Première ES-L IE2 dérivation S1. a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : f(x) = 2x² - 3 en 1.

Transcription

1 Première ES-L IE2 dérivation S Exercice : taux d accroissement (2 points) a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : En déduire le nombre dérivé de f en. f(x) 2x² - en. b) Déterminer le taux d accroissement de la fonction g définie sur par : g(x) En déduire le nombre dérivé de g en -2. Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points) en -2. x² + On considère la fonction f(x) 2x² - x + définie sur et sa courbe. a) Déterminer la valeur de f (-). b) Montrer que la tangente T à au point d abscisse - a pour équation y -5x. c) Etudier le signe de la fonction g(x) 2x² + 4x + 2 sur. d) En déduire la position de T par rapport à. Exercice : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de cacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) : x - x x d) i : x x + 5 2x -

2 Première ES-L IE2 dérivation S2 Exercice : taux d accroissement (2 points) a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : En déduire le nombre dérivé de f en -2. f(x) x² - 2 en -2. b) Déterminer le taux d accroissement de la fonction g définie sur par : g(x) En déduire le nombre dérivé de g en. Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points) en. x² + 2 On considère la fonction f(x) -x² + 2x - définie sur et sa courbe. a) Déterminer la valeur de f (2). b) Montrer que la tangente T à au point d abscisse 2 a pour équation y - 2x +. c) Etudier le signe de la fonction g(x) -x² + 4x - 4 sur. d) En déduire la position de T par rapport à. Exercice : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de cacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -2x b) g : x 5 x c) : x 2 x x² + 5 d) i : x 2x - 5 x + 2

3 Première ES-L IE2 dérivation S Exercice : taux d accroissement (2 points) a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : En déduire le nombre dérivé de f en. f(x) 2x² - en. b) Déterminer le taux d accroissement de la fonction g définie sur par : g(x) En déduire le nombre dérivé de g en -2. en -2. x² + a) Le taux d accroissement, pour non nul, de la fonction f en est : t() Soit t() f( + ) f() 2( + )² - (2 ² - ) 2( ²) ² - 2 Le nombre dérivé de f en est lim 0 t() Donc f () 4 (4 + 2) b) Le taux d accroissement, pour non nul, de la fonction g en -2 est : g(-2 + ) g(-2) t() (-2 + )² + - (-2)² ² (² ) - (² ) 5 5 (² ) Soit t() ² (² ) Soit t() (- + 4) 5(² ) ² Le nombre dérivé de g en est lim t() Donc g (-2) 2 25

4 Première ES-L IE2 dérivation S Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points) On considère la fonction f(x) 2x² - x + définie sur et sa courbe. a) Déterminer la valeur de f (-). b) Montrer que la tangente T à au point d abscisse - a pour équation y -5x. c) Etudier le signe de la fonction g(x) 2x² + 4x + 2 sur. d) En déduire la position de T par rapport à. a) f (x) 2 2x 4x f (-) 2 2 (-) -4-5 b) Une équation de la tangente T à au point d abscisse - a pour équation : y f (-)(x (-)) + f(-). Or f(-) 2 (-)² - (-) et f (-) -5. Une équation de T est donc : y -5(x + ) + 4-5x x. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) 2(x² + 2x + ) 2(x + )² Or un carré est toujours positif ou nul et g(-) 2(- + )² 2 0² 0 Donc g(x) s annule en x - et est strictement positif pour x -. d) f(x) (-5x ) 2x² - x + (-5x ) 2x² - x + + 5x + f(x) (-5x ) 2x² + 4x + 2 g(x). Or g(x) > 0 si x -, donc est au dessus de T pour x -. Et pour x -, et T ont en commun le point de coordonnées (- ;-5). Vérification grapique : 4

5 Première ES-L IE2 dérivation S Exercice : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de cacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) : x - x x d) i : x x + 5 2x - a) f est définie et dérivable sur et f (x) -2x b) g est définie et dérivable sur \ {0} * et g (x) - - x² x² c) est définie sur ] - ;0] + et dérivable sur ]- ; 0[ et (x) x d) i est définie et dérivable sur \ 2. Pour x \ 2 u(x), on pose i(x) avec u(x) x + 5 et v(x) 2x. v(x) On a alors : i (x) Or, u (x) et v (x) 2 Donc i (x) u (x) v(x) u(x) v (x). (v(x))² (2x ) (x + 5) 2 (2x )² 2x 2x 0 (2x )² - (2x )² 5

6 Première ES-L IE2 dérivation S2 Exercice : taux d accroissement (2 points) a) Déterminer le taux d accroissement de la fonction f définie sur par : En déduire le nombre dérivé de f en -2. f(x) x² - 2 en -2. b) Déterminer le taux d accroissement de la fonction g définie sur par : g(x) En déduire le nombre dérivé de g en. en. x² + 2 a) Le taux d accroissement, pour non nul, de la fonction f en -2 est : t() Soit t() f(-2 + ) f(-2) t() (-2 + )² - 2 ( (-2)² - 2) (4 4 + ²) ² - 2 Le nombre dérivé de f en est lim 0 t() Donc f (-2) -2 b) Le taux d accroissement, pour non nul, de la fonction g en est : (-2 + ) g( + ) g() t() ( + )² ² ² + 2 t() (² ) - ² ² - 2 (² ) (² ) -( + 2) (² ) Soit t() (² ) Le nombre dérivé de g en est lim t() - 0 (0² ) Donc g ()

7 Première ES-L IE2 dérivation S2 Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points) On considère la fonction f(x) -x² + 2x - définie sur et sa courbe. a) Déterminer la valeur de f (2). b) Montrer que la tangente T à au point d abscisse 2 a pour équation y - 2x +. c) Etudier le signe de la fonction g(x) -x² + 4x - 4 sur. d) En déduire la position de T par rapport à. a) f'(x) - 2x + 2 et f (2) b) Une équation de la tangente T à au point d abscisse 2 a pour équation : y f (-2)(x - 2) + f(2). Or f(2) -2² et f (2) -2. Une équation de T est donc : y -2(x - 2) - -2x x +. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) - (x² - 4x + 4) - (x 2)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(2) -(2-2)² - 0² 0 Donc g(x) s annule en x 2 et est strictement négatif pour x 2. d) f(x) (-2x + ) -x² + 2x - (-2x + ) -x² + 2x - + 2x -x² + 4x - 4 f(x) (-2x + ) g(x). Or g(x) < 0 si x 2, donc est en dessous de T pour x 2. Et pour x 2, et T ont en commun le point de coordonnées (2 ; -2). Vérification grapique : 7

8 Première ES-L IE2 dérivation S2 Exercice : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de cacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -2x b) g : x 5 x c) : x 2 x x² + 5 d) i : x 2x - 5 x + a) f est définie et dérivable sur et f (x) -2 x² -6x² b) g est définie et dérivable sur \ {0} * et g (x) 5 - x² - 5 x² c) est définie sur ] - ;0] + et dérivable sur ]- ; 0[ et (x) 2 2 x - 2x (x) x - 2x d) i est définie et dérivable sur \ {-}. Pour x \ {-}, on pose i(x) u(x) avec u(x) 2x - 5 et v(x) x +. v(x) On a alors : i (x) Or, u (x) 2 et v (x) Donc i (x) u (x) v(x) u(x) v (x). (v(x))² 2 (x + ) (2x - 5) (x + )² 2x + 2-2x + 5 (x + )² 7 (x + )² 8