Séquence 7 : le théorème de THALES (3 ème, novembre 2014)
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- Lucile Champagne
- il y a 6 ans
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1 Ø âú Ø ê Séquence 7 : le théorème de THALES (3 ème, novembre 2014) Activité 1 : choisir la bonne réponse I) Droite des milieux A I J Sur la figure précédente, = 5 cm (la figure n est pas en vraie grandeur) et I est le milieu de [A] 1) On est sûr que les droites (IJ) et (A) sont parallèles quand : a) IJ = 2,5 cm b) J = 2,5 cm c) A = 2,5 cm 2) Si les droites (IJ) et (A) sont parallèles, on est sûr que : a) J = 2,5 cm b) IJ = 2,5 cm c) A = 2,5 cm 3) Si les droites (IJ) et (A) sont parallèles et si A = 4,4 cm on est sûr que : a) I = 2,2 cm b) IJ = 8,8 cm c) IJ = 2,2 cm II) Proportionnalité A M R P M. MORIEAU 1 sur 8
2 1) Dans la figure précédente, les droites (AR) et (M) sont parallèles. On sait que : a) AM AP = R RP = M AR b) PM PA = PR P = M AR c) PM PA = P PR = M AR 2) Si 3, 5 2 = 2, 1 AR alors AR est égal à : a) 1,2 b) 1,4 c) 1,8 III) Agrandissement, réduction Dans la figure ci-dessous, qui n est pas en vraie grandeur, on a : E [RD], [RU], RE = 3 cm, ED = 1,5 cm, R = 2 cm et RU = 3 cm. D E R U a) Le rapport d agrandissement permettant de passer du triangle RE au triangle RDU est 2 3 b) Les angles DRU et ÊR ont la même mesure. Activité 2 : La hauteur d un phare ( ) // (PP ) P O 2 m 3 m 48 m P Un touriste veut connaître la hauteur du phare de la pointe Vénus situé dans la commune de Mahina. Pour cela, il met à l eau une bouée, munie d un drapeau d une hauteur de 2 m. Puis, il s en éloigne jusqu à ce que la hauteur du drapeau semble être la même que celle du phare. Le touriste se trouve alors au point O. La figure ci-dessus représente la situation à cet instant. alculer la hauteur PP du phare en expliquant votre raisonnement M. MORIEAU 2 sur 8
3 Enoncer le théorème de THALES que vous avez vu en classe de quatrième : Activité 3 : une nouvelle configuration du théorème de THALES N A M Nous savons que : AM = 2, 7 cm; A = 8, 1 cm; AN = 4 cm, A = 12 cm, MN = 1, 7 cm et = 5, 1 cm (la figure ci-dessus n est pas en vraie grandeur) Les droites (MN) et () sont parallèles. 1) On constate omparer les quotients AM A, AN A et MN. 2) On démontre a) Tracer les points M et N symétriques respectifs des points M et N par rapport au point A b) Expliquer pourquoi les droites (M N ) et () sont parallèles. c) Quelles égalités de quotients peut-on déduire? d) Démontrer le résultat constaté dans la partie 1). M. MORIEAU 3 sur 8
4 Ó Ù Ö ê Ð Øá Ó Ö ãñ Ìá Ð ê Ø Ö Ô Ö Ó Õ Ù åò ÓäÚ ãñ Ö ¾¼½ I. Le théorème de THALES Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en A. Soient et M deux points de (d), distincts de A. Soient et N deux points de (d ), distincts de A. Si les droites () et (MN) sont parallèles alors AM A = AN A = MN Il y a trois configurations possibles : N N A (d) M A (d) M N M A Dans les trois configurations ci-dessus, les droites () et (MN) sont parallèles. Dans chacun des cas, les longueurs des côtés du triangle A sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle AMN. Tableau de proportionnalité : Triangle A longueur A longueur A longueur Triangle AMN longueur AM longueur AN longueur MN M. MORIEAU 4 sur 8
