Le but de cette projection n'est pas de résoudre un problème

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1 METHODE D'ETUDE D'UN CIRCUIT ELECTRIQUE Le but de cette projection n'est pas de résoudre un problème mais de vous montrer comment on peut procéder pour obtenir les lois des noeuds et des mailles. Vous verrez que les théorèmes simplifient les calculs mais augmentent le nombre d'étape intermédiaire Fait en septembre 2006 par Mr Lyszyk

2 On donne le circuit ci dessous On desire calculer la tension aux bornes de Le schéma du circuit électrique doit être compléter avant tout calcul

3 Il existe plusieurs méthodes pour obtenir la réponse La première consiste à n'utiliser que les lois des mailles et des noeuds Les calculs seront longs et fastidieux. C'est une méthode à éviter. La deuxième fait intervenir en plus les différents théorèmes: Superposition Thèvenin Norton On réduit le montage, on le découpe en différentes parties Les calculs sont beaucoup plus simples mais comportent plus d'étapes.

4 Première méthode Utilisation des lois des noeuds et des mailles

5 Introduisons les différents courants dans les branches Les sens que nous allons imposer n'auront aucune conséquence sur le résultat final Commençons par afficher les courants pour les générateurs Nous allons appliquer la convention générateur pour: les générateurs de tension et de courant

6 Nous avons introduit et pour les générateurs de tension On constate que les éléments se retrouvent sans courant Ajoutons I3 pour I4 pour I5 pour I6 est dirigé vers le bas mais nous pourrions l'orienter vers le haut sans que cela change le résultat final I6 I4 et I5 sont dirigés vers le haut car l'est aussi mais nous pourrions choisir l'autre sens I4 I5

7 Tous les éléments sont traversés par un courant représenté par une flèche rouge Représentons à présent les tensions ( ou ddp ) aux bornes de chaque élément Nous allons introduire des flèches bleues I6 I4 I5

8 * * * I6 *I6 *I4 *I5 I4 I5 Le schéma est prêt à être exploité Nous avons adopté la convention récepteur pour les éléments passifs ( R, L, C )

9 Ecrivons les lois des noeuds Noeud A + = I6 I6 Noeud B I5 + I4 = I4 I5 Ce noeud C est inutile car c'est le même que le noeud A

10 Ecrivons les lois des mailles (E) (A) I6 (B) I5 (D) (C) (F) On choisit un point du circuit par exemple le point D. On parcourt un circuit fermé pour revenir à ce point : exemple D E A B C D Il existe plusieurs possibilités, donc plusieurs mailles

11 (E) (A) (A') * * I6 (B) *I3 *I4 *I5 I4 I5 (D) (C) (F) (F') Nous constatons deux choses : qu'il est possible de faire 4 trajets au moins Que des éléments sont pris plusieurs fois. La méthode consiste à faire une première maille la suivante doit obligatoirement prendre un ou plusieurs composants qui n'appartient pas à une maille déjà utilisée. si ce n'est pas, le cas la maille est redondante et donc inutile.

12 Nous ne gardons que le nombre de maille nécéssaire. Il est possible de remplacer et par une résistance équivalente 4 ce qui supprime une maille Nous n'aurons plus que 2 mailles. * La violette (E) (A) (A') * * I6 (B) *I3 *I4 *I5 I4 I5 (D) (C) (F) (F') La bleue

13 * (E) (A) * * I6 (B) *I3 4* 4 (D) (C) Voici la première maille : D E A B C D On compte positivement les tensions dont la flèche est de même sens que le parcourt et négativement celles qui sont de sens contraire. On rencontre successivement * * * 4* ce qui donne * * + * + 4* = 0

14 * (E) (A) (A') * * I6 (B) *I3 4* 4 (D) Voici la deuxième maille : C B A A' C' C (C) (C') On rencontre successivement 4* * *I6 ce qui donne - 4* + * - *I6 =0

