Numérisation. Capteurs avec conditionnement. Actionneurs avec conditionnement. Fig : Principe d un système numérique de contrôle-commande.

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1 Numérisation A. Définition La figur suivant illustr l princip d un systèm numériu d contrôl-command. Cluici, à gauch, st chargé d contrôlr crtains comportmnts, par xmpl la tmpératur, d un systèm physiu. Cla pass n général par un ou plusiurs capturs prmttant d connaîtr l état du systèm physiu t un ou plusiurs actionnurs prmttant d agir sur clui-ci. Cs capturs fournissnt ds signaux analogius u l systèm numériu n put traitr dirctmnt. Il st donc nécssair d numérisr cs signaux. D mêm il faut transformr ls commands numérius n commands analogius. Systèm physiu Capturs avc conditionnmnt Actionnurs avc conditionnmnt CAN CNA Systèm numériu d contrôl command Fig. 1-1 : Princip d un systèm numériu d contrôl-command. La numérisation s décompos n dux opérations. L échantillonnag ui transform l signal analogiu n signal discrt (n tmps), suivi d la uantification ui cod chau échantillon dans un format binair compatibl avc l systèm numériu. La rstitution ou la rconstruction constitu l opération invrs. Nous traitons ici ds aspcts théorius d la numérisation-rstitution pour un échantillonnag régulir. Ls aspcts matérils sront abordés dans l cours Systèms Embarués. B. Echantillonnag t rconstruction B.1. Définition Nous nous plaçons dans l cas d un échantillonnag régulir à périod fix T. L échantillonnag st l opération ui consist à transformr un signal à tmps continu x(t) n un signal échantillonné avc x (n) x(nt ). La figur 1- illustr ct échantillonnag. L signal discrt, n vrt, corrspond à l échantillonnag, à partir d t 0, du signal analogiu rprésnté par la courb roug. Il n y a pas d uantification, chau échantillon st un rél. S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

2 Fig. 1- : Echantillonnag d un signal analogiu. Mathématiumnt cla put s rprésntr comm l produit du signal x(t) avc l pign d Dirac d périod T : x (n) x(t) T (t) x(t) δ(t nt ) x(nt ) δ(t nt ) n n B.. Rcouvrmnt spctral t théorèm d l échantillonnag Notons (ν) la transformé d Fourir du signal x(t). Calculons cll du signal échantillonné (produit d convolution ds transformés individulls) : Soit : ( ν) ( ν) * ν δ( ν nν ) n ( ν) ν (u) δ( ν u nν ν ) du ( ν nν ) n n Au factur multiplicatif ν près, la transformé du signal échantillonné st la suprposition d réplius d la transformé du signal original décalés n fréunc d nν. Supposons u l spctr (ν) st limité à un band passant d largur ν 0 (Fig. 1-3). Fig. 1-3 : Spctr du signal analogiu. S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

3 Slon la fréunc d échantillonnag ν il y a rcouvrmnt (Fig. 1-4) ou pas (Fig. 1-5) ds spctrs n amplitud ou n phas. Fig. 1-4 : Spctr d un signal échantillonné avc rcouvrmnt. Fig. 1-5 : Spctr d un signal échantillonné sans rcouvrmnt. Il y a rcouvrmnt si ν -ν 0 < ν 0. S il n y a pas d rcouvrmnt on put accédr au spctr du signal original n consrvant, par xmpl avc un filtr pass-bas, la portion d spctr du signal échantillonné tll u : ν ν < Nous vrrons u dans c cas il st possibl d rconstruir l signal analogiu à partir ds échantillons. C n st évidmmnt pas possibl s il y a rcouvrmnt. C résultat constitu l théorèm d l échantillonnag. Il st possibl d rconstruir un signal analogiu à partir du signal échantillonné si : - l signal analogiu st à band passant limité : ( ν ) 0 pour ν > ν 0 - t si la fréunc d échantillonnag ν vérifi la condition d Shannon : ν > ν 0 La fréunc ν 0 st applé fréunc d Nyuist. S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

