TD 8 Espérance conditionnelle. 1 Propriétés élémentaires des espérances conditionnelles

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1 Processus aléatoires ENS Paris, 213/214 Bastien Mallein Bureau V2 TD 8 Espérance conditionnelle 31 mars 214 Dans toute la suite, (Ω, F, P) représente un espace de probabilité. 1 Propriétés élémentaires des espérances conditionnelles Exercice 1 (Positivité de l espérance conditionnelle). Soient G une sous-tribu de F et X une variable aléatoire positive sur Ω. Montrer que {E[X G] > } est le plus petit ensemble G-mesurable (aux ensembles négligeables près) qui contient {X > }. Démonstration. E(X G) est une variable aléatoire G-mesurable, donc {E[X G] > } G. De plus, on a E(X1 {E(X G)=} ) = E(E(X G)1 {E(X G)=} ) =, donc {X > } {E(X G) > } aux ensembles négligeables près. D autre part, pour tout A G tel que {X > } A, on a = E(X1 {A c }) = E(E(X G)1 {A c }), donc {E(X G) > } A aux ensembles négligeables près. Exercice 2 (Indépendance des espérances conditionnelles). 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p, q (, 1). On pose Z = 1 {X+Y >} et G = σ(z). Calculer E[X G] et E[Y G]. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes? 2. Soient U, T des variables aléatoires à valeurs dans des espaces mesurables quelconques (E, A) et (F, B) telles que pour toute sous-tribu G de F, pour toutes fonctions (f, g) : E F R 2 mesurables bornées, E[f(U) G] et E[g(T ) G] sont indépendantes. Montrer que U ou T est constante. Démonstration. Les ensembles {Z = } et {Z = 1} forment une partition de Ω, de plus E(X Z = ) = E(Y Z = ) = et E(X Z = 1) = p p + q pq, E(Y Z = 1) = q p + q pq, d où qe(x G) = pe(y G), qui sont proportionnelles donc non-indépendantes. On choisit pour f = 1 A et g = 1 B, avec A A et B B. Le résultat précédent implique que pour tout A, B A B, soit P(U A) {, 1}, soit P(T B) {, 1}, ce qui implique bien que l une de ces variables aléatoires est constante. Exercice 3 (Symétrie par rapport au pipe). On se donne deux variables aléatoires réelles positives X et Y, et on suppose que E[X Y ] = Y et E[Y X] = X. 1. Montrer que si X et Y sont dans L 2, alors X = Y p.s. 1

2 2. Montrer que pour toute variable aléatoire positive Z et tout a, E[Z Z a] a = Z a. 3. Montrer que le couple (X a, Y a) vérifie les mêmes hypothèses que le couple (X, Y ), et en déduire que X = Y p.s. Démonstration. On calcule E((X Y )) 2 = E(X 2 ) + E(Y 2 ) 2E(XY ), or E(XY ) = E(XE(Y X)) = E(X 2 ) = E(Y 2 ), donc X = Y p.s. Soit a >, on a dès lors E(Z Z a) a = Z a. On utilise alors l inégalité de Jensen E(Z Z a) = E(Z1 {Z<a} Z a) + E(Z1 {Z a} Z a) = E(Z a1 {Z a<a} Z a) + E(Z1 {Z a=a} Z a) = Z a1 {Z a<a} + E(Z1 {Z a} Z a)1 {Z a=a} E(X a Y a) E(X Y a) a or E(X Y a) a = E(E(X Y ) Y a) a = E(Y Y a) a = Y a. Par conséquent, on a E(X a Y a) Y a and E(Y a X a) X a. En particulier, E(X a) E(Y a), par conséquent, E(E(X a Y a) Y a) =, d où on conclut E(X a Y a) = Y a, car une variable aléatoire négative d espérance nulle est nulle. On conclut en utilisant que X a et Y a sont dans L 2. 2 Calculs d espérances conditionnelles Exercice 4 (Un calcul de loi conditionnelle). On se donne deux réels a et b strictement positifs, et (X, Y ) une variable aléatoire à valeurs dans Z + R + dont la loi est caractérisée par t (ay) n P(X = n, Y t) = b exp( (a + b)y)dy. n! Déterminer, pour toute fonction h mesurable bornée, E[h(Y ) X], et en déduire E[ E[1 {X=n} Y ] et enfin E[X Y ]. Démonstration. On calcule pour commencer + P(X = n) = b (ay)n e (a+b)y dy = b ( ) n a. n! a + b a + b Y (X+1) ]. Calculer ensuite 2

