Feuille 2 : Espérances et lois conditionnelles

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1 Université Denis Diderot Paris 7 TD M1 ISIFAR Feuille 2 : Espérances et lois conditionnelles Exercice 1 Soient (Ω; A; P) un espace de probabilité, X et Y des v.a.r., T une v.a. à valeurs dans R d. Que peut-on dire, sous réserve d hypothèses d intégrabilité adéquates, des espérances conditionnelles suivantes : i) E( f (T) T) avec f : R d R borélienne, ii) E(X T) avec X σ(t)-mesurable, iii) E(XY T) avec Xσ(T)-mesurable, iv) E( f (X) T) avec f : R d R borélienne, X et T indépendantes, v) E(E(X T)), vi) E[S 10 S 8 ] lorsque S n = n i=1 X i et les (X i ) i 1 sont i.i.d., vii) E[S 31 X 1 ] lorsque S n = n i=1 X i et les (X i ) i 1 sont i.i.d., viii) E[Π 4 P 2 ] lorsque Π n = n i=1 X i et les (X i ) i 1 sont i.i.d., ix) E[φ(X, Y) Y] lorsque X et Y sont indépendantes, x) E[ f (S 2 + X 8 ) S 2 ], lorsque S n = n i=1 X i et les (X i ) i 1 sont i.i.d. Exercice 2 cours (conditionnement discret) 1. Soit (A n, n N ) une partition de Ω et F = σ(a n, n 1) la tribu engendrée par les A n, n 1. Rappelons qu une v.a.r. Y est F -mesurable si et seulement si il existe une suite de rééls (a n ) telle que Y = n 1 a n 1 An. Exprimer E[X F ]. 2. Soient X, Y deux variables i.i.d. Ber(p). On considère G = σ({x + Y = 0}). Calculer E[X G], E[Y G]. Les variables obtenues sont-elles toujours indépendantes? Exercice 3 cours (conditionnement lorsqu il existe une densité jointe) Soient (X, Y) un couple de v.a. réelles de densité jointe f. Rappeler l expression de ψ telle que E[Y X] = ψ(x). 1. On considère X, Y de densité jointe f (x, y) = 1 x 1 {0 y x 1}. Quelle est la loi de X? Calculer la distribution conditionnelle f Y X de Y sachant X. Calculer P(X 2 + Y 2 1 X), puis en déduire P(X 2 + Y 2 1). 2. Dans le cas général, montrer que E[E[Y X]] = E[Y]. Que vaut E[Y] dans l exemple de la question précédente? 3. Montrer, dans le cas général, que E[E[Y X]g(X)] = E[Yg(X)], pour toute fonction g telle que les deux espérances sont définies. Que vaut E[Yg(X) X]? 1

2 Exercice 4 (Partiel 2010) Soient 0 r p 1 tels que 1 2p + r 0. Soient X 1, X 2 tels que P(X 1 = 1, X 2 = 1) = r, P(X 1 = 0, X 2 = 1) = p r, P(X 1 = 1, X 2 = 0) = p r, P(X 1 = 0, X 2 = 0) = 1 2p + r. 1. Quelle est la loi de X 1? celle de X 2? 2. Calculer Y = E[X 1 X 2 ] et vérifier que p r 1 p Y = r p avec probabilité 1 p avec probabilité p. 3. Rappelons que par définition Var[X 1 X 2 ] = E[X 2 1 X 2] E[X 1 X 2 ] 2. Montrer que p r Var[X 1 X 2 ] = 1 p ( ) 2 p r 1 p 1 {X2=0} + r ( 2 r p p) 1 {X2 =1}. 4. Que vaut Var(E[X 1 X 2 ])? E[Var[X 1 X 2 ]]? Vérifier qu on a bien Var(X 1 ) = Var(E[X 1 X 2 ]) + E[Var[X 1 X 2 ]]. Exercice 5 Soit (X n ) une suite de v.a.r.i.i.d intégrables, et S n = n i=1 X i. 1. Que valent E[X 1 X 2 ], E[S n X 1 ], E[S n S n 1 ]? 2. Montrer que si les paires de variables (X, Z), (Y, Z) ont la même loi jointe, alors pour toute fonction réelle positive (ou intégrable), E[ f (X) Z] = E[ f (Y) Z]. En déduire E[X 1 S n ]. Exercice 6 (Examen 10) Soit (X n, n 0) une suite de variables i.i.d, avec X 1 Ber(1/2). On pose S n = n i=1 (X i 1/2), F n = σ(x 1,..., X n ). Calculer E[S n F 5 ] en fonction de n. Quelle est la loi de cette variable aléatoire? Exercice 7 On considère un processus de Galton-Watson de loi de branchement P(ξ = 0) = P(ξ = 2) = 1/2. issu à la génération 0 d un unique individu ancestral. On note Z n la taille de la population à la génération n. Exprimer E[(Z 2 1) 2 Z 1 ]. Exercice 8 (Partiel 2009) Soient {e i, i N} des variables i.i.d exponentielles de paramètre λ > 0. Pour n N on note S n := n i=1 e i. 1. On note f n la fonction de densité de la variable S n. Montrer que pour tout t 0 f n (t) = tn 1 (n 1)! exp( t). 2

