Econométrie. Romain Aeberhardt. Février R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

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1 Econométrie 1ère séance Romain Aeberhardt Supélec Février 2011 R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

2 Plan 1 Introduction 2 Le modèle linéaire simple 3 Le modèle linéaire multiple R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

3 Qu est-ce que l économétrie? Retour sur la définition statistique / économétrie / analyse quantitative théorie économique causalité et pas uniquement description Exemples de questions traitées Salaire minimum et emploi Discrimination (testing,...) Taille des classes et réussite scolaire Crime et chômage Éducation et santé... R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

4 Qu est-ce qu un modèle économétrique Variables expliquées et explicatives Relations entre les variables Un modèle : pour répondre à une question L exemple de l équation de salaire R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

5 Qu est-ce qu une étude économétrique Une relation causale à étudier Une expérience idéale qui permettrait de mesurer cette relation causale Une stratégie d identification Un mode d inférence (la technique statistique/économétrique) R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

6 Structure des données économétriques données transversales (cross-section) séries temporelles données de panel R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

7 La notion de toutes choses égales par ailleurs Exemple des rendements de l éducation R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

8 Distribution conditionnelle R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

9 Espérance conditionnelle 1 Espérance conditionnelle de Y i sachant X i : E(Y i X i ) Loi des espérances itérées: E(Y i ) = E X (E(Y i X i )) Propriété de décomposition: Y i = E(Y i X i ) + ε i, avec 1 E(ε i X i ) = 0 2 ε i non corrélé avec n importe quelle fonction de X i. N importe quelle variable peut être expliquée en une part qui est expliquée par X et une part qui est orthogonale à X. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

10 Espérance conditionnelle 2 Propriété de prédiction: soit m(x i ) une fonction de X i, l espérance conditionnelle est telle que: E(Y i X i ) = argmin m(x i ) E[(Y i m(x i )) 2 ] E(Y i X i ) est le prédicteur de Y i qui minimise l erreur quadratique moyenne étant donné X i Propriété d analyse de la variance (ANOVA): V(Y i ) = V(E(Y i X i )) + E(V(Y i X i )) R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

11 Justification de la régression linéaire 1 Si l espérance conditionnelle est une fonction linéaire des X, alors la régression permet de l obtenir. 2 La fonction X i β est la meilleure approximation linéaire de Y i sachant X i au sens de la minimisation de l erreur quadratique moyenne 3 La fonction X i β est la meilleure approximation linéaire de E(Y i X i ) au sens de la minimisation de l erreur quadratique moyenne: β = argmin b E[(E(Y i X i ) X i β) 2 ] R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

12 R. Aeberhardt estimates(dares should be et CREST) interpreted. Whatever a regression Econométrie coe cient may mean, it has a sampling Février distribution / 43 Régression de l espérance conditionnelle 3.1. REGRESSION FUNDAMENTALS 31 Figure A conditional expectation function and weighted regression line Log weekly earnings, $ Years of completed education Sample is limited to white men, age Data is from Census IPUMS 1980, 5% sample. Figure 3.1.2: Regression threads the CEF of average weekly wages given schooling

13 Plan 1 Introduction 2 Le modèle linéaire simple 3 Le modèle linéaire multiple R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

14 Première approche Modèle linéaire simple y = α + βx + u où u est le terme d erreur. Comouvement de x et y? Retour sur le lien salaire-éducation R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

15 Hypothèse : Nullité de l espérance de l erreur E(u) = 0 Dès que l on introduit α, aucune perte de généralité. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

16 Hypothèse : Nullité de l espérance conditionnelle E(u x) = 0 u n est corrélé avec aucune fonction de x. E(y x) = α + βx L augmentation de x d une unité augmente l espérance de y de β. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

17 Hypothèse : Nullité de l espérance conditionnelle E(u x) = 0 u n est corrélé avec aucune fonction de x. E(y x) = α + βx L augmentation de x d une unité augmente l espérance de y de β. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

18 Hypothèses sur l échantillon On suppose que dans la population, le lien entre x et y est régi par le modèle linéaire simple. On suppose que l on dispose d un échantillon de taille N, {x i, y i } i=1...n, tiré de manière aléatoire dans la population. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

19 Vers l estimateur des MCO Définition par les moments. Définition par les moindres carrés. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

20 Propriétés algébriques (1) On définit : le résidu û i = y i ˆα ˆβx i la valeur prédite ŷ i = ˆα + ˆβx i On a : 1 ûi = 0 2 xi û i = 0 3 ( x, ȳ) est sur la droite de régression R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

21 Propriétés algébriques (2) De plus avec : SCT = (y i ȳ) 2 SCE = (ŷ i ȳ) 2 SCR = (û i ) 2 On a : SCT = SCE + SCR R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

22 Apprécier la qualité du modèle R 2 = SCE/SCT = 1 SCR/SCT Part de la variance expliquée dans la variance totale R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

23 Propriétés statistiques de l estimateur des MCO : Hypothèses (H 1 ) Modèle linéaire simple dans la population (H 2 ) Echantillon aléatoire de la population (H 3 ) Variabilité de la variable dépendante (H 4 ) Espérance conditionnelle nulle de l erreur R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

24 Propriétés de l espérance de l estimateur des MCO Sous ces hypothèses, l estimateur des MCO est sans biais E( ˆβ x) = β E(ˆα x) = α R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

