Notes de cours sur l évaluation d impact No. 4 : Variables instrumentales dans le contexte de l approche de Heckman
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- Rémy Thomas
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1 Noes de cours sur l évaluaion d impac No. 4 : Variables insrumenales dans le conexe de l approce de Heckman Jean-Louis Arcand CERDI-CNRS, Universié d Auvergne e European Union Developmen Nework (EUDN) 5 janvier 202 La spéci caion de base Nous posons le même modèle que dans le raiemen général de l approce de Heckman : Y 0 0 (X; U 0 ) ; (a) Y (X; U ) ; (b) e nous rerouvons, comme au capire précéden, le modèle d indexe général que nous avions spéci é au capire à l équaion (??) : D D (Z) V e D [D > 0] ; (2) avec les 6 mêmes ypoèses. Comme monré précédemmen, le Téorème de la foncion de ransfer nous perme de réécrire la foncion indicarice comme : Nous écrirons égalemen le résula comme : 2 Trois résulas uiles D [P (Z) > U D ] : (3) Y DY + ( D)Y 0 : (4) Une régression linéaire n es aure qu une espérance condiionnelle. Lorsque nous écrivons Y +X+". Ceux qui son familiers avec les espérances condiionnelles (e donc les rois résulas qui suiven) pourron sauer cee secion e passer direcemen à la secion La loi des espérances iérées Pour les démonsraions qui suiven, nous allons avoir besoin, de façon répéée, de la Loi des espérances iérées. 2 Ce résula nous di : Loi des esperances ierees : Soien deux variables aléaoires X e Y ; supposons que l espérance E [Y ] e l espérance condiionnelle E [Y j X x] exisen. Alors : E [E [Y j X x]] E [Y ] : (5) Pour une aure façon de démonrer les rois résulas qui suiven, voir l excellene présenaion dans Wooldridge (200), capire 2, Appendix 2.A.. 2 Voir, par exemple, Roussas (997), p. 23.
2 Démonsraion : Dénoons la disribuion de Y, condiionnelle sur X, par f Y jx (yj X x) : L espérance de Y, condiionnelle sur X, es alors donnée par : E [Y j X x] Z + L expression que nous cercons à évaluer es donnée par : yf Y jx (yj X x) dy: (6) E [E [Y j X x]] Z + E [Y j X x] f X (x) dx; Z + Z + yf Y jx (yj X x) dy f X (x) dx: (7a) (7b) Nous pouvons inverser l ordre d inégraion pour obenir : Z + Z + E [E [Y j X x]] yf Y jx (yj X x) dy f X (x) dx; Z + Z + Z + y Z + yf Y jx (yj X x) f X (x) dx dy; f Y jx (yj X x) f X (x) dx dy; (8a) (8b) (8c) où nous pouvons sorir le y de l inégrale "inérieure" parce que nous inégrons par rappor à x. Mais par la dé niion d une densié condiionnelle (e d une densié marginale) l inégrale inérieure se simpli e en : Z + f Y jx (yj X x) f X (x) dx f Y (y) : (9) Il sui que : E [E [Y j X x]] Z + Z + Z + y f Y jx (yj X x) f X (x) dx f Y (y) yf Y (y) dy; dy; (0a) (0b) E [Y ] [QED] (0c) 2.2 Covariance avec une espérance condiionnelle Un deuxième résula que nous uiliserons par la suie pore sur la covariance enre deux variables aléaoires. Rappellons d abords que : Cov [Y; X] E [(Y E [Y ]) (X E [X])] E [(Y Y ) (X X )] ; () où nous posons : E [X] X R + xf X (x) dx e E [Y ] Y R + yf Y (y) dy. Dénoons par f X;Y (x; y) la disribuion conjoine de X e de Y. Les relaions enre une densié conjoine e les densiés condiionnelles e marginales son que : f X;Y (x; y) f Y jx (yj X x) f X (x) f XjY (xj Y y) f Y (y) : (2) 2
