Chapitre II Sens de variation Résolution graphique d équations et inéquations

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1 Chapitre II Sens de variation Résolution graphique d équations et inéquations I Notion de fonction (Rappels) Définition 1 : Soit D une partie de R. Définir une fonction f sur D, c est associer à tout nombre réel x appartenant à D un nombre réel unique noté f (x). Le nombre réel f (x) est appelé l image de x par la fonction f et se lit : «f de x». L ensemble des nombres réels x qui ont une image par la fonction f est appelé l ensemble de définition de la fonction f. Exemples : Lorsqu à chaque réel x, on associe le réel x 2 + 3, on fabrique une fonction f définie sur R. L image f (x) de x est x L image de 1 est f (1) = = 4. On remplace x par 1 dans l expression de f (x). A chaque réel x 0 on associe le réel x. On définit ainsi une fonction sur l intervalle D = [0;+ [= R + (car on ne peut pas avoir de nombres négatifs sous une racine carrée). On traduit ceci par l une ou l autre des phrases : f est la fonction définie sur R + par f (x) = x f : R + R x x Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un ensemble D. Si le réel x a pour image un réel y, on dit que x est un antécédent de y par f. Remarque : Chaque nombre réel x appartenant à l ensemble de définition d une fonction f a une et une seule image par f, mais une image peut avoir plusieurs antécédents. Exemple : f (x) = x 2 x 1 alors D = R + f (4) = 1 : 1 est l unique image de 4 par f. f (0) = 1 : 1 est l unique image de 0 par f. Ainsi, 4 et 0 ont une seule image, mais 1 a 2 antécédents. II Représentation graphique d une fonction (Rappels) Définition 3 : f est une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la courbe représentative C de f est l ensemble des points M de coordonnées (x; y), où l abscisse x est un élément de D et l ordonnée y est l image de x par f. C est-à-dire que le point M a pour coordonnées (x; f (x)). On dit que la courbe C a pour équation : y = f (x) dans le repère choisi. Remarque : Puisqu un réel x dans D n a qu une seule image par f, la parallèle à l axe des ordonnées qui passe par le point (x;0) rencontre la courbe en un seul point : le point M. 1

2 Un point M de coordonnées (x; y) appartient à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation y = f (x). Exemple : Soit C la représentation graphique de la fonction g définie par : g (x) = x 2 + 3x sur l intervalle [ 2;3]. g ( 1) = ( 1) ( 1) = 1 3 = 2 donc le point M 1 ( 1; 2) est un point de C. g ( 2) = ( 2) ( 2) = 4 6 = 2 donc le point M 2 ( 2; 2) est un point de C. g (0) = = 0 donc le point M 3 (0;0) est un point de C. En prenant un grand nombre de points, on peut alors obtenir une allure de la courbe représentative de f M M 2 M 1 2. Propriété : Soit C la courbe représentative d une fonction f. L image f (x) d un nombre x se lit sur l axe des ordonnées. Les antécédents, s il y en a, de tout nombre y par f se lisent sur l axe des abscisses. III Sens de variation d une fonction Définition 4 Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I : si u v alors f (u) f (v) On dit qu une fonction croissante conserve l ordre. Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I : si u v alors f (u) f (v) On dit qu une fonction décroissante inverse l ordre. On dit que la fonction est strictement croissante ou décroissante lorsque l on manipule des inégalités strictes. Lorsque le sens de variation de f ne varie pas sur un intervalle on dit que la fonction f est monotone sur cet intervalle. Elle est donc soit monotone croissante, soit monotone décroissante. Interprétation graphique : Une fonction croissante conserve l ordre : Pour tous réels x 1 et x 2 de I, f (x 1 ) et f (x 2 ) sont rangés dans le même ordre que x 1 et x 2. Une fonction décroissante inverse l ordre : Pour tous réels x 1 et x 2 de I, f (x 1 ) et f (x 2 ) sont rangés dans le l ordre contraire de x 1 et x 2. 2