4 Lorsu la band passant du signal analogiu n st pas limité il st possibl d filtrr c signal avant d l échantillonnr avc un filtr pass-bas, souvnt applé filtr anti-rplimnt ou filtr d gard. B.3. Rconstruction d un signal à partir d ss échantillons Supposons ls hypothèss du théorèm d l échantillonnag rmplis. L spctr n fréunc du signal analogiu put alors êtr xtrait du spctr du signal échantillonné n s limitant à la band n fréunc tll u : ν ν < Nous pouvons donc écrir : 1 ( ν) ν ν ( ν) Π ν où la fonction Π st la port unité. En s souvnant u la transformé d Fourir d un produit d convolution st l produit ds transformés, la transformé invrs nous prmt d écrir : x (t) 1 ν 1 ν x (t) * TF Π ν Calculons la transformé invrs d la fonction port : TF ν Π ν ν π ν j t Π ν dν + v 1 v / / jπ ν t dν 1 ν TF Π ν jπ ν t j π ν jπ t t sin( πν t) π t ν Sinc( πν t) Nous avons donc pour l signal analogiu : x (t) x (t) * Sinc ( πν t) Sinc( πν t) * x(nt ) δ(t nt ) n x (t) n Sinc ( πν u) x(nt ) δ(t u nt ) du Clui-ci put donc êtr rconstruit à partir d ss échantillons : S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

5 x (t) n x(nt ) Sinc [ πν (t nt )] n sin x(nt ) πν [ πν (t nt )] (t nt ) Nous avons illustré c résultat sur ls figurs 1-6 t 1-7. A titr d xmpl nous avons choisi un sinusoïd avc 10 échantillons par périod. La courb blu d la prmièr figur corrspond au signal rconstruit n sommant ls contributions ds 11 échantillons visibls sur la figur. L signal rconstruit st très proch du signal d origin avant échantillonnag. La scond figur détaill ls contributions individulls d chau échantillon. La courb blu d la prmièr figur corrspond à la somm ds courbs noirs d la scond. Fig. 1-6 : Sinusoïd (n vrt) d fréunc ν échantillonné à un fréunc 10ν. La courb blu rprésnt l signal rconstruit à partir ds 11 échantillons visibls. Fig. 1-7 : Chau courb noir rprésnt la contribution d un échantillon au signal rconstruit (mêms conditions u fig. 1-6). S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

6 B.4. Illustration d l fft d un rplimnt Nous considérons ici un sinusoïd d fréunc ν 0 échantillonné à un fréunc ν n rspctant pas la condition d Shannon. Ctt sinusoïd t ls échantillons sont rprésntés n vrt sur la figur suivant. Cll-ci montr u la sinusoïd partag ss échantillons avc un autr sinusoïd d fréunc ν - ν 0 (courb n pointillé blu). Fig. 1-8 : Echantillonnag d un sinusoïd à un fréunc trop faibl (ici ν 1.66 ν 0 ). Sur la figur suivant nous avons suprposé n roug la courb rconstruit à partir ds échantillons comm indiué dans l paragraph précédnt. Cll-ci corrspond n fait à la sinusoïd d fréunc ν - ν 0. Nous avons un illustration d c u si la condition d Shannon n st pas rspcté il st impossibl d rconstruir l signal d origin à partir d ss échantillons. Fig. 1-9 : Rconstruction d un sinusoïd échantillonné à un fréunc trop faibl (ici ν 1.66 ν 0 ). S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