3 Remarquons en passan un résula que vous connaissez sans doues : Développons cee expression : Cov [Y; X] E [(Y Y ) (X X )] ; (3a) Z + Z + Z + Z + (y Y ) (x X ) f X;Y (x; y) dydx; (3b) (yx X y Y x + Y X ) f X;Y (x; y) dydx: (3c) Cov [Y; X] Z + Z + Z + Z + Z + Z + (yx X y Y x + Y X ) f X;Y (x; y) dydx; (4a) yxf X;Y (x; y) dydx Y xf X;Y (x; y) dydx + Z + Z + Z + Z + X yf X;Y (x; y) dydx Y X f X;Y (x; y) dydx; (4b) e inégrons la cumulaive a n de faire ressorir les marginales : Cov [Y; X] Z + Z + Y Z + Prenons mainenan les espérances : d où le résula abiuel : Cov [Y; X] yxf X;Y (x; y) dydx X Z + Z + x f X;Y (x; y) dy f X (x) Z + Z + Lorsque Y X, ce résula nous di que : yxf X;Y (x; y) dydx E[Y X] Z + y f X;Y (x; y) dx dy (5) dx + Y X Z + f Y (y) Z + X f X;Y (x; y) dydx: (6a) Z + Z + X yf Y (y) dy Y xf X (x) dx + Y X ; Y X E [Y X] Y X Y X + Y X ; (6b) Cov [Y; X] E [Y X] Y X E [Y X] E [Y ] E [X] : (7) Var [Y ] Cov [Y; Y ] E [Y Y ] Y Y E Y 2 (E [Y ]) 2 : (8) Le résula que nous uiliserons par la suie es le suivan : 3 Covariance avec une esperance condiionnelle : Soien deux variables aléaoires X e Y ; supposons que l espérance E [Y ] e l espérance condiionnelle E [Y j X x] exisen. Alors : 3 Pour deux jolies applicaions du résula qui sui, voir Wallenius (97). Cov [Y; X] Cov [E [Y j X x] ; X] : (9) 3
4 Démonsraion : Appliquons l équaion (7) à la covariance enre X e E [Y j X x], l espérance de Y condiionnelle sur X : Cov [E [Y j X x] ; X] E [E [Y j X x] X] E [E [Y j X x]] E [X] : (20) Par la Loi des espérances iérées, nous savons que E [E [Y j X x]] E [Y ]. Il sui que la deuxième parie de l expression (20) s écri : E [E [Y j X x]] E [X] E [E [Y j X x]] E [X] E [Y ] E [X] : (2) E[Y ] Considérons mainenan la première parie de l expression (20) : E [E [Y j X x] X] Z + E [Y j X x] xf X (x) dx; Z + Z + Z + Z + yf Y jx (yj X x) dy xf X (x) dx; yxf Y jx (yj X x) f X (x) dxdy: (22a) (22b) (22c) Mais par (2), nous savons que f Y jx (yj X x) f X (x) f X;Y (x; y), d où : E [E [Y j X x] X] Z + Z + Z + Z + En réunissan (23c) e (2), nous pouvons alors écrire : yxf Y jx (yj X x) f X (x) dxdy; f X;Y (x;y) yxf X;Y (x; y) dxdy (23a) (23b) E [Y X] : (23c) Cov [E [Y j X x] ; X] E [E [Y j X x] X] E[Y X] par (23c) 2.3 Variance condiionnelle Le roisième résula uile es le suivan : E [E [Y j X x]] E [X]; (24a) E[Y ]E[X] par (2) E [Y X] E [Y ] E [X] (24b) Cov [Y; X] [QED] (24c) Decomposiion de la variance : Soien deux variables aléaoires X e Y ; supposons que l espérance E [Y ] e l espérance condiionnelle E [Y j X x] exisen. Alors : Var [Y ] E [Var [Y j X x]] + Var [E [Y j X x]] : (25) Démonsraion : Considérons le premier élémen du côé droi de (25), e écrivons l expression pour la variance de Y, condiionnelle sur X x : Var [Y j X x] E [Y E [Y j X x]j X x] : (26) 4