3 On a donc dès lors De plus, on a par conséquent, donc E(X Y ) = ay. E(h(Y ) X) = (a + b) X+1 R + y X X! e (a+b)y dy, [ ] Y [ R+ ((a + b)y) X+1 ] E = E e (a+b)y dy = 1 X + 1 (X + 1)! a + b. P(Y t) = b P(X = n Y ) = t e by dy, (ay )n e ay, n! Exercice 5 (Espérance conditionnelle de variables aléatoires exponentielles). Soient X 1,..., X n des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre λ. On note T = X X n. Calculer E[h(X 1 ) T ] pour toute fonction h : R R borélienne bornée. Que remarque-t-on lorsque n = 2? En déduire que, pour tout t >, [ E[h(X 1, X 1 + X 2,... X X n 1 ) T = t] = E h(tu (1),... tu (n 1)], avec U (1),... U (n 1) le réordonnement de U 1,... U n 1 des variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur [, 1]. Démonstration. Soit k N, on note s k = x x k, on a alors E(h(X 1 )f(t )) = λ n e λ(x1+ +xn) h(x 1 )f(x x n )dx donc R n + = λ n s 1 s n e λsn h(s 1 )f(s n )ds = λn h(s)f(t)(t s) n 2 e λt dsdt, (n 2)! s t E(h(X 1 ) T ) = T λ n (n 2)! h(s)(t s)n 2 ds. En particulier, si n = 2 la loi de X 1 conditionnellement à T est uniforme sur [, T ]. On observe également que [ ] E h(tu (1), tu (n 1) ) = 1 t n 1 h(s (1),... s (n 1) (n 1)! )ds = [,t] t n 1 h(s 1,... s n 1 )ds. n 1 s 1 s n 1 D autre part E[h(X 1, X 1 + X 2,... X X n 1 )f(t )] = λ n s 1 s n h(s 1,... s n 1 )f(s n )e λsn 3

4 et E(f(T )) = λn (n 1)! + f(t)t n 1 e λt dt. Exercice 6 (Convergence conditionnelle). On se donne (X i ) i 1 et (F i ) i 1 une suite de variables aléatoires positives et une suite de sous-tribus de F. On suppose que E[X i F i ] converge en probabilité vers. 1. Montrer que (X i ) i 1 converge en probabilité vers. 2. Montrer que la réciproque est fausse. Démonstration. Raisonnons par l absurde, et supposons qu il existe ɛ > tel que P(X i > ɛ) > ɛ infiniment souvent. On pose A i = {E(X i F i ) > ɛ 2 /1}, par hypothèse on a lim i + P(A i ) =. Dès lors, P(X i > ɛ, A c i ) ɛ/2 pour une infinité de i. Dès lors E[X i 1 A c i ] = E(E[X i F i ]1 A c i ) ɛ 2 /1 ce qui est une contradiction. 3 Pour aller plus loin E(X i 1 A c i ] E(X i 1 {Xi>ɛ,A c i } ) ɛ2 2, Exercice 7 (Indépendance conditionnelle). On dit que deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes conditionnellement à G si pour toutes fonctions f et g de R dans R mesurables positives, 1. Que signifie ceci si G = {, Ω}? Si G = F? E[f(X)g(Y ) G] = E[f(X) G]E[g(Y ) G]. 2. Montrer que la définition précédente équivaut à : pour toute variable aléatoire G-mesurable positive Z, pour toutes fonctions f et g de R dans R mesurables positives, E[f(X)g(Y )Z] = E[f(X)ZE[g(Y ) G]], et aussi à : pour toute fonction g de R dans R mesurable positive, E[g(Y ) G σ(x)] = E[g(Y ) G]. Démonstration. Si G est triviale, c est la définition de l indépendance, si c est F, les variables aléatoires sont toujours indépendantes. On suppose que pour toutes fonctions f, g mesurables positives, on a E(f(X)g(Y ) G) = E(f(X) G)E(g(Y ) G). Dès lors, pour toute variable aléatoire G-mesurable positive, alors E(f(X)g(Y )Z) = E [E(f(X)g(Y ) G)Z] = E [E(f(X) G)E(g(Y ) G)Z] = E [f(x)e(g(y ) G)Z]. 4