3 IV Tableau de variation Définition 5 Etudier les variations (ou le sens de variation) d une fonction, c est indiquer les plus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau de variation. Point-méthode 5 : Dresser le tableau de variation d une fonction On considère la fonction f définie sur [ 2;5] et représentée par la courbe ci-contre. 1. Décrire les variations de f. 2. Dresser le tableau de variation de f. Solution : 1. Pour déterminer le sens de variation d une fonction, on lit sur l axe des abscisses les intervalles sur lesquels la courbe «monte»ou «descend»quand on la parcourt de gauche à droite. Croissante sur [ 2; 1] Décroissante sur [ 1;2] Croissante sur[2;5] 2. Un tableau de variation a 2 lignes : Une ligne pour l axe des abscisses : On écrit x dans la 1 re case On écrit l ensemble de définition aux extrémités de la 2 e case, puis on indique toutes les valeurs de x pour lesquelles il y a un changement de variations. Une ligne pour l axe des ordonnées : On écrit f dans la 1 re case On trace des flèche qui montent ou qui descendent en s arrêtant sous chaque x. On laisse de l espace entre chaque flèche. Dans chacun des espaces, bien aligné avec les x de la 1 re ligne, on écrit les images de chacun d eux. Ce qui donne le tableau suivant : x f Ces valeurs se lisent sur l axe des abscisses Ces valeurs se lisent sur l axe des ordonnées, ce sont les images de x correspondants. 3

4 Point-méthode 6 : Comparer des images grâce aux variations d une fonction On reprendra pour cet exercice le tableau de variation trouvé dans le PM5. Comparer, lorsque cela est possible : 1. f (3) et f (4) 2. f (1) et f (0) 3. f ( 1,5) et f (1) 4. f ( 2) et f (2) Solution : On utilise le sens de variation de la fonction pour savoir si l ordre des images est conservé ou inversé par rapport aux antécédents 1. La fonction f est croissante sur [3;4] donc elle conserve l ordre : 3 < 4 donc f (3) < f (4) 2. La fonction f est décroissante sur [0;1] (attention à l ordre) donc elle inverse l ordre : 0 < 1 donc f (0) > f (1) 3. La fonction f n est pas monotone sur [ 1,5;1] donc on ne peut pas comparer les images. 4. La fonction f n est pas monotone sur [ 2;2] mais on sait que f ( 2) = 3 et f (2) = 1. Par conséquent, f (2) < f ( 2) V Extremum d une fonction Définition 6 Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un nombre réel de I. Dire que f admet un maximum sur I en a signifie que : Pour tout nombre réel x I, f (x) f (a) Le maximum de f sur I est f (a) Dire que f admet un minimum sur I en a signifie que : Pour tout nombre réel x I, f (x) f (a) Le minimum de f sur I est f (a) Interprétation graphique : Le maximum de f sur I est l ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I. Le minimum de f sur I est le point le plus bas de la courbe représentative de f sur I. Point-méthode 7 : Déterminer un extremum graphiquement et algébriquement Voici la représentation graphique de la fonction f définie sur [0;3] par : f (x) = (x 1) Déterminer graphiquement le minimum de f. 2. Déterminer par le calcul le minimum de f ainsi que la valeur en laquelle il est atteint. 4

5 Solution : Point-méthode 7 : (suite) 1. On repère sur la courbe le point le plus bas. Son ordonnée est le minimum. Le point (1;2) est le plus bas de la courbe donc le minimum de f semble être 2 atteint pour x = 1 2. Pour prouver algébriquement qu un point est un minimum, il faut 2 étapes : Trouver un m tel que pour tout x, f (x) m Vérifier qu il existe un a tel que f (a) = m, c est-à-dire vérifier que m est bien atteint. Pour cela, on s aide du carré présent dans l expression de f. (x 1) 2 0 car un carré est toujours positif (x 1) car on ajoute 2 à chaque membre de l inégalité Ainsi, f (x) 2 pour tout x de [0; 3] On résout maintenant l équation f (x) = 2 pour savoir si 2 est bien atteint : f (x) = 2 (x + 1) 2 = 2 (x 1) 2 = 0 x 1 = 0 x = 1 Ainsi f (1) = 2 et pour tout x de [0;3], f (x) 2 donc 2 est le minimum de f sur [0;3] pour x = 1 VI Résolutions graphiques 1 Résolution graphique d équation Une équation peut-être résolue graphiquement ou algébriquement. Pour une résolution graphique, l énonce le stipule clairement en général. Il suffit de trouver les points de la courbe qui nous intéressent. 5