5 Par le même raisonnemen qui pore à l équaion (8) : Var [Y j X x] E Y 2 X x (E [Y j X x]) 2 : (27) Prenons une espérance des deux côés de cee équaion : E [Var [Y j X x]] E E Y 2 X x (E [Y j X x]) 2i ; (28a) E E Y 2 X x E (E [Y j X x]) 2i : (28b) Mais par la loi des espérances iérées : E E Y 2 X x E Y 2 : (29) Il sui que : E [Var [Y j X x]] E E Y 2 X x E[Y 2 ] E Y 2 E E (E [Y j X x]) 2i ; (30a) (E [Y j X x]) 2i : (30b) Considérons mainenan le deuxième élémen du côé droi de (25), e écrivons l expression pour la variance de l espérance de Y, condiionnelle sur X x, en uilisan, encore une fois, l expression dans (8) : Var [E [Y j X x]] E (E [Y j X x]) 2i (E [E [Y j X x]]) 2 ; (3) où nous avons ou simplemen appliqué la formule en (8). Par la loi des espérances iérées, nous savons que E [E [Y j X x]] E [Y ] : Il sui que : Var [E [Y j X x]] E (E [Y j X x]) 2i (E [E [Y j X x]]) 2 ; (32a) E[Y ] E (E [Y j X x]) 2i (E [Y ]) 2 : (32b) Mais cee dernière expression implique que : E (E [Y j X x]) 2i Var [E [Y j X x]] + (E [Y ]) 2 : (33) Subsiuons mainenan (33) dans (30b) : E [Var [Y j X x]] E Y 2 E (E [Y j X x]) 2i ; Var[E[ Y jxx]]+(e[y ]) 2 par (33) E Y 2 Var [E [Y j X x]] (E [Y ]) 2 : En regroupan les ermes, on reconnai l expression pour la variance incondiionnelle de Y : d où, en réarragean : E [Var [Y j X x]] E Y 2 (E [Y ]) 2 Var[Y ] Var [Y ] Var [E [Y j X x]] ; Var [E [Y j X x]] Var [Y ] E [Var [Y j X x]] + Var [E [Y j X x]] : [QED] 5
6 3 Comprendre la procédure de variables insrumenales Une excellene discussion de ce qui sui es fourni dans Heckman, Urzua, e Vylacil (2006). Considérons un insrumen scalaire J(Z) consrui à parir du veceur Z. L esimaeur de variables insrumenales, condiionnellemen sur X x, es alors donné par sa forme abiuelle : IV (x; J (z)) Cov [J(Z); Y j X x] Cov [J(Z); Dj X x] : (34) 3. Le numéraeur de l esimaeur par variables insrumenales Considérons le numéraeur de (34) : Cov [J(Z); Y j X x] E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) Y j X x] ; (35) où nous avons sousrai l espérance de J(Z) condiionnelle sur X (l expression J(Z) E [ J(Z)j X x]), mais avons laissé Y "inac" (nous pouvons le faire parce que nous coninuons à condiionner sur X dans la dernière parie du croce exérieur). 4 Réécrivons l équaion (4) comme : e subsiuons dans (35) : Y DY + ( D)Y 0 Y 0 + D (Y Y 0 ) ; (36) Cov [J(Z); Y j X x] E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) Y j X x] ; (37a) 2 3 (J(Z) E [J(Z)j X x]) E 4 (Y 0 + D (Y {z Y 0 )) jx x } 5 : (37b) Y par (36) En développan cee dernière expression, on obien : (J(Z) E [J(Z)j X x]) Cov [J(Z); Y j X x] E (Y 0 + D (Y Y 0 )) X x ; (38a) E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) Y 0 j X x] (38b) +E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) D (Y Y 0 )j X x] : La deuxième ypoèse iniiale éai que Z consiuai une resricion d exclusion valide : (U 0 ; U ; U D ) son indépendans de Z, condiionnellemen sur X, ((U 0 ; U ; U D )? Zj X) ce qui implique, enre aures, que Y 0 es