DM 8 pour le 7 mai Exprimer le moment cinétique σ G du système en G en fonction de µ, v et. r et l énergie cinétique totale du système Ec

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1 DM 8 pour le 7 mai 01 MÉCANIQUE ÉLECTRICITÉ ÉLECTROMAGNÉTISME CHIMIE Problème 1 On étudie le choc de deux protons (masse m, charge q) dans le référentiel du laboratoire lié au repère (O, e x, e y, e z ) supposé galiléen. On suppose que ces deux protons ne sont soumis à aucune force exceptée la force d interaction électrostatique dont on rappelle la forme : la force ressentie par q 1 en P 1 ayant pour origine la présence de q en P est : f 1 = q 1q 4πε 0 u r = K u P P 1 pour r r = P P 1 et u= r À l état initial, on suppose que les deux protons sont très éloignés l un de l autre, P est fixe et P 1 est animé d une vitesse initiale v 01 = v 0 e x. Il se dirige vers P avec un paramètre d impact b= m. On rappelle que m= 1, kg, q = 1, C, ε 0 = 8, F.m 1. La vitesse initiale dans le référentiel du laboratoire du proton P 1 est v 0 = m.s 1. Partie I : réduction du problème à deux corps On note G le barycentre du système P 1, P. 1. Définir le référentiel de centre de masse du système P 1, P.. On pose le point M tel que GM = P P 1 = r. Montrer dans le référentiel du centre de masse (que l on notera désormais RCM), que l étude du système se réduit à l étude du point M, dont on donnera la masse et le système de forces qui est appliqué. Dans toute la suite, on notera µ la masse et v la vitesse du point M. On travaille désormais dans le Référentiel du Centre de Masse. 3. Exprimer les quantités de mouvement p 1 et p des deux protons en fonction de µ et de v. 4. Exprimer le moment cinétique σ G du système en G en fonction de µ, v et r et l énergie cinétique totale du système Ec en fonction de µ et de v, module de v. 5. Montrer que le mouvement des particules est plan. On considérera que ce plan est le plan xgy et on travaillera désormais en coordonnées cylindriques (e r, e θ, e z ) dans ce plan. On désigne par θ l angle de Ox avec e r, ce dernier étant le vecteur unitaire tel que r = r e r = P P 1 Calculer la norme du moment cinétique initial : on pose σ G = µc, exprimer C en fonction de b et de v Donner les expressions de l énergie potentielle E p d interaction électrostatique du système et de l énergie mécanique totale E t du système. Montrer que l énergie mécanique est constante, et calculer sa valeur en fonction de µ et v 0. Partie II : Étude de la trajectoire du mobile réduit dans le RCM 7. On pose u= 1 r. Soit (e r, e θ ) la base locale des coordonnées polaires. Exprimer la vitesse v de M en fonction de C, u et du dθ dans la base (e r, e θ ). De même, exprimer l accélération a de l objet en fonction de C, u, du dθ et d u dθ dans la base (e r, e θ ). 8. En déduire que la trajectoire en polaires se met sous la forme : r = p 1+e cos(θ θ 0 ) En déduire une relation simple entre p le paramètre de la conique, K la constante de la force électrostatique, µ la masse du point M, et la constante C. 9. Exprimer l énergie mécanique en fonction de µ, C, u, du dθ, K. ( ) du Que peut-on dire de (r = r min )? En déduire la distance minimale d approche r min en fonction de C, K et v 0. dθ Calculer numériquement r min, commenter.