25 Une hypothèse supplémentaire (H 5 ) Homoscédasticité : V (u i x) = σ 2 La variance de l erreur est supposée égale pour tous les individus de l échantillon. Les hypothèses (H 1 )-(H 5 ) sont appelées hypothèses de Gauss-Markov. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

26 Propriétés de la variance de l estimateur des MCO Sous ces cinq hypothèses, la variance de l estimateur des MCO est: V ( ˆβ x) = σ 2 (xi x) 2 On a aussi : V (ˆα x) = σ 2 x 2 i N (x i x) 2 R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

27 Estimation de la variance de l estimateur des MCO On a besoin d estimer σ 2. Un estimateur est : ˆσ 2 = û2 i N 2. E(ˆσ 2 ) = σ 2 : Sans biais [On admet ça pour le moment]. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

28 La régression par l origine Il est tout à fait possible d estimer le modèle sans constante : Dans ce cas, ˆβ = xi y i x 2 i. Quand utiliser cet estimateur? y = βx + u si l on a de fortes raisons théoriques de penser que α = 0 si l on a centré les variables x i = x i x R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

29 Application graphique Représenter graphiquement un nuage de points et une droite de régression qui pourraient correspondre à la situation suivante: Régression du log(poids) en fonction de la taille â = 3 ˆb = 0.01 écart-type des résidus σ = 0.2 R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

30 Plan 1 Introduction 2 Le modèle linéaire simple 3 Le modèle linéaire multiple R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

31 Première approche Modèle linéaire multiple y = X β + u où u est le terme d erreur, β vecteur de dimension K. Plus intéressant : interprétation en toutes choses égales par ailleurs Retour sur le lien salaire-éducation R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

32 Les hypothèses de Gauss-Markov dans le cadre multiple (H 1 ) Modèle linéaire multiple dans la population (H 2 ) Echantillon aléatoire de la population (H 3 ) Pas de colinéarité entre les variables explicatives (H 4 ) Espérance conditionnelle nulle de l erreur (H 5 ) Homoscédasticité : Var(u i ) = σ 2 R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

33 L estimateur des moindres carrés dans le cadre multiple ˆβ = (X X ) 1 (X Y ) Sous (H 1 )-(H 4 ), cet estimateur est sans biais Sous (H 1 )-(H 5 ), sa variance est (X X ) 1 σ 2 R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

34 Apprécier la qualité du modèle R 2 = SCE/SCT = 1 SCR/SCT Part de la variance expliquée dans la variance totale R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

35 Estimer la variance de l estimateur On cherche à estimer σ 2. Un estimateur sans biais est ˆσ 2 = 1 û2 N K i R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

36 Notations géométriques Souvent, pour penser le formalisme matriciel des MCO, il est utile d utiliser les notations géométriques suivantes P X = X (X X ) 1 X M X = I X (X X ) 1 X P X et M X sont symétriques P X et M X sont des projecteurs On récrit ŷ i = P X y i, û i = M X y i. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

37 Le théorème de Frisch-Waugh Partition des explicatives: X = (X 1 X 2 ), β = (β 1, β 2 ). On régresse d abord y sur X 1 et X 2 sur X 1 et on récupère les résidus M 1 y et M 1 X 2. En régressant M 1 y sur M 1 X 2, on récupère l estimateur ˆβ 2 des MCO. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

38 Une interprétation des MCO après Frisch-Waugh Si on sépare la jeme colonne des autres, M ( j) X j est le résidu de l équation de X j sur toutes les autres variables. ˆβ j s obtient par la régression de y sur M ( j) X j. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

39 Variance de l estimateur des MCO après Frisch-Waugh Var( ˆβ j ) = σ 2 (1 R 2 j )SCT j SCT j est la variance empirique de la jeme variable R 2 j est le R 2 de la régression de X j sur toutes les autres variables R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

40 Mauvaise spécification Soit le modèle y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + u. On note ˆβ 1 l estimateur relatif à x 1 de la régression de y sur x 1 et x 2 β 1 l estimateur de la régression de y sur x 1 β 1 est biaisé si : 1 β 2 0 ET 2 Cov(x 1, x 2 ) 0. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

41 Mauvaise spécification Soit le modèle y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + u. On note ˆβ 1 l estimateur relatif à x 1 de la régression de y sur x 1 et x 2 β 1 l estimateur de la régression de y sur x 1 β 1 est biaisé si : 1 β 2 0 ET 2 Cov(x 1, x 2 ) 0. R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

42 Mauvaise spécification (2) En termes de variances, Var( ˆβ 1 ) = σ 2 (1 R 2 1 )SCT 1 Var( β 1 ) = On a toujours σ2 SCT 1 Var( ˆβ 1 ) Var( β 1 ) R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

43 Anatomie d une régression β k = Cov(Y i, x ki ) V( x ki ) où x ki est le résidu de la régression de x ki sur les autres covariables (partialling out). R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

44 Biais de variables omises Régression théorique du salaire sur le nombre d années d études et les compétences individuelles: Y i = α + ρs i + A iγ + ε i δ As S i. Cov(Y i, S i ) V(S i ) = ρ + γ δ As correspondant au résultat des régressions de chaque élément de A i sur R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43

45 Efficacité des MCO Sous les hypothèses de Gauss-Markov, ˆβ est le meilleur estimateur linéaire non-biaisé. β = i w i y i t.q. E( β) = β, Var( β) Var( ˆβ) R. Aeberhardt (DARES et CREST) Econométrie Février / 43