5 Réciproquement, on suppose que pour toute fonction mesurable positive f, g, et pour toute variable aléatoire G-mesurable positive Z, E(f(X)g(Y )Z) = E [f(x)e(g(y ) G)Z]. Alors, comme ZE(g(Y ) G) est G-mesurable positive, on a E(f(X)g(Y ) G) = E(f(X) G)E(g(Y ) G). De plus, sous ces conditions, pour tout borélien produit de σ(x) G, de la forme {X H} G, on a E(g(Y )1 {X H} 1 G ) = E(g(Y ) G)1 {X H} 1 G ). ce qui caractérise la variable aléatoire E(G(Y ) G σ(x)). La réciproque est évidente. Exercice 8 (Convergence L 2 de martingale rétrograde). Soit (F n, n ) une suite décroissante de sous-tribus de F, avec F = F. Soit X une variable aléatoire de carré intégrable. 1. Montrer que les variables E[X F n ] E[X F n+1 ] sont orthogonales dans L 2, et que la série (E[X F n ] E[X F n+1 ]) converge dans L Montrer que si F = n F n, on a Démonstration. On calcule, pour m < n n lim E[X F n] = E[X F ] dans L 2. n E [(E(X F n+1 ) E(X F n )) (E(X F m+1 ) E(X F m ))] = E [E(X F n+1 )E(X F m+1 ) E(X F n+1 )E(Y F m ) + E(X F n )E(Y F m+1 ) E(X F n )E(X F m )] = E [ E(X F m+1 ) 2 E(X F m ) 2 + E(X F m+1 ) 2 E(X F m ) 2] = ce qui montre que la famille est orthogonale. De plus, pour m = n, on a [ E (E(X F n+1 ) E(X F n )) 2] = E [ E(X F n ) 2 E(X F n+1 ) 2], donc [ E (E(X F n+1 ) E(X F n )) 2] < +, d où la convergence de la série dans L 2, par critère de Cauchy dans L 2. On déduit de la question précédente que E(X F n ) converge, on note Y la variable aléatoire limite. Par décroissance des tribus, on a Y est F n -mesurable pour tout n. C est donc une variable aléatoire F -mesurable. Or, par Jensen, Y = E(Y F ) = lim E [E(X F p) F ] = E(X F ) p + où la limite est prise dans L 2. 5

6 Exercice 9 (Biais par la taille conditionnel). Soit X une variable aléatoire strictement positive p.s. telle que E(X) = 1. On définit la mesure de probabilité P par A F, P(A) = E ( A X). Soit G une sous-tribu de F, montrer que pour toute variable aléatoire intégrable Y, E[X G]Ê[Y G] = E[XY G] p.s. En déduire une condition pour que P( G) = P( G) Démonstration. Soit Y une variable aléatoire mesurable, et Z une variable aléatoire G-mesurable, on a [ZÊ[Y ] Ê G] = Ê [Y Z] = E(XY Z) = E [ZE[XY G]]. Et d autre part [ZÊ[Y ] [XZÊ[Y ] [ZÊ[Y ] Ê G] = E G] = E G]E(X G), on a donc égalité. En particulier, si X est une variable aléatoire G-mesurable, on a Ê[Y G] = E(Y G). Exercice 1 (Propagation de la rumeur). Soit p (, 1), on considère le modèle de propagation de la rumeur suivant. L information initiale est 1, et chaque individu qui entend la rumeur (à la génération k) la transmet à deux nouvelles personnes (à la génération k +1) avec probabilité p, ou transmet l information contraire avec probabilité 1 p. Quel est la probabilité qu il existe un individu à la génération k possédant l information initiale jamais dégradée? Calculer l espérance et la variance de Z k le nombre d individus à la génération k qui ont reçu l information 1. Montrer que 2 n Z n converge p.s. 6