Cours 04 : Réduction des endomorphismes

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1 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 1 Cours 04 : Réduction des endomorphismes Nous avons vu en première année la simplification, dans l étude des puissances d une matrice M, que procure le fait de disposer d une matrice diagonale (ou dans une moindre mesure triangulaire) D semblable à M Toute la problématique de ce cours, reposant sur ce constat, se résume essentiellement en deux questions : Existe-t-il une matrice diagonale D semblable à M? Auquel cas, son dira que la matrice M est diagonalisable Un endomorphisme sera dit DZ lorsqu il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale, ce qui est équivalent à dire qu il existe une base (e 1,, e n ) de E telle que pour tout i [[1, n]], f(e i ) est proportionnel à e i On dira d un tel vecteur qu il est un vecteur propre de f, et le coefficient de proportionnalité sera appelé valeur propre Dans le cas où la matrice (ou bien l endomorphisme) est DZ, quelle est la matrice diagonale D qui lui est semblable? Et quelle est la matrice de passage sous-jacente? Dans tout ce cours E sera un K espace vectoriel Nous commencerons par un rappel sur ces deux relations d équivalence 1 Eléments propres d un endomorphisme 1 Sous-espaces stables Si u est bijective et F stable de dimension finie, alors sa restriction est injective (car u l est), donc bijective et F est u 1 stable Si F et G sont u stables, alors leur somme et leur intersection le sont Transition vers les sous-espaces propres 2 Définitions Soit u : E E un endomorphisme du K espace vectoriel E Nous utiliserons intensivement que pour tout x E et tout λ K, x ker(u λid E ) u(x) = λx, et nous noterons, comme il est d usage, E λ (u) = ker(u λid E ) Définition 11 (Eléments propres d un endomorphisme) 1 Soit λ un scalaire λ est une valeur propre de l endomorphisme u E λ (u) {0 E } dim E λ (u) 1 x E, x 0 E / u(x) = λx { x 0E 2 Soit x E x est un vecteur propre de u λ K, u(x) = λx 3 Le spectre de u, (noté Sp(u) K) est l ensemble des valeurs propres de u 4 Si λ est une valeur propre de u, on dit que E λ (u) est le sous espace propre de u associé à λ

2 Cours 04 : Réduction des endomorphismes est une valeur propre de u u n est pas injective, car alors l espace propre associé est E 0 (u) = ker u 2 Si λ est une valeur propre de u, alors E λ (u) est constitué des vecteurs propres associés à λ, ainsi que du vecteur nul 3 Si p est un projecteur non trivial, Sp(p) = {0, 1} 4 Si s est une symétrie non triviale, alors Sp(s) = { 1, 1} Tiens, d ailleurs, quels sont les sous-espaces propres? 5 Si u(f) = f, Sp(u) = R 6 E 2 ( Diag(2, 3, 4, 2) ) = Vect (e1, e 4 ) 7 Importance du corps de base! On écrit parfois Sp R, Sp C Exemple du quart de tour 8 On a montré en TD que u est une homothétie si et seulement si tous les sous-espaces vectoriels sont u stables Définition 12 Soit M M n (K) et L M K n K n l endomorphisme canoniquement associé Les vecteurs X MX propres, valeurs propres et sous-espaces propres de M seront par définition ceux de L M A nouveau, les matrices triangulaires nous dispensent de calculs fastidieux : Proposition 13 (Sp(T ), où T T n (K)) Soit T une matrice triangulaire M n (K) Alors le spectre de T est exactement l ensemble des coefficients diagonaux 3 Propriétés des éléments propres Sur E = C (R, R), la dérivation admet une infinité de valeurs propres (tous les réels en fait) Ceci n est pas possible en dimension finie : Proposition 14 (Espaces propres) Soit u L (E) 1 Soient λ 1,, λ p des valeurs propres deux à deux distinctes de u Les espaces propres E λ1,, E λp sont en somme directe : E λ1 + + E λp = E λ1 E λp 2 Si E est de dimension finie, le cardinal du spectre est inférieur à la dimension de E Démonstration : 1 Par récurrence sur kp 2 : i [[1, p]], x i E λi (u), si p i=1 x i = 0 E, alors tous les x i sont nuls 2 La dimension d une somme directe est la somme des dimensions Rappelons par ailleurs que dans le cas de la dimension finie, p E = p i=1f i dim F i = dim E i=1