2 Page DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI 10. Le vecteur position initial GM i est colinéaire à l axe Gx : GM i = X i e x +b e y, avec X i b, l angle ( θ i est ) donc nul. du Déterminer u(0) et (0) en fonction de e, b, K, µ, v 0, θ 0. dθ En déduire l excentricité de la trajectoire e et l angle θ 0 en fonction de b, µ, v 0 et K. Calculer numériquement e et θ 0. Que représente l angle θ 0? 11. Déterminer l angle θ f entre l axe Gx et le vecteur position final GM final du point M dans le référentiel du centre de masse RCM. 1. Déterminer les vitesses v 1final et v final de P 1 et de P après le choc, lorsque l interaction est négligeable : on déterminera les normes de ces vitesses et les angles ϕ 1 = ( e x, v 1final ) et ϕ = ( e x, v final ). Quelle relation simple existe-t-il entre ϕ 1 et ϕ? Aurait-on pu la prévoir? On fera un schéma respectant ces valeurs numériques. Partie III : Passage dans le référentiel du laboratoire 13. En utilisant la loi de la composition des vitesses, déterminer les vitesses finales v 1final et v 1final de P 1 et de P après le choc dans le référentiel du laboratoire : on déterminera leur norme ainsi que les angles ϕ 1 = ( e x, v 1final ) et ϕ = ( e x, v final ). Faire un schéma respectant les valeurs numériques, Commentaires. 14. Existe-t-il une relation simple entre les quantités de mouvement des protons avant l interaction et après l interaction? Si oui, aurait-on pu la prévoir? De même, y-a-t-il d autres relations simples entre grandeurs physiques avant l interaction et après l interaction? Problème 1. Étude électrique du moteur Du point de vue électrique, le moteur peut être modélisé par un dipôle R, L série. 1 : Alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 0 V, le moteur consomme une puissance de 1 kw pour une intensité efficace de 7 A. 1-1 : Calculer le facteur de puissance cosϕ du moteur, ϕ représentant le déphasage courant-tension dans le moteur. Décrire un montage permettant de déterminer expérimentalement ϕ et cos ϕ. 1- : Calculer R et L. : On ajoute un condensateur de capacité C en parallèle avec le moteur (Figure 7). -1 : Calculer C pour que le facteur de puissance de l ensemble moteurcondensateur soit égal à 1. - : Le fonctionnement du moteur est-il modifié? Quel est l intérêt de ramener le facteur de puissance à la valeur 1?. Vibrations du moteur Lorsque le moteur fonctionne, un balourd provoque des vibrations du châssis. Il est nécessaire de prévoir un système de suspension. Le moteur est assimilé à un point matériel de masse m. La suspension peut être modélisée par un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k, placé en parallèle avec un amortisseur qui exerce sur le moteur une force de freinage f = α dz dt u z (Figure 8). 1 : Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile. Déterminer la longueur l du ressort. La position du moteur dans ce cas est prise comme origine de l axe Oz. : Le moteur étant toujours arrêté, on écarte le moteur de sa position d équilibre puis on le 1aisse évoluer librement. -1 : Établir avec soin l équation différentielle vérifiée par z(t ). - : on pose λ= α m, ω 0 = k m, et on suppose λ<ω 0.

3 Page 3 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Donner la forme générale de la solution z(t ) en fonction des paramètres λ et ω 0. Comment appelle-t-on ce type de régime? -3 : Écrire l énergie mécanique E M du système en fonction de z et dz dt. Le système est-il conservatif? Que vaut de M? Retrouver ainsi l équation du mouvement obtenu en -l. dt 3 : Le moteur fonctionne, tout se passe alors comme s il apparaissait une force supplémentaire de la forme : F = F 0 cos(ωt )u Z 3-1 : Donner la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t ). 3- : En régime sinusoïdal établi on recherche des solutions de la forme : z(t )= Z 0 cos(ωt+ ϕ) et v(t )= dz dt = V 0 cos(ωt+ ψ). Donner l équation vérifiée par la grandeur complexe V = V 0 e j ψ 3-3 : Exprimer V 0 en fonction de ω et des paramètres λ, ω 0 et F 0 m. Donner l allure de V 0 (ω). 3-4 : La pulsation ω vaut 68 rad.s 1. Le moteur a une masse m= 10 kg et on dispose de deux ressorts de raideur k 1 = N.m 1 et k = 10 6 N.m 1. Lequel faut-il choisir pour réaliser la suspension? Problème 3 1 Magnétostatique et régimes quasi-stationnaires. Quelles sont les lois qui régissent le champ magnétique dans l approximation des états quasi-stationnaires? On pourra écrire ces lois sous leur forme intégrale. Quelle condition doivent remplir les courants qui produisent ce champ? Champ magnétique créé par une bobine. On considèrera qu une bobine est formée de N spires circulaires très proches les unes des autres. -1. Champ sur l axe. On donne une spire circulaire de rayon R, de centre O, d axe Oz. Cette spire est parcourue par un courant électrique d intensité I constante. Montrer par des arguments de symétrie que, sur l axe, le vecteur champ magnétique B est porté par l axe et prend donc la forme B = B(z)e z. Calculer le champ magnétique créé en un point M de l axe, tel que OM = z. On donnera le résultat en fonction de α (voir figure), puis de z. Tracer le graphe représentant les variations de la fonction B(z). On posera dans la suite : B(O)=B 0 ; B(z)=B 0.F (z/r). - Champ au voisinage de l axe. On s intéresse maintenant au champ magnétique au voisinage de l axe. On calcule donc ce champ en un point M défini par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z)...a. Montrer par des arguments de symétrie très précis, qu en M, B n a pas de composante orthoradiale B θ. Montrer également que le module de B ne dépend que de r et de z...b. Montrer qu on peut considérer qu au voisinage de l axe, le flux de B et sa circulation sont conservatifs...c. Calculer le flux de B à travers une surface fermée cylindrique d axe Oz de rayon r faible, dont les bases sont dans des plans de cotes z et z + d z (Voir figure ci-dessus). En déduire que : B r = r db d z (z)..d. De même, calculer la circulation de B le long d un rectangle de hauteur

4 Page 4 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI d z et largeur r (voir figure ci-dessus). En déduire que : B z (r, z)=b(z) r 4 d B d z (z)..e. Calculer explicitement B z (r, z) à cette approximation. Application : On se place au voisinage du centre O d une spire de rayon R. De combien peut-on s écarter dans le plan de la spire pour que la composante axiale du champ magnétique diffère du champ B 0 au centre de moins de 1%? Problème 4 Champ magnétique créé par une nappe plane de courant On envisage une distribution de courant volumique uniforme et constante de densité de courant J = J 0 e x entre les plans z = a et z =+ a et nulle pour z > a (figure 1). 1 ) Par une analyse des symétries, déterminer la direction du champ magnétique B. Justifier que le champ B ne dépend que de z. Montrer, également par un argument de symétrie, que B(z= 0)=0. ) Déterminer B pour z < a. Montrer que B est uniforme pour z < a et z >+ a. 3 ) Justifier que le champ est continu au passage par les interfaces z= a et z =+ a et en déduire les expressions de B pour z< a et z>+ a. 4 ) On suppose désormais que a tend vers 0, le produit J 0 a restant égal à une constante J s (appelée densité de courants surfaçiques). Déterminer les expressions de B en fonction de µ 0 et J s pour z > 0 et pour z < 0. Etablir la relation de passage donnant B(z= 0 + ) B(z = 0 ). Attention! Pour le Problème suivant, on ne traitera pas les parties I et II Problème 5 Autour du soufre Le problème comporte trois parties indépendantes : La partie I porte sur l architecture de la matière ; La partie II porte sur la thermodynamique chimique ; La partie III porte sur les solutions aqueuses et la cinétique.