15 Récapitulons les différentes équations Loi des noeuds + = I6 I5 + I4 = Inutile si et sont réunis ( 4 ) Loi des mailles * * + * + 4* = 0-4* + * - *I6 =0 *I5 I4 = 0 Inutile si et sont réunis ( 4 ) Nous avons 5 inconnus I4 I5 I6 il faut 5 équations Fait en septembre 2006 par Mr Lyszyk

16 Bon courage pour résoudre ce système Personnellement je préfère la deuxième méthode

17 Application du théorème de superposition Principe de calcul Dans un circuits électrique comportants N sources d'alimentation ( source de tension ou de courant ) On remplace toute les sources sauf une par leur résistance interne ( N-1 sources à remplacer ) ( Une source de tension idéale est remplacée par un fil ) (une source de courant idéale par un circuit ouvert ) On calcule la grandeur recherchée ( tension ou courant ) pour la source en fonctionnement. On recommence avec une nouvelle source pour obtenir un deuxième résultat intermédiaire. On le fait N fois puisqu'il y a N sources. La dernière étape consiste à additionner les N résultats précédents. Remarque importante Le sens de la flèche désignant la grandeur à calculer doit être le même pour tout les calculs intermédiaires.

18 Reprenons le circuit précédent Nous avons deux sources de tension. Nous aurons deux calculs intermédiaires puis la somme de ces résultats.

19 Commençons par seul, est remplacée par sa résistance interne c'est à dire un fil. Sans On veut calculer la tension aux bornes de On pourrait utiliser la loi des mailles et des noeuds directement sans modifier le montage mais ce ne serait pas 'malin'.

20 U6 Nous voyons que U6 correspond à la ddp aux bornes de mais aussi du groupement Faisons le calcul de la résistance équivalente de ces 4 éléments Nous obtenons : R 45 = R 4 R 5 R 4 R 5 53 = 5 + Req 1 = R 453 R 6 R 453 R 6

21 U'6 536 I On applique la formule du pont diviseur de tension U ' 6 = E 1 R 4536 R 4536 R 1 R 2 Passons à la deuxième étape c'est à dire avec seul

22 53 I 26 I U''6 Regroupons et pour obtenir 2 = + 2 est en parallèle avec 26 ={ ( + )* } / ( ++ ) On applique à nouveau la formule du diviseur de tension U ' ' 6 = E 2 R 126 R 453 R 126

23 Troisième et dernière étape On fait la somme des résultats précédents seule U ' 6 = E 1 R 453 R 453 R 1 R 2 seule U ' ' 6 = E 2 R 126 R 453 R 126 Les deux sources ensembles U 6 =U ' 6 U ' ' 6 = E 1 R 453 R 453 R 1 R 2 E 2 R 126 R 453 R 126

24 Application du théorème de Thevenin Rappel du théorème But : Remplacer tout ou partie d un montage par son équivalent sous forme d un générateur de tension idéal en série avec un résistor. Mode opératoire : Enlever la partie à ne pas remplacer ( on l appellera la charge ) Calculer la tension apparaissant aux bornes du montage, on l appellera Uth. Eteindre toutes les sources et les remplacer par leur résistance interne. Calculer la résistance équivalente vue entres les bornes, on l appellera Rth. Remplacer le montage par un générateur de tension de valeur Uth en série avec un résistor de valeur Rth. (A) (A) charge Rth U6 = Eth * / ( + Rth ) Eth (B) (B)

25 (A) (E) (A) Eth 4 (B) (D) (B) On applique le théorème de superposition pour obtenir Eth (E) (A) E th = E 1 R 3 R 54 R 3 R 54 R 1 E 2 R 1 R 2 R 3 R 54 R 1 La résistance équivalente Rth 4 R th = R 1 R 2 R 3 R 54 R 1 R 2 R 3 R 54 (D) (B)

26 Il suffit de remplacer le montage vue entre les bornes A et B (A) R th = R 1 R 2 R 3 R 54 R 1 R 2 R 3 R 54 charge Eth Rth U6 = Eth * / ( + Rth ) avec (B) (B) E th = E 1 R 3 R 54 R 3 R 54 R 1 E 2 R 1 R 2 R 3 R 54 R 1

27 Si vous avez bien suivi vous pouvez le refaire seul bon courage

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