I) Auto-test : N, ensembles finis et dénombrements.

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1 I) Auto-test : N, ensembles finis et dénombrements. 1. Citer les 3 axiomes de N. On ostule l existence d un ensemble non vide, noté N ensemble des entiers naturels dont les roriétés fondamentales sont : 1. Toute artie non vide de N ossède un lus etit élément. 2. Toute artie non vide et majorée de N ossède un lus grand élément. 3. N n est as majoré. 2. Que dire d une artie infinie de N? Une artie infinie de N est en bijection avec N 3. Comment montrer que des ensembles finis sont égaux via les cardinaux? Soient A et B des ensembles finis. Alors A = B ssi A B i.e. il existe une bijection de A dans B. Inclusion : E désigne un ensemble fini. Si A E, alors A est fini et A E En articulier : A E A = E A = E 4. Cardinal de l union (inégalité). Cas d une union disjointe. Égalité dans le cas de deux ensembles. (Proriétés) 1. Une artie A d un ensemble fini E est finie et card(a) card(e) avec égalité ssi A = E 2. Une réunion finie d ensembles finis est un ensemble fini et ( n ) n card A i card(a i ) avec égalité ssi les A i sont deux à deux distincts. i=1 i=1 On écrit n n A i = i=1 i=1 A i 5. d une artition d un ensemble, d une union disjointe. 1

2 (Partition d un ensemble) Si E = i I A i, alors les (A i ) i I forment une artition de E. (Partition d une union disjointe) Si E et F sont des ensembles et f : E F est une alication quelconque, alors E = f 1 ({y}) y F 6. Cardinal du roduit cartésien. (Proriété) Un roduit fini d ensemble finis est fini et ( n ) n card A i = card(a i ) i=1 i=1 7. Quel est l effet d une alication sur les cardinaux finis? À quelle condition a-t-on égalité des cardinaux de la source et de l image? Soient E un ensemble fini, F un ensemble quelconque et f F (E, F ) Alors f(e) est fini et card(f(e)) card(e) avec égalité ssi f est inj. 8. Que dire sur les cardinaux si f : E F est une surjection? injection? Corollaire 1. Si E F et si F est fini alors E est fini et E F 2. Si E F et si E est fini alors F est fini et F E 9. SAVOIR REFAIRE : montrer que si E et F ont le même cardinal, et si f : E F, alors f est bijective ssi elle est injective ssi elle est surjective. 2

3 Soient E et F des ensembles finis de même cardial. On se donne f = E F quelconque. Alors f est injective (1) f est surjective (2). Preuve : (1) (2) : on suose que f est injective. Montrons que f est surjective. f f(e) E est bijective (ar construction à l image). Donc f(e) = E Or ar hyothèse E = F Ainsi f(e) F et f(e) = F Donc f(e) = F Donc f est surjective. (2) (1) : réciroquement, suosons que f est surjective. Montrons que f est injective. On a f(e) = F Or F = E Donc f(e) = E D arès le théorème, f est donc injective. 10. Pour E et F des ensembles finis, quel est le cardinal de F (E, F )? Soient E et F des ensembles finis. Alors F (E, F ) est fini et card(f (E, F )) : (card(f )) card(e) 11. SAVOIR REFAIRE : rouver que si E est un ensemble fini, alors card(p(e)) =... Soit E un ensemble fini. Alors P(E) et fini, et card(p(e)) = 2 card(e) Preuve : On envisage Φ : P(E) F (E, {0, 1}) A 1 A Il suffit de montrer que Φ est bijective. En effet, d arès le théorème récédent, F (E, {0, 1}) est fini de cardinal 2 card(e). Montrons que Φ est injective : Soient A et B dans P(E) tq Φ(A) = Φ(B) Alors 1 A = 1 B, donc A = B (cf. roriétés des fonctions indicatrices) Donc Φ est injective. Montrons que Φ est surjective. Soit f F (E, {0, 1}) 3

4 On cherche une aire A de E tq f = 1 A On ose A = f 1 ({1}) (réimage) i.e. A = {x E, f(x) = 1} Par construction, f ne renant que les valeurs 0 ou 1 : Si x A, alors f(x) = 1 Si x A, alors f(x) = 0 Donc f = 1 A Alors f = Φ(A) (A est un antécédent de f ar Φ) Donc Φ est surjective. Conclusion : Φ est bijective, d où le résultat. 12. Définir la fonction indicatrice d un ensemble. Donner ses roriétés. Si A E, alors on aelle fonction indicatrice de la artie A, la fonction 1 A : E {0; 1} A si x A x 1 A (x) = 0 si x A (Proriétés fondamentales) Soient A et B des arties de E 1 A = 1 1 A 1 A B = 1 A 1 B et 1 A B = 1 A + 1 B 1 A 1 B = 1 A + 1 B 1 A B A B 1 A 1 B et A = B 1 A = 1 B Lien avec le cardinal : Si A est fini alors A = x E 1 A (x) 13. Donner le cardinal des ermutations d un ensemble card(σ(e)) =... Si E est fini alors σ(e) aussi et card(σ(e)) = E! 14. Qu est ce qu une -liste d un ensemble fini de E? Qu est ce que cela modélise? 4

5 Soient E un ensemble non vide, N On aelle -liste de E ou -ulet de E tout élément de E (roduit cartésien) Les -listes sont des familles où l ordre comte et les réétitions sont ossibles. Elles modélisent des tirages successifs avec remise. Il existe E -listes de E 15. Qu est ce qu un -arrangement d un ensemble fini E? Qu est ce que cela modélise? On aelle -arrangement de E tout -lise d éléments distincts de E Les -arrangements modélisent des tirages successifs sans remise. 16. Nombre de -arrangement d un ensemble à n éléments. Raort avec les injections? Soient E un ensemble de cardinal n N et N Alors, 1. Si n, il existe A n! n = -arrangements de E. (n )! 2. Si > n, il n en existe as. Corollaire On suose que E =, F = n 1. Si n, il existe A n! n = (n )! 2. Si > n, il n y en a as. injection de E dans F. Il existe le même nombre de -arrangements que d injections dans un ensemble. 17. Qu est-ce qu une -combinaison d un ensemble fini de E? Qu est ce que cela modélise? On aelle -combinaison de E tout sous-ensemble à élément de E. 5

6 Si n N, on note n le nombre de -combinaison d un ensemble à néléments. C est le nombre de arties à -éléments d un ensemble à n-éléments. n est le nombre de façons de choisir objets armi n objets. Modélisent des tirages simultanés. 18. Définir rorement, uis exrimer en termes de factorielles le nombre de -combinaison d un ensemble à n éléments. Donner une interrétation en termes de choix. Choisir objets, c est exactement choisir une artie à -éléments d un ensemble à n-éléments. n n! =!(n )! On choisir l ordre dans lequel on les lace. Au total n! -arrangement de E 19. Raeler les roriétés usuelles des combinaisons. (Proriétés des combinaisons) 1. n = n n 2. n + n = n Binôme de Newton (a + b) n = n n a k b n k k=0 4. n = n = 1 0 n n = n = n 1 n 1 n = n = 2 n 2 n(n 1) 2 6