5 Page 5 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Données à T = 98 K : * Eléments : O Z = 8 M = 16 g.mol 1 S Z = 16 M = 3 g.mol 1 Zn Z = 30 M = 64 g.mol 1 * Nombre d AVOGADRO : N A = 6, mol 1 * On note : C o p : capacité thermique molaire standard f H o : enthalpie standard de formation molaire * H S/HS pk 1 = 7 HS /S pk = 13 SO (g ) O (g ) SO 3(g ) N (g ) f H o (kj.mol 1 ) Cp o (J.K 1.mol 1 ) ,4 50,7 9,1 * S O 8 / SO 4 E o 1 =,01 V I /I E o = 0,6 V Fe 3+ /Fe + E o 3 = 0,77 V * RT F ln10=0,06 V I - ARCHITECTURE DE LA MATIERE I-1 : Donner la structure électronique de l oxygène et du soufre. Comparer leur électronégativité. I- : Ecrire la formule de LEWIS, prévoir la géométrie et représenter les espèces suivantes : H S, SO, SO 3. On donnera une valeur approximative des angles entre liaisons. I-3 : Pour chacune des molécules précédentes, discuter l existence d un moment dipolaire. Préciser son orientation sur un schéma. II - THERMODYNAMIQUE CHIMIQUE Une étape importante de la synthèse industrielle de l acide sulfurique est l oxydation du dioxyde de soufre en trioxyde de soufre par l oxygène de l air. Cette réaction se fait vers T = 700 K sous une pression de l bar. II-1 : Ecrire la réaction rapportée à une mole de dioxygène. II- : Calculer à T = 98 K, l enthalpie standard de réaction r H o (98). Calculer à T = 700 K, r H o (700). Quelle remarque peut-on faire? II-3 : On part de 10 moles de SO, 10 moles de O, 40 moles de N. A T = 700 K on obtient à l équilibre 9 moles de SO 3. II-3-1 : Donner l avancement de la réaction et la composition du système à l équilibre. II-3- : En supposant que la réaction se déroule dans un réacteur adiabatique, déterminer la température finale du système. III - SOLUTIONS AQUEUSES - CINETIQUE On considère ici des solutions aqueuses à T = 98 K ; à cette température, le produit ionique de l eau vaut K e = III-1 : L acide sulfhydrique H S est un diacide. III-1-1 : Donner le diagramme de prédominance des espèces en fonction du ph. III-1- : On dissout 0,1 mol de H S dans litres d eau. A l équilibre, le ph vaut 4,. Calculer, à l équilibre, la concentration des différentes espèces présentes en solution. Expliquer en quelques lignes le principe d une mesure de ph. III- : Le persulfate S O 8 est un oxydant puissant qui peut être réduit en sulfate SO 4. III--l : Sur un même diagramme, faire apparaître les domaines de prédominance des espèces S O 8, SO 4, I et I en fonction du potentiel de la solution, et commenter. III-- : Ecrire la réaction qui se produit entre S O 8 et I. Calculer sa constante d équilibre. Cette réaction peut-elle servir pour effectuer un dosage?