indépendan de Z, condiionnellemen sur X (Y 0? Zj X). Il sui que : ce qui implique que : E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) Y 0 j X x] 0; (39) Cov [J(Z); Y j X x] E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) Y 0 j X x] 0 par (39) +E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) D (Y Y 0 )j X x] (40) E [(J(Z) E [J(Z)j X x]) D (Y Y 0 )j X x] : (4) Remarquez, e c es ici le poin crucial de l approce de Heckman, que cee dernière expression ne s annule pas, car si J(Z) (e donc J(Z) E [J(Z)j X x]) es bel e bien indépendan de Y Y 0 condiionnellemen sur X ((Y Y 0 )? Zj X ) (Y Y 0 )? J(Z)j X), il n es pas indépendan de D, e donc n es pas indépendan 4 Remarquez qu une applicaion direce de la dé niion d une covariance aurai donné : Cov [ J(Z); Y j X x] E [(J(Z) E [ J(Z)j X x]) (Y E [ Y j X x])] ; mais que nous coisissons l écriure de l équaion (35) pour des raisons qui deviendron claires par la suie. 6
7 de D (Y Y 0 ). Si J(Z) éai indépendan de D, J(Z) ne serai pas un insrumen valide, car il ne saisferai pas la première ypoèse iniiale : D (Z) es une variable aléaoire non-dégénérée, condiionnellemen sur X. Dé nissons mainenan : ej(z) J(Z) E [J(Z)j X x] ; (42) e rappellons, par l équaion (3), que D [P (Z) > U D ]. Nous pouvons alors écrire : 2 3 (J(Z) E [J(Z)j X x]) Cov [J(Z); Y j X x] E ej(z) 6 X x7 (43a) 4 {z} D (Y Y 0 ) 5 [P (Z)>U D ] i E ej(z) [P (Z) > UD ] (Y Y 0 ) X x) : (43b) Remarquons mainenan, par la Loi des espérances iérées, que : i E ej(z) [P (Z) > UD ] (Y Y 0 ) X x i E ej(z) [P (Z) > UD ] E [Y Y 0 j X x; Z z; U D u D ] X x : (44) Mais par la deuxième ypoèse iniiale, (U 0 ; U ; U D ) son indépendans de Z, condiionnellemen sur X. Il sui que Y Y 0 es indépendan de Z, condiionnellemen sur X. Nous pouvons donc écrire : E [(Y Y 0 )j X x; Z z; U D u D ] E [Y Y 0 j X x; U D u D ] ; (45) ce qui implique que : i E ej(z) [P (Z) > UD ] (Y Y 0 ) X x i E ej(z) [P (Z) > UD ] E [Y Y 0 j X x; U D u D ] X x : (46) En remplaçan (46) dans (43b), on obien : i Cov [J(Z); Y j X x] E ej(z) [P (Z) > UD ] E [Y Y 0 j X x; U D u D ] X x : (47) Appliquons à nouveau la Loi des espérances iérées : ej(z) [P (Z) > U Cov [J(Z); Y j X x] E D ] E [Y Y 0 j X x; U D u D ] X x ; (48a) 2 " # 3 ej(z) [P (Z) > 6 E 4 E UD ] 7 X x; U D u D X x5 ; (48b) E [Y Y 0 j X x; U D u D ] " i # E ej(z) [P (Z) > UD ] X x E (48c) E [Y Y 0 j X x; U D u D ] Rappellons que : d où : E [Y Y 0 j X x; U D u D ] MT E (x; u D ) ; (49) 2 i E ej(z) 3 [P (Z) > UD ] X x 6 7 Cov [J(Z); Y j X x] E 4 E [Y Y 0 j X x; U D u D ] 5 (50a) MT E (x;u D ) " i # E ej(z) [P (Z) > UD ] X x E MT E (x; u D ) (50b) 7
