisés en 2 N nombres de niveaux de tension (avec N le nombre de bits d acquisition). On a donc δv = 2Vc. On en déduit 2 N N = 1 ( ) ln 2 ln 2Vc. δv N = 12,27 ± 0,01 bits On retrouve 12 bits comme indiqué sur la notice d utilisation de la carte d acquisition. Conclusion : Nous avons donc mis en évidence la quantification d un signal numérique et nous avons été capable de mesurer le nombre de bits sur lesquels sont réaliser cette quantification. Le nombre de points associé à un signal audio d une durée T 0 est de nf e T 0. Chacun de ces points est codé sur N bits. On a donc une taille de fichier de nf e T 0 N. Pour exprimer le résultat en octet, il suffit de diviser ce nombre par 8. Ainsi la taille d un fichier audio est donnée par : nf e T 0 N/8 Ainsi, un fichier audio d une durée de 3 minutes est numérisé à 8 khz et 16 bits stéréo pèse 5,76 Mo. 6

7 TP 2 : Nume risation d un signal analogique 3 Analyse spectrale du son d un instrument Notre objectif est ici d observer le spectre du signal e mis par un instrument de musique. On utilise le me me dispositif que pre ce demment sauf que cette fois le signal n est pas e mis par un GBF mais par un instrument de musique tel qu un diapason ou un ukule le. Le signal analogique et sonore de l instrument est capte par un microphone qui en donne un signal analogique et e lectrique. Le signal est amplifie avant d e tre nume rise par la carte d acquisition. Afin d enregistrer le signal, il nous faut un temps d acquisition suffisamment long pour pouvoir exister l instrument de musique. On choisit donc une dure e d acquisition de T0 = 5 s. Les fre quences des notes que nous allons jouer e tant de l ordre de 1000 Hz, nous choisissons une fre quence d e chantillonnage de 10 khz (nous aurions pu utiliser une fre quence supe rieur a 40 khz pour respecter le crite re de Shannon vis a vis de la fre quence maximale du domaine audible mais la fre quence de 10 khz est ici suffisante). Le nombre de points d acquisition est donc de On obtient alors le signal et le spectre suivant pour un diapason : 7

8 Spectre du signal émis par un diapason On observe pour le diapason un unique pic dans le spectre à 440 Hz (La de la troisième octave). Le son émis par un diapason est donc très pur. On acquière le signal et le spectre du son émis par les cordes d un ukulélé : Spectre du signal émis par la première corde d un ukulélé. On peut mesurer des pics à 269 Hz, 538 Hz et 812 Hz. La note jouée est proche du Do de l octave 3. 8

9 Spectre du signal émis par la première corde d un ukulélé. On peut mesurer des pics à 284,5 Hz, 569,0 Hz et 854,4 Hz. La note jouée est proche du Ré de l octave 3. Spectre du signal émis par la première corde d un ukulélé. On peut mesurer des pics à 273 Hz, 546 Hz, 821 Hz et 1094 Hz. La note jouée est proche du Ré de l octave 3. 9

10 Spectre du signal émis par la première corde d un ukulélé. On peut mesurer des pics à 319 Hz, 639 Hz, 958 Hz, 1281 Hz, 1614 Hz, 2263 Hz et 2908 Hz. La note jouée est proche du Mi de l octave 3 On observe donc que le son émis par un ukulélé est bien plus complexe que celui d un diapason. On remarque que le son est constitué d une fréquence fondamentale et d harmoniques (les fréquences des pics ultérieurs sont des multiples de la fréquences du fondamental). On retrouve en définitive les modes propres d une corde vibrante. Ainsi, le son émis par une corde vibrante est issu d une superposition des modes propres de la corde lorsque celle-ci est excitée. Remarque : De toute évidence, le ukulélé n est pas accordé... 10

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