6 Page 6 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI III--3 : Dans un bécher, on introduit V 0 = 50 ml d une solution d iodure de concentration c 0 inconnue. On titre par une solution de persulfate de concentration c 1 = 0,1mol.L 1. L équivalence se produit pour un volume V 1 = 10 ml. Calculer la concentration c 0. Décrire une méthode permettant de déterminer le volume V 1 à l équivalence et faire un schéma du dispositif expérimental. III-3 : La réaction du III-- est une réaction lente dont on veut étudier la cinétique. Par une méthode qu on n exposera pas ici, il est possible de mesurer la vitesse initiale v 0 de cette réaction. On détermine cette vitesse pour différentes concentrations initiales en S O 8 et I. Les résultats sont rassemblés dans le tableau qui suit : expérience [S O 8 ] 0 (mol.l 1 ) [I ] 0 (mol.l 1 ) v 0 (mol.l 1.s 1 ) 1 0,100 0,100 5, ,100 0,050, ,100 0,05 1, ,050 0,100, ,05 0,100 1, III-3-1 : Déterminer l ordre partiel par rapport à S O 8 et l ordre partiel par rapport à I. Calculer la constante de vitesse k de cette réaction. III-3- : On part des concentrations initiales de l expérience 4. Déterminer l évolution de la concentration en S O 8 au cours du temps. Que vaut le temps de demi-réaction? III-3-3 : On peut augmenter la vitesse de réaction en introduisant des ions Fe + dans la solution. Il se produit alors ; un mécanisme en deux étapes dont le bilan redonne la réaction déterminée au III--. Représenter le diagramme de prédominance des espèces Fe 3+, Fe +, S O 8, SO 4 et celui des espèces Fe 3+, Fe +, I, I. En déduire les deux étapes de ce mécanisme. Quel est le rôle de Fe +?

7 Page 7 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Commentaires et correction : Problème 1 Problème complet sur la fin du programme de mécanique. Beaucoup de résultats ont été affirmés sans démonstration (pèle-mêle : le référentiel barycentrique est galiléen, E p = q 1q 4πε 0 r, E m = C te ). Il faudrait être capable de justifier proprement ces résultats. La fin du problème concernant les normes et angles des vitesses finales était intéressante et n a pas toujours été traitée. À étudier de plus près. Problème Les calculs électrique et mécanique ont été en général correctement maitrisés dans ce problème. L analyse fine du problème est souvent moins réussie. Ainsi l intérêt du relèvement du facteur de puissance réside dans la diminution des pertes dans les fils d alimentation entre le générateur et le moteur. Il s agit de faire en sorte que le courant dans ces fils soit en phase avec la tension délivrée par le générateur et donc aux bornes du moteur. Le puissance reçue par le moteur ne varie pas en moyenne car le condensateur ne reçoit aucune puissance en moyenne. L énergie potentielle du moteur est souvent posée égale à 1 kz sans justification. Il faut faire le calcul en tenant compte de l énergie potentielle de pesanteur et de l énergie potentielle élastique. Beaucoup de maladresses dans l étude de la résonance de vitesse. Il suffit de faire basculer toutes les pulsations ω dans le dénominateur de l amplitude complexe avant de faire l étude mathématique du dénominateur. Le choix du ressort est fait ici de sorte qu on évite le phénomène de résonance qui peut endommager le moteur. Problème 3 Le calcul du champ sur l axe de la spire a été correctement traité. En revanche, il y a eu des difficultés pour les calculs de flux à travers le petit cylindre et de circulation sur le petit contour rectangulaire. Ce sont des raisonnement assez classiques qu il faut connaître. Problème 4 Bonne étude de symétrie en général. Il faut bien soigner cette étude. Dans une copie, j ai vu une erreur dans cette étude ; dans ce cas tout est faux dans le reste du travail! J ai vu plusieurs fois un courant I dessiné sur le contour d AMPÈRE : il n a rien à faire là. Pour l application du théorème d AMPÈRE, on pouvait utiliser un cadre rectangulaire passant par l axe Oy car on y connait B(= 0!). L étude des courants surfaciques sera repris en deuxième année. Problème 5 Problème complet de chimie sur le programme de première année (Concours des Petites Mines) La partie sur les solutions aqueuses n a pas été toujours bien traitée. Beaucoup d erreurs sur les calculs de concentrations car le diagramme de prédominance n a pas