5 Les longueurs des côtés des deux triangles sont proportionnelles, on peut écrire : AM A = AN A = MN ou A AM = A AN = MN Remarque : Le théorème de THALES permet de calculer des longueurs. Exercice : Les longueurs sont données en centimètres. On sait que les droites (D) et (FG) sont parallèles. On donne O = 7,2; OF = 2 et OG = 2,4. F G alculer OD. Solution : O D Les droites (FD) et (G) sont sécantes en O. Les points F, O et D sont alignés. Les points G, O et sont alignés. Les droites (D) et (FG) sont parallèles. Nous pouvons donc appliquer le théorème de THALES et écrire : d où : Pour calculer OD, utilisons O OG = OD OF = D FG 7, 2 2, 4 = OD 2 = D FG 7, 2 2, 4 = OD 2 Donc, OD = 7, 2 2 2, 4 = 6 onclusion : La longueur OD est égale à 6 cm M. MORIEAU 5 sur 8
6 II. Réciproque du théorème de THALÈS Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en A. Soient et M deux points de (d), distincts de A. Soient et N deux points de (d ), distincts de A. Si AM A = AN A et si les points A,, M et les points A,,N sont alignés dans le même ordre Alors les droites () et (MN) sont parallèles. Remarque : La réciproque du théorème de THALES permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Exercice : 3,6 cm R 2 cm 3,2 cm O 8 cm 5 cm S E Démontrons que les droites (R) et (SE) sont parallèles. Solution : O OE = 2 5 RO OS = 3, 2 8 = = = 2 5 donc O OE = RO OS De plus, les points, O, E sont alignés dans le même ordre que les points R, O, S. D après la réciproque du théorème de THALÈS, on peut écrire que les droites (R) et (SE) sont parallèles. III. Démontrer que deux droites sont sécantes (ou non parallèles) N O M U M. MORIEAU 6 sur 8
7 Nous savons que : OM = 6 cm, OU= 3 cm, ON = 8 cm et O = 4,2 cm Démontrons que les droites (MN) et (U) ne sont pas parallèles. Solution : Les droites (N) et (MU) sont sécantes en O. omparons ON O et OM OU Or, ON O = 8 OM 1, 90 et 4, 2 OU = 6 3 = 2 donc ON O OM OU En conclusion, les droites (MN) et (U) ne sont pas parallèles (contraposée du théorème de THALES) M. MORIEAU 7 sur 8
8 åü Ö ê åò ÓäÚ ãñ Ö ¾¼½ Õ Ù ãò Ð Øá Ó Ö ãñ Ìá Ð ê Exercice 1 : Trouver la valeur de x dans les cas suivants : a) x 3 = 11 x b) 6 4,5 = 4 c) 6 5 x = 4 7 Exercice 2 : Exercice 19 page 211 (livre) Exercice 3 : Exercice 20 page 211 (livre) Exercice 4 : Exercice 23 page 211 (livre) Exercice 5 : Extrait du DN 2006 N. alédonie On donne la figure ci-après dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire la figure. L unité de longueur est le centimètre. Les points A, et E sont alignés, ainsi que les points, et D. A = 9,3; = 15,5; D = 13,5; E = 8,1 et DE = 10,8. Les droites (A) et (DE) sont parallèles. A D E 1. alculer la longueur A. Justifier. 2. Démontrer que le triangle DE est un triangle rectangle en E. 3. Sans faire de calcul, démontrer que le triangle A est un triangle rectangle. Exercice 6 : Extrait du DN 2011 Antilles onstruire 1e triangle KLM tel que : KM = 10 cm KL = 5 cm et LM =7 cm. Placer sur [KM] le point N tel que KN = 4 cm. La parallèle à (LM) passant par N coupe (LK) en R. 1. alculer KR et NR. 2. alculer le périmètre du quadrilatère LMNR Exercice 7 : Déterminer les rayons de ces deux cercles. Vous détaillerez votre raisonnement. Vous expliquerez votre démarche sur une feuille sous forme d une narration de recherche. Toute piste, même non aboutie, figurera sur votre copie. figure pour l exercice 7 : M. MORIEAU 8 sur 8
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