Chapitre 4.9 Le champ magnétique généré par un solénoïde

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1 Chapitre 4.9 e champ magnétique généré par un solénoïde Champ de deux boucles espacées Si l on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut définir l orientation du champ magnétique à l aide de la règle de la main droite. Considérons les deux anneaux portant des courants de même intensité et de même sens. Si l on étudie la forme du champ magnétique produit par les points et, on réalise que le champ magnétique proient de deux courants parallèles de sens identique. Nous aons déjà résolu ce problème. De plus, si l on étudie la forme du champ magnétique produit par les points et 3, on réalise que le champ magnétique proient d une spire unique. Nous aons également déjà résolu ce problème. insi, on peut déduire la forme complète du champ magnétique autour de deux spires. éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page

2 Champ d un solénoïde Définition : Un solénoïde est un enroulement d un fil conducteur formant plusieurs spires parallèles. e solénoïde représente ainsi une séquence de bobine. Si l enroulement n est pas trop serré, on retroue la forme d un champ magnétique produits par deux spires tel que décrit à la section précédente. Si l enroulement est très compact, le champ magnétique autour de chaque fil deient nul puisque les courants sont très près les uns des autres. addition ectorielle du champ magnétique autour de chaque fil est donc nulle. On remarque ici que le solénoïde parcouru d un courant produit un champ magnétique de la même forme qu un aimant (aec pôle nord et pôle sud). insi, le solénoïde deient un électro-aimant. Champ magnétique sur l axe central d un solénoïde e module du champ magnétique généré sur l axe central d un solénoïde dépend du courant circulant dans le solénoïde et de la densité de spires n. De plus, le module dépend de la distance entre le point P et le solénoïde et la taille du solénoïde le tout représenté à l aide de deux angle et : où n cos cos ( ) ( ) : Champ magnétique sur l axe centrale au point P (T) n : Nombre de spires par unité de longueur ( n N / ) : Courant électrique () : ngle pour positionner Côté par rapport au point P : ngle pour positionner Côté par rapport au point P : Constante magnétique, 7 4π Ns / C Côté Côté P éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page

3 Preue : fin d éaluer le champ magnétique généré par un solénoïde, utilisons la solution du champ magnétique généré par une bobine de largeur : Champ magnétique généré par une bobine : 3 N sin ( ) a P Puisqu un solénoïde est un regroupement de plusieurs bobines placé côte à côte, nous allons découper notre solénoïde en plusieurs petites tranches de largeur comprenant une densité de spires n. Ces tranches représentent des bobines formées à l aide d un nombre infinitésimal de spires dn n. On pourra remplacer dans notre formule précédente le N par dn : et Champ magnétique infinitésimal : d dn 3 sin ( ) nˆ dn n nˆ i (règle main droite) P d Puisque l angle est une fonction de x, éaluons l intégrale sur l angle (car la solution est exprimé en fonction de et ) ce qui nous oblige à introduire des relations trigonométrique entre x et : tan ( ) x x (soler x) tan ( ) x sec ( ) d sec d (Dériée : ( ( )) ( x) / tan x ) tan ( ) tan ( x) ( / cos ( )) d ( sec ( x) / cos( x), ( x) sin( x) / cos( x) sin ( )/ cos ( ) ( ) ( ) d (Simplifier) sin tan ) éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page 3

4 Éaluons à l aide d une sommation continue de champs magnétiques infinitésimaux d le champ magnétique total au point P en se basant sur le schéma ci-contre : dn n d sin ( ) nˆ i (règle main droite) P d x 3 d dn sin ( ) nˆ insi : d nˆ 3 dn sin ( ) ( n ) sin ( )( i ) 3 n 3 i sin ( ) (emplacer 3 d dn sin (emplacer dn et nˆ ) (Factoriser les constantes) ( ) nˆ ) n d ( ) i sin 3 sin ( ) n d i sin( ) n sin( ) n d i (emplacer ) (Simplifier et factoriser consantes) (orne : ) [ cos( )] i (ésoudre l intégrale : ( x) cos( x) [ cos( )] i n (Factoriser signe négatif) n (Éaluer l intégrale) ( cos( ) cos( )) i cos( ) cos( ) sin ) n (Éaluer seulement le module du champ ) éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page 4