été bien exploité. Trop d erreurs sur la formules de NERNST et le calcul de la constante d équilibre de la réaction redox. Les questions pratiques sur les électrodes à utiliser pour les dosages sont très décevantes et montrent que vous ne tirez pas suffisamment profit des séances de TP. Dans l étude cinétique, pour utiliser l approche différentielle on a choisi de se placer dans les proportions stœchiométriques. Il fallait absolument le mentionner dans l étude. Problème 1 Partie I : réduction du problème à deux corps 1. Le référentiel barycentrique ou référentiel de centre de masse (RCM) est le référentiel en translation avec la vitesse v G par rapport au référentiel du laboratoire, où G est fixe. Comme le système des deux protons est isolé, le Théorème du Centre d Inertie (TCI) implique que le centre d inertie du système a une accélération nulle, donc un vecteur vitesse constant. Le référentiel barycentrique est par conséquent en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel du laboratoire. Il s agit donc d un référentiel galiléen.. En combinant GM = GP 1 GP = r et la relation du barycentre m 1 GP 1 + m GP = 0 on obtient : GP 1 = m m GM = r et GP = m 1 GM = m 1 r (1) m 1 + m m 1 + m m 1 + m m 1 + m La Relation Fondamentale de la Dynamique (RFD) appliquée au proton P 1 dans le référentiel barycentrique galiléen s écrit : m 1 d GP 1 dt = f 1 = q 1q 4πε 0 En reportant (??) dans (??), on déduit : u r où u= P P 1 r m 1 m d GM m 1 + m dt = f 1 = q 1q 4πε 0 () u r (3) On en déduit que tout se passe comme si la particule fictive de masse µ= m 1m m 1 +m déplaçait dans le RCM sous l effet de la force f 1. se

8 Page 8 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI 3. La quantité de mouvement du proton P 1 vaut dans le RCM : p 1 = m dgp 1 1 = m 1m dgm = µv dt m 1 + m dt d après la relation (??). Par ailleurs en dérivant la définition du barycentre par rapport au temps, on montre que : m 1 dgp 1 dt + m dgp dt = p 1 + p = 0 d où on tire p = µv 4. Le moment cinétique du système des deux protons vaut : σ G = GP 1 p 1 +GP p = m m 1 GM µv GM ( µv)=r µv m 1 + m m 1 + m C est le moment cinétique de la particule réduite. On obtient de façon similaire l énergie cinétique du système : Ec = 1 ( ) dgp1 m ( ) dgp1 dt m 1 dt = 1 ( ) m m 1 v + 1 ( m 1 + m m m ) 1 v = 1 m 1 + m µv 5. Appliquons le Théorème du Moment Cinétique (TMC) à la particule fictive dans le RCM galiléen : dσ G dt = GM f 1 = 0 car ces deux vecteurs sont colinéaires. On en déduit que le moment cinétique de la particule fictive et du système des deux protons est un vecteur constant. Comme σ G = GM µv, le vecteur GM est en permanence perpendiculaire à ce vecteur constant. M est donc dans le plan passant par G perpendiculaire à σ G. Son mouvement est plan. En raison des relations (??), les mouvement de P 1 et P sont également plans. À t = 0, la vitesse des protons est dans le RCM, d après la relation de composition des vitesses : v 1 = v 1labo v G labo = v 0 v G labo et v = v labo v G labo = v G labo La vitesse de la particule fictive est donc v = dgp 1 dt dgp 1 dt On a donc pour le moment cinétique initial : = v 1 v = v 0. σ G (t = 0)=P 1P (t = 0) µv 0 = µv 0 be z soit en norme σ = µc = µv0 b, d où C = v 0 b. G 6. Dans le RCM, la puissance des forces électriques s écrit : P = f 1.v 1 + f 1.v = f 1.(v 1 v )= f 1.v Cette puissance est égale à la puissance de la force qui s exerce sur la particule fictive. Le travail élémentaire se calcule selon : δw = q 1q u 4πε 0 r.dm = q 1q u 4πε 0 r.(dr u+ r du)= q ( ) 1q dr 4πε 0 r = d q1 q 1 4πε 0 r On en déduit l énergie potentielle E p = q 1q 4πε 0 1 r. L énergie mécanique du système est égale à : E m = E c + E p = 1 µv + q 1q 1 4πε 0 r C est l énergie mécanique de la particule réduite. La différentielle de cette énergie vaut de m = de c + de p = µv.dv f 1.dM = µv. dv ( dt dt f 1.vdt = v v µ dv ) dt f 1 = 0 du fait de la RFD appliquée à la particule réduite. On en déduit que l énergie mécanique du système est une constante du mouvement. À t = 0, les deux protons sont très éloignés et E p 0. Par ailleurs Ec = 1 µv 0. On a donc E m = 1 µv 0. Partie II : Étude de la trajectoire du mobile réduit dans le RCM 7. Le moment cinétique de la particule fictive (donc du système des deux protons) vérifie : σ G = r µv = r e r µ(ṙ e r + r θe θ )= µr θ= µv0 be z = µce z