8 Noons que l espérance "inerne" dans cee dernière expression peu se réécrire : i i E ej(z) [P (Z) > UD ] X x E ej(z) P (Z) > UD ; X x Pr [P (Z) > U D j X x] : En subsiuan (5) dans (50b), nous pouvons alors écrire : " i E ej(z) P (Z) > UD ; X x Cov [J(Z); Y j X x] E Pr [P (Z) > U D j X x] MT E (x; u D ) # (5) : (52) Rappellons mainenan que U D Unif[0; ] condiionnellemen sur X (ce qui implique que sa densié es égale à ). Il en découle que nous pouvons écrire l espérance "exerne" en ermes d une inégraion par rappor à u D : " i # E ej(z) P (Z) > UD ; X x Cov [J(Z); Y j X x] E ; (53a) Pr [P (Z) > U D j X x] MT E (x; u D ) 8 i 9 Z >< E ej(z) P (Z) > UD ; X x > Pr [P (Z) > U D j X x] 0 >: >; du D: (53b) MT E (x; u D ) 3.2 Le dénominaeur de l esimaeur par variables insrumenales e la pondéraion de l e e marginal de raiemen Considérons mainenan le dénominaeur de (34) : En combinan (53b) e (54), on obien : Cov [J(Z); Dj X x] Cov [J(Z); P (Z)j X x] : (54) IV (x; J (z)) Cov [J(Z); Y j X x] Cov [J(Z); Dj X x] ( i E ej(z) P (Z) > UD ; X x R 0 Pr [P (Z) > U D j X x] MT E (x; u D ) Cov [J(Z); P (Z)j X x] (55) ) du D : (56) En posan : i E ej(z) P (Z) > UD ; X x Pr [P (Z) > U D j X x] IV (x; J(Z); u D ) Cov [J(Z); P (Z)j X x] ; (57) on peu alors écrire l esimaeur par les variables insrumenales : IV (x; J (z)) 4 La démonsraion de Yizaki (996) Z 0 MT E (x; u D ) IV (x; J(Z); u D ) du D : (58) Une démonsraion alernaive des pondéraions associées avec l esimaeur des variables insrumenales es fournie par Yizaki (996). Nous commencerons par l esimaeur des moindres carrés ordinaires, pour ensuie généraliser la démonsraion aux variables insrumenales. 8
9 4. Moindres carrés ordinaires Soien deux variables aléaoires Y e X, avec X f X (x). Soi g(x) E [Y j X x] l espérance de Y, condiionnelle sur X. Nous allons éudier la régression linéaire de la variable Y sur la variable X. L esimaeur des moindres carrés ordinaires du coe cien associé avec X es donné par : Cov [Y; X] : (59) Var [X] Considérons le numéraeur de cee expression. Par le résula que nous avons éabli à l équaion (9), nous savons que : Cov [Y; X] Cov [E [Y j X x] ; X] ; Cov [g(x); X] : (60) En développan cee expression, nous obenons : Prenons mainenan expliciemen les espérances : Cov [Y; X] Cov [g(x); X] ; (6a) E [(g(x) E [g(x)]) (X E [X])] : (6b) Cov [Y; X] Z + Z + Z + (g(x) E [g(x)]) (x X ) f X;Y (x; y) dydx; (62a) (g(x) E [g(x)]) (x X ) Z + f X;Y (x; y) dy dx; f X (x) (62b) où nous pouvons sorir (g(x) E [g(x)]) (x X ) de l inégrale "inerne" (celle par rappor à y) car l expression en quesion n es pas foncion de y. Nous pouvons alors réécrire la covariance comme : Cov [Y; X] Développons ensuie cee expression : Cov [Y; X] Z + Z + Z + e divisons en deux inégrales séparées : (g(x) E [g(x)]) (x X ) f X (x) dx: (63) (g(x) E [g(x)]) (x X ) f X (x) dx; (64a) [g(x) (x X ) (x X ) E [g(x)]] f X (x) dx; (64b) Cov [Y; X] que nous pouvons ensuie simpli er : Cov [Y; X] Z + Z + Z + g(x) (x X ) f X (x) dx (65) (x X ) E [g(x)] f X (x) dx; g(x) (x X ) f X (x) dx (66a) Z + E [g(x)] (x X ) f X (x) dx; 0 Z + g(x) (x X ) f X (x) dx: (66b) 9