5 Situation : Dans un solénoïde. Un solénoïde de tours possède une longueur de cm et un rayon de 5 cm. a résistance totale du fil utilisé pour produire l enroulement est de Ω. On branche ce solénoïde à une pile de,5 V. On désire éaluer le module du champ magnétique produit à 5 cm du centre du solénoïde. Éaluons le courant électrique qui circule dans le solénoïde : (oi d Ohm) V V (,5) ( ),5 Schéma des mesures des angles : Côté Côté 5 cm P 5 cm 5 cm Nous aons les informations suiantes selon la géométrie du problème : Courant circulant dans le fil : Densité de spire : ngle ngle,5 : ( ) : ( ) Éaluons le module du champ magnétique au point P : n cos( ) cos( ) ( ) (,) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) N n n 5 tan 45 tan 8, 43 7 ( 4π )( 5)(,5) 7,85 3, 656 6, 6 - m ( ) cos( 45 ) cos 6,6,3 T éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page 5

6 Exercice 4.9.X a superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes. e schéma cidessous illustre un montage qui comporte deux solénoïdes, (3 tours) et (7 tours). es fils qui forment les solénoïdes ont un rayon de mm et sont faits d un matériau dont la résistiité est égale à Ω m. (a) Calculez la résistance des fils des solénoïdes et. (b) Calculez le champ magnétique généré au point P par le montage des deux solénoïdes. Dans tous les calculs, négligez les segments de fils qui serent de connexion entre les piles et les solénoïdes. cm y 5 cm V x cm 5 cm P cm 5 cm V Solution 4.9.X a superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes. Éaluons les paramètres géométriques du solénoïde et : ayon fil : ésistiité fil : mm ρ, Ω m m Circonférence fil : C πd π (,),34 m Circonférence fil : C D π (,),34 m π Surface circulaire et : π π (,) 3,4 m Supposons que la longueur du fil sur le solénoïde est comptée de la façon suiante : l N C éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page 6

7 Voici la longueur du fil composant le solénoïde et : N 3 spires l N C ( 3)(,34) l 4,8 m N 7 spires l N C ( 7)(,34) l,98 m (a) Éaluons la résistance des fils des solénoïdes aec la formule de la résistiité : l l ρ ( ) ( 4,8) ( 3,4 ) ρ, 6 Ω ( ) (,98) ( 3,4 ) l ρ, 4 Ω Éaluons les courants électriques qui circulent dans les solénoïdes et à partir de leur résistance et de la loi d Ohm : V V Pour : Pour : V V ε ε ( ) (,6) ( ) (,4 ) 4,6 7,4 ec la solution du champ magnétique produit par un solénoïde, éaluons le champ magnétique produit par les solénoïdes et : n ( cos( ) cos( )) nformation sur le solénoïde : a direction de : j Spires : ngles : ( ) ( 3) (,5) N n n 5 spires/m,5 tan 6, 57,,5 tan( ) 8, 3, +,5 n Champ : ( cos( ) cos( )) j 7 ( 4π )( 5)( 4,6) ( cos( 8,3 ) cos( 6,57 )) j 4,4 6 j T éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page 7

8 nformation sur le solénoïde : a direction de : i Spires : ngles : ( ) ( 7) (,5) N n n 8 spires/m,5 tan 8, 43,5,5 tan( ) 7, 3,5 +,5 n Champ : ( cos( ) cos( )) i 7 ( 4π )( 8)( 7,4 ) ( cos( 7,3 ) cos( 8,43 )) i 5,47 6 i T (b) Éaluons le champ magnétique total au point P sous forme ectorielle : + ( 5,47 i + 4,4 j ) T éférence : Marc Séguin, Physique XX Volume Page 8

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