9 Page 9 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI On pourra donc écrire θ= C r = Cu. La vitesse de la particule fictive s écrit : v = ṙ e r + r θe θ = θ dr dθ e r + r C r e θ = C dr r dθ e r +Cue θ = C d(1/r ) dθ On obtient en dérivant à nouveau par rapport au temps : a = dv dv dv = θ = Cu dt dθ dθ = C u ( d u dθ e r du dθ e θ+ du dθ e θ ue r ( e r +Cue θ = C du ) dθ e r + ue θ ) ( d = C u ) u dθ + u e r On reconnait les formules de BINET. 8. La RFD appliquée à la particule fictive dans le référentiel barycentrique galiléen s écrit : µa= f 1 = q 1q e r soit d après la question précédente : 4πε 0 r ( d µc u ) u dθ + u e r = q 1q u e r 4πε 0 Si l on suppose que r n est pas infini, alors u n est pas la fonction identiquement nulle, on en déduit que : d u dθ + u= q 1q 4πε 0 µc Cette équation admet pour solution générale : u= q 1q 4πε 0 µc + A cos(θ θ 0) où A et θ 0 sont des constantes déterminées par les conditions initiales telles qu on peut toujours imposer A 0. On peut encore écrire : Finalement on retiendra u= q 1q ( 1+ 4πε 0 µc A 4πε 0µC ) cos(θ θ 0 ) q 1 q p r = 1+e cos(θ θ 0 ) avec p = 4πε 0µC = µc q 1 q K (5) 9. L énergie mécanique vaut : E m = 1 µv + K r = 1 [( du µc dθ ( du Pour r = r min, u admet un maximum et donc dθ résultat dans l expression de E m on déduit : ) + u ] + K u E m = 1 µc 1 r + K 1 = 1 r min min µv 0 ) (r = r min ) = 0. En reportant ce On obtient une équation du second degré en 1 r min dont la solution positive est : 1 r min = K µc + 1 µc K + µ C v 0 L application numérique conduit à r min = 7, m. Ce résultat est de l ordre de grandeur de b et pourrait faire penser que le proton sera peut dévier, ce qu on étudiera plus loin. En revanche cela donne une majoration de la dimension du proton qu on a supposé ponctuel ici. 10. Comme à l origine les protons sont très éloignés, on écrira u(0) 0. En reprenant l expression u= 1+e cos(θ θ 0), on a, pour t = 0, e cos(θ θ 0 ) 1. Comme θ(t = 0) 0, p on obtient finalement e cosθ 0 1. En dérivant l expression de u, on obtient : du dθ = e p sin(θ θ 0) soit du dθ (0)= e p sinθ 0 Par ailleurs la formule de BINET pour la vitesse conduit à t = 0 à : v0 = C e p sin θ 0 = C e K µ C sin θ 0 = e K µ b v0 sin θ 0 d où sinθ 0 = en utilisant C = bv 0 et p = µc K. En écrivant cos θ 0 + sin θ 0 = 1, on obtient : On a par ailleurs : e = 1 e + 1 µ b v0 4 e K = 1 d ou on tire : 1+ µ b v 4 0 K tanθ 0 = sinθ 0 = v 0 cosθ 0 K 0 ek

10 Page 10 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Les applications numériques conduisent à e = 1,4 et θ 0 = 44,4. p L expression r = correspond à l équation de la branche d hyperbole 1+e cos(θ θ 0 ) extérieure au foyer à l origine du système de coordonnées. L angle θ θ 0 est l angle compté à partir de l axe des foyers qui est la bissectrice de l angle formé par les asymptotes (voir figure). θ θ La symétrie de la branche d hyperbole par rapport à l axe des foyers repéré par l angle θ 0 fait que l angle final est égal à θ f = θ 0. On a donc : θ 0 tan θ f = µ b v0 4 K On peut également obtenir ce résultat directement à partir de la Relation Fondamentale de la Dynamique appliquée à la particule fictive dans le RCM. On a µ dv dt = K r u r ce qui après projection sur l axe Gx donne µ dv x = K dt r cosθ= K u cosθ. θ En utilisant u =, on peut intégrer la relation suivante par rapport au temps : ce qui conduit à : soit : C t 0 µ dv t x dt dt = K θ cosθdt 0 C [ ] [ ] t K t µvx 0 = C sinθ 0 θ L application numérique conduit à θ f = Les vitesses des protons s obtiennent par dérivation par rapport au temps des équations?? : v 1 = m m 1 + m v d où v 1final = 1 v 0(cosθ f e x + sinθ f e y ) v = m 1 m 1 + m v d où v final = 1 v 0(cosθ f e x + sinθ f e y ) On a donc en norme v 1final = v final = v 0. Pour les angles, on a ϕ 1 ϕ = ( e x, v 1final )= (π θ f )= 91 = ( e x, v final )=θ f = 89 On constate que ϕ ϕ 1 = π. Ce qui etait prévisible car les deux particules ont la même vitesse et la quantité de mouvement totale est nulle dans le RCM. ϕ 1 ϕ Partie III : Passage dans le référentiel du laboratoire 13. Pour calculer les vitesses dans le référentiel du laboratoire, on applique : v 1 v θ f µv 0 cosθ f ( µv 0 )= K C sinθ f ce qui se réécrit : µv 0 cos θ f = K sin θ f bv 0 cos θ f, soit encore : tan θ f = µbv 0 K v 1final v final avec v Glabo = P m = mv 0e x m = v 0 e x. On obtient la figure suivante = v 1final + v Glabo = v final + v Glabo