10 Il sera uile pour la suie de réécrire cee expression en subsiuan une variable quelconque pour x : Posons : Cov [Y; X] Z + g() ( X ) f X () d: (67) u g(); v 0 ( X ) f X () ; (68a) u 0 g 0 (); v (x X ) f X (x) dx; (68b) où l expression pour v sui d une applicaion de la Règle de Leibniz (voir mon Livre de Cuisine, Recee ) : X ) f X ) X ) f X () X ) f X ( ) e donc : Inégrons par paries : {z} + (x X) f X (x) dx; (69) 0 0 X ) f X (x) dx ( X ) f X () : (70) e évaluons : Mais : Z + Cov [Y; X] Z + 2 g() ( {z} X ) f X () d; (7a) u v {z} g() (x X ) f X (x) dx7 5 u Z + Cov [Y; X] g(+) g( ) Z + v g 0 () {z} u 0 Z + Z + (x X ) f X (x) dx v d; (7b) (x X ) f X (x) dx (72) (x X ) f X (x) dx g 0 () (x X ) f X (x) dx d: Z + Z + (x X ) f X (x) dx xf X (x) dx X f X (x) dx (73a) X X 0; (73b) 0
11 e Z (x X ) f X (x) dx 0: (74) En oure, g(x) E [Y j X x] exise par ypoèse 8 la valeur prise par X, incluan + e que g(+) e g( ) son bornées e que : Z + g(+) (x X ) f X (x) dx 0 En remplaçan dans (72) on obien : Noons mainenan que : Cov [Y; X] Z. Il sui g( ) (x X ) f X (x) dx 0; (75) 0 g(+) R + (x X) f X (x) dx g( ) R (x X) f X (x) dx Z + Z + (x X ) f X (x) dx En subsiuan (77c) dans (76b), on obien : Cov [Y; X] Z + Z + Z + 0 g 0 () g 0 () g 0 () Z + (x X ) f X (x) dx (x X ) f X (x) dx Z + Z + d; d: (76a) (76b) (x X ) f X (x) dx (77a) (x X ) f X (x) dx; (x X ) f X (x) dx Z + Z + Z + g 0 () g 0 () En remplaçan (78c) dans (59), on obien donc : ou bien : Cov [Y; X] Var [X] Var [X] Z + Cov [Y; X] Var [X] Z + g 0 () Z + 0 (x X ) f X (x) dx; (77b) (x X ) f X (x) dx: (77c) (x X ) f X (x) dx d; (x X ) f X (x) dx d; (x X ) f X (x) dx d: Z + g 0 () Var [X] Z + Z + (x X ) f X (x) dx d; (x X ) f X (x) dx d; (78a) (78b) (78c) (79a) (79b) g 0 () OLS (; x) d; (80)
12 E e raiemen Spéci caion paramérique Valeur esimée (écar-ype) AT E P u D 2[0;] MT E (u D ) 0:2000 T T P (D ) N u D 2[0;] T UT P (D 0) N u D 2[0;] P N P N IV P (J) N u D 2[0;] N (u D ) Z Z u D 2[0;] (u D ) Z (u D ) Z Z u D 2[0;] (u D ) Z C o v [J;Z] (u D ) Z Z Z (0:0003) MT E (u D ) 0:2293 (0:0003) MT E (u D ) 0:707 (0:0003) Cov[J;D] MT E (u D ) 0:2000 (0:000) Tab. Valeurs esimées des rois e es raiemen, avec N Expérience Monecarlo basée sur 2000 réplicaions avec : OLS (; x) Var [X] Z + (x X ) f X (x) dx: (8) 5 Un reour sur le modèle de Roy (95) Dans la Figure??, nous représenons les pondéraions déjà obenues précédemmen, en rajouan celles correspondan à l esimaeur par variables insrumenales. Les rois premières lignes du Tableau?? reproduisen les résulas concernan les rois e es raiemen issues. La quarième ligne représene l esimaeur par les variables insrumenales Références Heckman, J. J., S. Urzua, e E. Vylacil (2006) : Undersanding Insrumenal Variables in Models wi Essenial Heerogeneiy, Review of Economics and Saisics, 88(3), Roussas, G. (997) : A Course in Maemaical Saisics. Academic Press, New York, NY, second edn. Wallenius, K. T. (97) : A Condiional Covariance Formula wi Applicaions, Te American Saisician, 25(3), Wooldridge, J. (200) : Economeric Analysis of Cross-Secion and Panel Daa. MIT Press, Cambridge, MA, s edn. Yizaki, S. (996) : On Using Linear Regressions in Welfare Economics, Journal of Business and Economic Saisics, 4(4),
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