6 Equation f (x) = k de la courbe C f dont l ordonnée est le nombre k La droite horizontale d équation y = k coupe la courbe en deux points, on lit les abscisses : S = {x 1 ; x 2 } Equation f (x) = 0 d intersection de la courbe C f avec l axe des abscisses. La courbe coupe l axe des abscisses en trois points ; on lit les asbcisses : S = {x 1 ; x 2 ; x 3 } Equation f (x) = g (x) d intersection des courbes C f et C g. Les courbes se coupent en trois points ; On lit les abscisses : S = {x 1 ; x 2 ; x 3 } Point-méthode 8 : Résoudre graphiquement une équation Les courbes C f et C g ci-contre représentent deux fonctions f et g définies sur [ 3; 6]. 1. Déterminer graphiquement les antécédents de 2 par la fonction f. 2. Résoudre graphiquement l équation f (x) = Résoudre graphiquement les équations f (x) = 0 et g (x) = Résoudre graphiquement l équation f (x) = g (x). 6

7 Solution : Point-méthode 8 : (suite) 1. On trace une droite horizontale sur y = 2 et on observe le nombre de points d intersections avec la courbe C f. On lit ensuite les abscisses de ces points d intersections. La droite y = 2 coupe la courbe C f en 2 opints d abscisses respectives : 2 et 3. Donc 2 admet 2 et 3 pour antécédents par f. 2. la recherche de solutions de cette équation est équivalente à la recherche des antécédents! Il faut juste ajouter une conclusion sous forme d ensemble de soultions. D après 1, f (x) = 2 a poru ensemble solution : S = { 2;3}. 3. On cherche les points d intersection de C f et C g avec l axe des abscisses. C f en a 2 (en x = 4 et x = 6), et C g n en a pas. Ainsi : f (x) = 0 : S = {4;6} et g (x) = 0 : S = 4. Les solutions cherchées sont les d intersections des deux courbes. Il y a deux points d intersection donc f (x) = g (x) a pour solutions : S = { 1;3}. 2 Résolution graphique d inéquation Nous avons appris dans le chapitre II comment résoudre graphiquement une équation. En appliquant une méthode très similaire, on peut aussi résoudre une inéquation graphiquement. En règle générale, l ensemble des solutions s écrit sous forme d intervalle. Inéquation f (x) > k de la courbe C f dont l ordonnée est supérieure nombre k La droite horizontale d équation y = k coupe la courbe en deux points, on lit les abscisses : S =]x 1 ; x 2 [ Inéquation f (x) > 0 de la courbe C f sirués au-dessus de l axe des abscisses. La courbe coupe l axe des abscisses en trois points ; on lit les asbcisses : S =]x 1 ; x 2 [ ]x 3 ;b] Inéquation f (x) > g (x) de la courbes C f situés au-dessus de la courbe C g. Les courbes se coupent en trois points ; On lit les abscisses : S = [0; x 1 [ ]x 2 ; x 3 [ 7

8 Point-méthode 9 : Résoudre graphiquement une inéquation Les courbes C f et C g ci-contre représentent deux fonctions f et g définies sur [ 3; 6] 1. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) < 2 2. Résoudre graphiquement f (x) g (x) Solution : 1. Pour résoudre graphiquement une inéquation, on procède comme pour une équation : On se place en 2 sur l axe des ordonnées, on repère les d intersection avec la courbe : ici 2 et 3. On regarde toute la partie de la courbe qui est SOUS cette droite (car on a «inférieur») S il y a 2 morceaux (ou plus), alors l ensemble solution sera sous la forme de 2 intervalle (ou plus) On fera attention aux crochets en fonction de l inégalité stricte ou large. Ici f (x) < 2 a pour solution S = [ 3; 2[ ]3;6[ Les crochets sont fermés e 3 et en 6 car on est bien en-dessous de la droite y = 2 pour ces abscisses, mais on les ouvre en 6é et 3 car on est sur la droite et que l inégalité est stricte. 2. Pour comparer 2 fonctions : On repère les abscisses de leurs points d intersection On regarde le ou les intervalles sur le(s)quel(s) la courbe représentant f est au-dessus (car on a «supérieure») de celle représentant g. On est vigilant sur le nombre d intervalles et sur les crochets. Ici f (x) g (x) a pour solution : S = [ 1;3]. L inégalité est large, donc les crochets sont fermés. 8