3 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 3 Proposition 15 (Stabilité et commutation) Soit u et v deux endomorphismes de E tels que u v = v u Alors pour tout λ K, E λ (u) est stable par v En particulier, les sous-espaces propres de u sont stables par u En bon français, si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres de l un sont stables par l autre 4 Expression matricielle Heureusement, il y a coïncidence parfaite entre les éléments propres d un endomorphisme et ceux de toute matrice le représentant : Proposition 16 Soit u L (E), B une base de E, et M = Mat B (u) Alors le spectre de M est égal à celui de u, et leurs sous-espaces propres ont même dimension Soient A et B M n (K) deux matrices semblables Alors elles ont même spectre, et pour tout λ Sp(A), dim E λ (A) = dim E λ (B) Pour les puristes, si A = P 1 BP, alors P ( ) E λ (A) = E λ (B) 2 Diagonalisabilité 1 Endomorphisme et matrice diagonalisable On suppose ici que E est de dimension finie n 1 Définition 21 (Diagonalisable) Soit u un endomorphisme de E On dit que u est diagonalisable lorsque l une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : 1 Il existe une base B dans laquelle la matrice de u est diagonale ; 2 Il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u ; 3 E est somme directe des espaces propres de u : E = 4 5 λ Sp(u) λ Sp(u) dim E λ (u) dim E dim E λ (u) = dim E λ Sp(u) E λ 1 Les projecteurs et les symétries sont diagonalisables 2 Aucune rotation de R 2 autre que ±I 2 n est diagonalisable Donnons-en une version matricielle : Définition 22 Une matrice A est dite diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale, ie si et seulement si il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles

4 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 4 que A = P DP 1 On a heureusement l équivalence entre la diagonalisabilité d un endomorphisme u L (E) et celle de sa matrice dans n importe quelle base Proposition 23 Une matrice A M n (K) est dite diagonalisable lorsque l endomorphisme qui lui est canoniquement associé est diagonalisable 1 Toute matrice A qui vérifie A 2 = A ou A 2 = I n est diagonalisable ( ) n est pas diagonalisable C est un exemple d illustration de ce qui suit 0 1 Donnons une dernière interprétation de la diagonalisabilité : u l est si et seulement si E est la somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u sur lesquels la restriction de u est une homothétie Dans ce cas, on notant p λ le projecteur sur E λ (u) parallèlement à la somme des autres sous-espaces vectoriels, u = λp λ λ Sp(u) 2 Quelques conditions de diagonalisabilité Une matrice qui n admet pas de valeur propre n est évidemment pas DZ Si elle en admet, le nombre de ses valeurs propres est compris entre 1 et n Etudions ces deux cas limite : Proposition 24 (Cas où le cardinal du spectre de M est minimal) Notons n = dim E Soit u L (E) Si u n admet qu une seule valeur propre λ et qu il est diagonalisable, alors u = λid E Si u admet n valeurs propres distinctes deux à deux, alors il est diagonalisable La deuxième condition n est pas nécessaire, comme le prouve le contre-exemple d une homothétie Dans ( la première, ) l hypothèse de diagonalisabilité est indispensable comme le prouve l exemple 1 1 de Polynôme caractéristique Ici, E est de dimension n 1 Sa définition Commençons par rappeler ce que signifient scindé, et scindé à racines simples

5 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 5 Définition 31 Soit u L (E) On appelle poly caractéristique de f, et on note χ f (X) le polynôme χ f K K X det(xid f)