11 Page 11 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI v 0 v 1 v 1 v v 0 v 1 v v P 1 P P 1 E voie M r voie 1 On constate en consultant la figure que : ϕ 1 = ϕ 1 45 et ϕ = ϕ 45 et v 1final = v 0 v = v 0 final 14. On constate que la quantité de mouvement initiale du système des deux protons mv 0 e x se retrouve à l état final dans le référentiel du laboratoire : mv 1final + mv final = mv 0 e x ce qui est normal car le système est isolé. Pour la même raison, l énergie mécanique du système se conserve dans le référentiel du laboratoire et est égale à l énergie cinétique du proton incident 1 mv 0. Comme l énergie potentielle est nulle bien avant le choc et bien après en raison des grandes distances, on constate que l énergie cinétique du système prend la même valeur bien avant le choc et bien après. On dit que le choc est élastique. Problème Concours Petites Mines ETUDE ELECTRIQUE DU MOTEUR 1-1 : Le facteur de puissance est donné par : cosϕ= P U eff I eff = 0,65 (6) Pour mesurer ϕ, on place une petite résistance r en série avec le moteur. La tension aux bornes de r est en phase avec le courant qui traverse l ensemble ; la tension aux bornes de l ensemble est pratiquement la tension aux bornes du moteur si r est suffisamment faible. On visualise ces deux tensions à l oscilloscope, ce qui permet de mesurer ϕ. 1- : Le module de l impédance du moteur vérifie : U Z = I = U eff = 31,4 Ω I eff La résistance du moteur est alors donnée par : Par ailleurs Z = R + L ω, d où : R = Z cosϕ=0,4 Ω L= 1 ω Z R = 76 mh -1 : Lorsqu on place le condensateur en parallèle, l admittance de l ensemble devient : 1 Z = jcω+ 1 R j Lω = jcω+ R+ j Lω R + L ω On veut un facteur de puissance de 1, donc Z et 1/Z doivent être réel, ce qui est possible pour : L C = R + L = 77 µf ω - : La puissance moyenne consommée n est pas changée car le condensateur ne reçoit aucune puissance en moyenne. Le fonctionnement du moteur est inchangé car il est toujours soumis à la même tension. En revanche, les pertes en ligne pour EDF sont minimisées.. VIBRATIONS DU MOTEUR 1 : A l équilibre du moteur étudié dans le référentiel terrestre galiléen les forces appliquées sont : le poids mg e z et la force du ressort qui est comprimé : k(l 0 l eq )e z.

12 Page 1 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI On a par projection de la relation fondamentale de la dynamique (RFD) sur l axe (z z) 0= mg+ k(l 0 l eq ) l eq = l 0 mg k l eq équilibre -1 : La RFD projetée sur l axe (Oz) s écrit ici : En faisant la soustraction (??) - (??), on obtient : - : Avec λ= α m et ω 0 = k m, l équation devient z 0 mouvement m z= mg αż+ k(l eq + z l 0 ) (8) (7) m z= αż kz (9) z+ λż+ ω 0 z = 0 Le discriminant de l équation caractéristique vaut : =4(λ ω 0 )<0 car λ<ω 0. Il s agit donc d un régime libre pseudo-périodique dont la solution générale est : z(t)=e λt (A cosωt+ B sinωt) avec Ω= ω 0 λ. -3 : Les forces conservatives sont ici le poids qui dérive de mg z et la force du ressort qui dérive de 1 k ( ) (l eq + z l 0. L énergie potentielle vaut donc : E p = mg z+ 1 k ( (z mg k ) ) Le système n est pas conservatif car il est soumis à une force de frottement qui travaille. La dérivée de l énergie mécanique est égale à la puissance de cette force de frottement, soit : L énergie mécanique vaut : E M = E p + 1 mż. On obtient donc, en dérivant par rapport au temps : ( mg ż+ żk z mg k ) + żm z = αż Ce qui redonne bien l équation du mouvement après simplification par ż (non nul s il y a mouvement). 3-1 : En ajoutant la force F 0 cosωte z, la RFD devient : m z = αż kz+ F 0 cosωt soit encore : z+ λż+ ω 0 z = F 0 m cosωt 3- : Avec v(t)=v 0 cos(ωt+ ψ) et V = V 0 e j ψ, il vient : d où j ωv + λv + ω 0 V = F 0 /m V j ω = F 0 m λ+ j (ω ω 0 ω ) 3-3 : V 0 s obtient en prenant le module de l expression précédente : F 0 /m V 0 = ( 4λ + ω ω 0 ω On observe un phénomène de résonance pour ω = ω 0 où V 0 prend sa valeur maximale : 0 F mλ La figure suivante donne l allure de la courbe de résonance pour différents facteurs de qualité. ) de M d t = P frot = αż