3 2. Pour t > 0, n N, que vaut P(S n t)? 3. On fixe t > 0 et on suppose X t Poisson(t). Que vaut P(X t n), pour n N? 4. Sur la demi-droite R + on place les points S 1, S 2, S 3,... On note N t le nombre de ces points qui tombent dans l intervalle [0, t]. Exprimer l événement {N t n} = {S n t}. Déterminer la loi de N t à l aide des questions préc dentes. 5. Montrer que, conditionnellement à {N t = 1}, la loi de e 1 est uniforme sur [0, t]. 6. Conditionnellement à {N t = 2}, quelle est la loi du vecteur (e 1 ; e 2 )? Exercice 9 (Partiel 2009) Soit (X 1, X 2, X 3 ) N(µ, M) où 1. Quelle est la loi du couple (X 1, X 2 )? µ = 0, M = Déterminer α un réel tel que Y = αx 1 + X 2 est indépendante de X 1. Que vaut E[Y]? Var(Y)? 3. En déduire E[X 2 X 1 ]. Quelle est la loi conditionnelle de X 2 sachant X 1? 4. Déterminer un réel β tels que Z = βx 1 + X 3 est indépendante de X 1. En déduire 5. Calculer E [ X 2 1 X 2 + X 2 3 X 1 X 1 ]. E[X 3 X 1 ], E[X 2 3 X 1]. Exercice 10 (Examen 2011) Soit (X 1, X 2, X 3 ) N(µ, M), où 0 1 1/2 2 µ = 1, M = 1/ Calculer E[X 1 + 2X 2 X 3 ]. Quelle est la loi conditionnelle de X 1 + 2X 2 sachant X 3? Exercice 11 (Partiel 2010) I. On considère le couple (X, Z) de densité jointe 1. Calculer la loi de X, puis celle de Z. 2. En déduire que f (x, z) := (z x) exp( z)1 {z x 0}. f X Z (x z) = 3. Calculer E[X Z], puis Var[X Z]. 2(z x) z 2 1 {0 x z}. 4. Calculer f Z X (z x), puis démontrer que E[Z X] = X

4 5. Quelle est la loi du couple (X, Z X)? En déduire la loi de Z X. II. 1. Soit z > 0. On suppose que U z 1 Unif[0, z], Uz 2 Unif[0, z] et que Uz 1 est indépendante de U z 2. Calculer la densité de min(uz 1, Uz 2 ). 2. On suppose à présent que conditionnellement à Z, U Z 1 Unif[0, Z], UZ Unif[0, Z] 2 et que U Z 1 est (toujours conditionnellement à Z) indépendante de UZ 2. Montrer que, conditionnellement à Z, min(u Z 1, UZ ) a la même loi que X Soient X 1, X 2, X 3 trois variables indépendantes, toutes trois distribuées suivant la distribution exponentielle de paramètre 1. On note S = X 1 + X 2 + X 3. Déterminer la loi de (X 1, S). Que vaut E[X 1 S]? E[S X 1 ]? Montrer finalement que conditionnellement à S, le couple (X 1, X 1 + X 2 ) a la même loi que ( min(u S 1, US 2 ), max(us 1, US 2 )). Exercice 12 (Partiel 2011) Pour (x, y) R 2 on définit f (x, y) := 4y x 3 1 {0<x<1,0<y<x 2 }. 1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité, puis calculer les densités marginales f X, f Y. 2. Calculer f Y X (y x) et en déduire que E[Y X] = 2 3 X2. 3. Montrer que puis calculer E[X Y]. f X Y (x y) = 2y 1 1 y x 3 1 {0<x<1,0<y<x 2 }, Exercice 13 (Rattrapage 2011) Soit X = (X 1, X 2, X 3 ) N(0, M), où M := 2 5 1, Montrer que det(m) = 0. Le vecteur X possède-t-il une densité dans R 3? 2. Trouver a R tel que X 1 et Y = X 2 ax 1 soient indépendantes. Calculer Var(Y) et en déduire la loi de (X 1, Y). 3. Trouver la loi conditionnelle de X 2 sachant X 1. Exercice 14 On considère X 0 = 0, et (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, identiquement distribuées suivant la loi normale centrée réduite. 4