6 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 6 On définit de même le polynôme caractéristique d une matrice carrée χ f = χ M dans n importe quelle base Les χ de deux matrices semblables sont égaux 1 Homothétie 2 Projecteur 3 Rotation 4 Matrice triangulaire Proposition 32 le χ de l endo induit sur un sous-espace vectoriel stable divise celui de l endo Si E est la somme directe de sous-espaces vectoriels u stables, χ u = i χ ui Théorème 33 Le spectre de f est l ensemble des racines de χ f Définition 34 On appelle multiplicité (algébrique) de λ 2 Coefficients de χ Proposition 35 Le dernier terme et le deuxième sont le det et ( 1) n 1 fois la trace Corollaire 36 Pour une matrice de taille 2 Proposition 37 Si le χ est scindé, n i=1 λ i = Tracef = λ Sp(f) m λ λ et λ i = det Démonstration : χ f (X) = n k=1 (X λ k ) = λ Sp(f) (X λ)m λ 3 Vers une CNS de DZ Définition 38 (Multiplicité d une valeur propre) La multiplicité est 1 Pour un nilpotent sur C, la mult est n

7 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 7 Théorème 39 dim E λ mult(λ) Si λ est une valeur propre simple, E λ est une droite Théorème 310 f est DZ χ est scindé et les dimensions sont égales aux multiplicités Corollaire 311 Si χ est scindé à racines simples, alors f est DZ a son χ scindé Attention au corps de base : le quart de tour est DZ dans C, pas dans R IMPORTANT : M M n (R) peut être vue comme une matrice à coefficients complexes ; Les racines complexes de χ sont alors couplées avec leurs conjuguées Et les sep sont conjugués Les multiplicités de α et ᾱ sont égales, ainsi que les dim M peut ne pas être DZ dans M n (R) et l être dans M n (C) Protocole : Si χ n est pas scindé, c est plié Sinon, on étudie les dim Calculer A n et trouver une racine carrée Quelques applications Elles sont nombreuses Détaillons les plus notoires : 1 Puissances de matrices Elles-mêmes servent à obtenir une expression des termes d une suite définie par récurrence linéaire

8 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 8 Exercices : Soit A = Calculer les éléments propres de A 2 On considère les trois suites (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N définies par leurs premiers termes a 0 = 2, b 0 = 2, c 0 = 0 et la relation de récurrence a n+1 = 2b n + 2c n n N, b n+1 = 3a n + b n + 3c n c n+1 = a n + b n + 3c n Déterminer a n, b n, c n en fonction de n 2 Racines carrées de matrices La commutation va jouer un role simplificateur ici Exercices : CCP 73 On pose A = ( ) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A ( ) Déterminer toutes les matrices qui commutent avec la matrice 0 2 En déduire que l ensemble des matrices qui commutent avec A est Vect (I 2, A) 3 Systèmes différentiels La diagonalisation va permettre de découpler les variables Exercices : CCP 74 On considère la matrice A = Justifier sans calculs que A est diagonalisable, puis déterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres x = x + 2z 2 On considère le système différentiel suivant y = y, où x, y, z désignent trois fonctions de z = 2x + z la variable t dérivables sur R En utilisant la question 1/, et en le justifiant, résoudre ce système 5 Trigonalisation Définition d un endo TZ Interprétation géométrique Définition d une matrice TZ Proposition 51 u est TZ χ u est scindé

9 Cours 04 : Réduction des endomorphismes 9 Proposition 52 Expression de la trace et du déterminant d un endo TZ à l aide des valeurs propres Info : recherche de la valeur propre de plus grand module à l aide des traces 6 Endomorphismes nilpotents Un endo est nilpotent ssi il est trigonalisable et son spectre est {O} C est donc équivalent à ce que χ u (X) = X n 1 Quelques développements Commençons par les endomorphismes de rang 1 : Proposition 61 Soit u L (E) un endomorphisme de rang 1 Notons t sa trace Alors : 1 χ u (X) = X n 1 (X t) 2 u est diagonalisable t 0) Proposition 62 1 Le déterminant de la matrice compagnon C P est P (X) 2 C P est diagonalisable P est SRS Proposition 63 Toute matrice circulante est diagonalisable et toute matrice diagonalisable est semblable à une matrice circulante Proposition 64 Des endomorphismes qui commutent et qui sont diagonalisables diagonalisent dans un même base Idem pour la TZ

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