13 Page 13 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI k 3-4 : Les deux pulsations propres sont : ω 1 = 1 m = 6,3.10 rad.s 1 ω et ω = k m = 3,.10 rad.s 1. On cherche à éviter le phénomène de résonance ici, donc on prendra le ressort de raideur k Problème 3 I- 1 Magnétostatique et régimes quasi-stationnaires. Les équations de la magnétostatiques s écrivent sous la forme intégrale suivante : S B.dS = 0 et Γ B.dl = µ 0I. Elles sont valables dans l approximation des régimes quasi-permanents, lorsqu on peut négliger le temps de propagation du champ électromagnétique. Dans ce cas, les courants prennent une même valeur en tout point d un circuit série. I- Champ magnétique créé par une bobine. I- -1. Champ sur l axe. La distribution admet tout plan contenant Oz comme plan d antisymétrie. Ces plans contiennent donc le champ B qui doit donc être suivant l axe Oz. O α On a démontré dans le cours à partir de la loi de Biot et Savart le résultat suivant : B = µ ( 0I z ) R sin3 α = B 0 F e z où B 0 = µ 0I R R et F (u) = (1+u ) 3/ dont le graphe prend la forme ci-contre. B/B 0 M z I-..a. Le plan passant par P et l axe Oz est un plan de d anti-symétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique étant un vecteur axial appartient donc à ce plan et ne possède donc pas de composante orthogonale à ce plan : B θ = 0. Une rotation d angle quelconque autour de l axe Oz laisse la distribution invariante alors que l angle polaire θ change ; donc les composantes du champ et son module ne dépendent pas de l angle θ. Finalement, on peut écrire B(M)=B r (r, z)e r + B z (r, z)e z. O e z M I-..b. Le champ magnétique est en toute circonstance un champ à flux conservatif. En absence de courant, la circulation du champ magnétique sur un contour fermé est nulle d après le théorème d AMPÈRE. I-..c. Pour r faible on a approximativement Φ=πr B(z+ dz)+πr B(z)+πr dzb r (r, z)=0 où B(z) désigne la composante du champ sur l axe de la spire. O e z De la relation précédente, on déduit : z r r z+ dz B r (r, z)= r B(z+ dz] B(z) r db dz dz I-..d. La circulation vaut, d après le théorème d AMPÈRE : Γ=dzB(z) dzb z (r, z)+ r 0 [B r (z+ dz) B r (z)]dr = 0 0 u O e z r z z+ dz

14 Page 14 DM 8 pour le 7 mai 01 Lycée Clemenceau Nantes MPSI Or B r (r, z)= r db dz donc Dans ces conditions B r (z+ dz)= r [ ] db dz + d B dz dz r [ r d ] B Γ=dzB(z) dzb z (r, z)+ 0 dz dz dr = 0 En considérant la dérivée seconde comme constante pour l intégration on obtient bien B z (r, z)=b(z) r 4 d B dz (z) I-..e. On calcule la dérivée seconde sans difficulté majeure pour obtenir finalement ( ) 3/ [ B z (r, z)=b 0 1+ z R r ) 7/ ) 5/ ] 4R B 0 15 (1+ z z R R 3(1+ z R Application : Dans le plan de la spire, soit z = 0, B z=0 (r )=B r 4R B 0. Si cette expression représente au maximum 1,01B 0 il faut imposer un écart maximum r = 0, R = 0,1R 3 Problème 4 1 ) Pour un point M quelconque, le plan Mxz est un plan de symétrie : le champ B est donc perpendiculaire à ce plan et B(M)=B y (x, y, z)e y. Par ailleurs, le système est invariant par translation parallèle à Ox et Oy : le champ B ne dépend que de z : B(M)= B y (z)e y. Le plan z = 0 est également un plan de symétrie : sur ce plan le champ B doit donc être parallèle à e z. Comme il doit aussi être parallèle à e y, il est nul dans le plan z = 0. ) On applique le théorème d AMPÈRE à des cadres rectangulaires parallèles au plan Oy z (voir figure) a/ y x J a/ 1 M M N Pour z a, on prend la cadre 1. La circulation de B vaut : C = B y (z)l. L intensité passant par ce cadre vaut : I = J 0 zl. On en déduit B y (z)l = µ 0 J 0 zl, d où B(M)= µ 0 J 0 ze y ; Pour z > a, on prend la cadre. La circulation de B vaut : C = B y (M)L B y (N )L. L intensité passant par ce cadre vaut : I = 0. On en déduit B y (M) = B y (N ), soit B(M)=B(N ). Le champ est uniforme à l extérieur de la nappe. 3 ) Il n y a pas de densité surfacique de courant sur les plans, donc le champ B est continu au passage par les interfaces z = a et z = a. On a donc B y ( ) B y a a = µ 0 J 0. Finalement : z ( a + ) = µ 0 J 0 a et Pour z + a, B(M)= µ 0 J 0 a e y. Pour z a, B(M)=µ 0 J 0 a e y ; 4 ) Il suffit d appliquer les conditions précédentes avec a 0 et J s = J 0 a. On obtient : Pour z> 0, B(M)= µ 0 J s e y ; Pour z< 0, B(M)= µ 0 J s e y. On peut vérifier sans problème la relation de passage avec J s = J s e x et n 1 = e z. B(z = 0 + ) B(z= 0 )= µ 0 J s e y = µ 0 J s n 1