5 On introduit les variables Y i = X i X i 1, i 1. i 1. Pour n 1, montrer que le vecteur (Y 1,..., Y n ) est gaussien, puis calculer le vecteur moyenne et la matrice de covariances de (Y 1,..., Y n ). 2. Calculer, pour n 1, E[Y n+1 Y n ]. Exercice 15 Soient (X, Y) dont la loi jointe a pour densité f (x, y) = x(y x) exp( y), 0 x y <. On introduit la notation f X Y (x y) := f (x, y)/ f Y (y) 1. Exprimer f X Y (x y), puis f Y X (y x). 2. En déduire les expressions de E[X Y], E[Y X]. Exercice 16 Soient Y, Z deux v.a.r. indépendantes exp(λ) où λ > 0. On pose X = Y + Z. Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant X? Que vaut E[Y X]? En déduire l expression de E[Y X] Exercice 17 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, toutes deux normales centrées réduites. On définit pour σ 1 > 0, σ 2 > 0, ρ 1, U = σ 1 X, V = σ 2 ρx + σ 2 1 ρ 2 Y. 1. Quelle est la loi de (U, V)? 2. Que vaut E[UV]? 3. Que vaut E[U V]?E[V U]?var[U V]?var[V U]? Exercice 18 Soit Z = (X, Y) un vecteur aléatoire gaussien à valeurs dans R 2. On suppose que E(X) = E(Y) = 0, Var(X) = Var(Y) = 1 et que Cov(X; Y) = ρ avec ρ 2 1. On pose U = X ρy, V = 1 ρ 2 Y. 1. Quelles sont les lois de U et V? Les v.a. U et V sont-elles indépendantes? 2. Calculer E(U 2 V 2 ), E(UV 3 ), E(V 4 ). En déduire E(X 2 Y 2 ). Exercice 19 Soient X 1, X 2, X 3 trois v. a. r. gaussiennes centrées réduites indépendantes. On pose U = 2X 1 X 2 X 3, V = X 1 + X 2 + X 3, W = 3X 1 + X 2 4X Quelles sont les lois de U, V et W? Quels sont les couples de v.a. indépendantes parmi les couples (U, V), (U, W), (V, W)? 2. Montrer qu il existe a R tel que W = au + Z avec U et Z indépendantes. En déduire E(W U). Exercice 20 Soient X et Y deux v. a. r. gaussiennes centrées réduites indépendantes. On pose Z = X + Y, W = X Y. 5

6 1. Montrer que Z et W sont indépendantes. Quelle est la loi de W? 2. En déduire l espérance conditionnelle et la loi conditionnelle de X sachant Z. 3. Calculer E(XY Z) et E(XYZ Z). Exercice 21 Soient U, V, W trois v.a.r. gaussiennes centrées réduites. On pose Z = U + VW 1 + W Quelle est la loi conditionnelle de Z sachant W? 2. En déduire que Z et W sont indépendantes et donner la loi de Z. Exercice 22 Soient X 1 et X 2 des v.a. indépendantes, de lois exponentielles de paramètres respectifs λ 1 et λ Calculer E[max(X 1, X 2 ) X 1 ]. 2. Calculer E[max(X 1 ; X 2 )]. Exercice 23 On pose h(x) = 1 Γ(a+1) exp( x)xa 1 (a > 0 fixé) et D = {0 < y < x}. Soit f (x, y) = h(x)1 D (x, y) : 1. Montrer que f est une densité de probabilité sur R 2. On considère dans la suite un couple (X, Y) de v.a.r. de densité f. 2. Les v.a. X et Y/X sont-elles indépendantes? 3. Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant X? 4. Soit U une v.a.r. indépendante du couple (X, Y) telle que P(U = 1) = p et P(U = 0) = 1 p. On pose Z = UX + (1 U)Y. Quelle est l espérance conditionnelle de Z sachant X? Exercice 24 Soit (X n, n N) une suite de v.a.r.i.i.d. de densité f et fonction de répartition F. Soient N := min{n 1 : X n > X 0 } et M := min{n 1 : X 0 X 1... X n 1 < X n }. 1. Trouver P(N = n), puis montrer que la fonction de répartition de N est F + (1 F) log(1 F) (on pourra conditionner par les événements {N = n}, n N). 2. Exprimer P(M = m), m On suppose dans cette question que f = 1 [0,1]. Pour x (0, 1) on introduit R x := min{n 1 : X X n > x}. Montrer que E[1 R x >n X n ] = E[1 R x Xn >n 1]. En déduire H n (x) := P(R x > n). Exercice 25 Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. 1. Quelle est l espérance conditionnelle de (Y X) + sachant X? 2. Quelle est la loi conditionnelle de (Y X) + sachant X? 6

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