7 C. Quantification La uantification constitu la scond étap d la numérisation d un signal. L échantillonnag prélèv ls valurs du signal à crtains instants, mais cs valurs s situnt dans un nsmbl indénombrabl. Pour u un signal puiss êtr traité par un systèm numériu il faut l codr. L nsmbl ds valurs possibls st alors limité. La figur 1-10 illustr ctt numérisation n supposant u ls échantillons numérisés n puvnt prndr u ls valurs matérialisés par ls ligns pointillés. L intrvall vrtical ntr dux ligns consécutivs st l pas d uantification. Fig : Numérisation d un signal analogiu. C.1. Bruit d uantification Nous considérons un signal x numérisé aux instants t n. Nous notons x Q l signal numérisé. Pour chau échantillon nous avons : La uantité ε st l rrur d uantification. x(t n ) xq (t n ) + ε(t n ) A titr d xmpl, nous considérons un convrtissur analogiu-numériu dont la gamm dynamiu n ntré st compris ntr dux valurs limits 1 t. Cla signifi u l convrtissur trait corrctmnt tout signal dont l amplitud st compris ntr cs limits. Par contr au-dlà il y a saturation. Nous supposons d autr part u l signal numériu n sorti st codé sur N bits, avc un pas d uantification uniform. Clui-ci st donc : 1 N N En général la band passant st symétriu : 1 N 1 S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

8 La valur st applé plin échll. Si la règl d uantification corrspond à l arrondi infériur : x [k, (k + 1)[ xq k dont la courb caractéristiu st visualisé fig. 1-11, l rrur d uantification st compris ntr 0 t (fig. 1-1). Fig : Numérisation par arrondi infériur Fig. 1-1 : Errur d uantification pour arrondi infériur Pour un pas d uantification ptit t n l absnc d saturation il st raisonnabl d considérr ls rrurs d uantification comm ds variabls aléatoirs indépndants uniformémnt distribués ntr 0 t. Nous avons alors pour ls dux prmirs momnts : S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

9 E[ ε(n)] E[ ε(n) ε(k)] δ(n k) 3 L rrur d uantification s comport comm un bruit u l on put considérr comm stationnair. Nous avons pour la puissanc moynn d c bruit d uantification : P ε E[ ε (n)] 3 Pour caractérisr l importanc rlativ d c bruit par rapport au signal on utilis l rapport signal sur bruit (RSB) défini comm l rapport ds puissancs moynns du signal t du bruit : RSB P P x C rapport st généralmnt xprimé n décibls : ε RSB db P 10 log P x ε C rapport dépnd évidmmnt du signal traité. Pour prmttr ds comparaisons on utilis souvnt comm signal d référnc un sinusoïd ayant pour amplitud la plin échll du convrtissur. Nous savons u sa puissanc moynn st : P x C ui nous donn pour l rapport signal sur bruit : Soit n db : 3 RSB 3 (N 1) 3 (N 1) 3 RSB db 0(N 1) log + 10log 6 N 4.3 L rapport signal sur bruit augmnt d 6 db par bit. L rrur d uantification du à l arrondi infériur st dissymétriu c ui introduit un biais. Il st préférabl d utilisr l arrondi l plus proch : 1 1 x k, k + xq k S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

10 dont la caractéristiu st présnté sur la figur1-13. L rrur d uantification st alors compris ntr / t / (figur 1-14). Fig : Numérisation par arrondi l plus proch Fig : Errur d uantification pour arrondi l plus proch Nous pouvons à nouvau considérr ls rrurs d uantification comm ds variabls aléatoirs indépndants, ctt fois uniformémnt distribués ntr / t /. Nous avons alors pour ls dux prmirs momnts : E[ ε(n)] 0 E[ ε(n) ε(k)] δ(n k) 1 L rrur d uantification s comport comm un bruit u l on put considérr comm stationnair. Nous avons pour la puissanc moynn d c bruit d uantification : S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal

11 Pε E[ ε (n)] 1 Nous pouvons calculr l rapport signal sur bruit dans l cas d un sinusoïd ayant pour amplitud la plin échll. Il vint : Soit n db : 1 RSB 3 (N 1) (N 1) 6 RSB db 0(N 1) log + 10log6 6.0 N L rapport signal sur bruit augmnt ncor d 6 db par bit. Nous constatons cpndant u pour N donné l rapport signal sur bruit st millur dans l cas d l arrondi l plus proch. S. Tissrant ESIL Traitmnt du signal