Configuration de Thalès
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- Jean-François Favreau
- il y a 6 ans
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![onfiguration de Thalès H P I T R E 4 Énigme du chapitre. Tracer un segment [] de 5 cm. En utilisant le théorème de Thalès, construire le point appartenant au segment [] et tel que = 5.](/docs-images/71/64315280/images/1-1.jpg "7 Une construction sans justification et sans appui sur le théorème de Thalès ne répondra pas à l énigme. Objectifs du chapitre.")
1 onfiguration de Thalès H P I T R E 4 Énigme du chapitre. Tracer un segment [] de 5 cm. En utilisant le théorème de Thalès, construire le point appartenant au segment [] et tel que = 5. 7 Une construction sans justification et sans appui sur le théorème de Thalès ne répondra pas à l énigme. Objectifs du chapitre. onnaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. onnaître et utiliser un énoncé réciproque. grandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir.
2 I/ Théorème de Thalès ctivité. Une autre configuration de Thalès - TIE GeoGebra Partie : onstruire 1. Tracer deux droites (O) et (O) (avec l outil «Droite passant par deux points» ) 2. Tracer la droite (), puis placer un point (avec l outil «ouveau point» ) sur (O) qui n appartient pas à la demi-droite [O). 3. onstruire la droite parallèle à () passant par (avec l outil «Parallèle» ). 4. ommer le point d intersection de cette droite avec la droite (O) (outil «Intersection entre deux objets» ) O Partie : onjecturer 1. Dans la ligne «Saisie» du logiciel, taper la formule Distance[O,]/Distance[O,]. Le résultat s affiche dans la fenêtre algébrique située à gauche. Que fait-on calculer au logiciel. 2. De même, faire afficher les valeurs de O et. Que constate-on pour les trois valeurs O affichées? 3. Déplacer les points de la figure. Que constate-t-on? 4. Quelle égalité de rapports de longueurs peut-on alors conjecturer? Partie : Démontrer 1. Sur la figure, tracer 0 et 0 les symétriques respectifs des points et par rapport à O. 2. Démontrer que les droites ( 0 0 ) et () sont parallèles. 3. Prouver que O0 O = O0 O = En déduire la conjecture faire en fin de Partie. Théorème (Théorème de Thalès) Soit un triangle, 2 () et 2 (). Si les droites () et () sont parallèles alors on a : = = :
3 Remarque Les rapports inverses sont eux aussi égaux : = = Exemples 1. Données :, et sont alignés, et sont alignés. ()==() Donc : d après le théorème de Thalès, = = 2. Données :, et sont alignés, et sont alignés. ()==() Donc : d après le théorème de Thalès, = = Définition Les figures pour lesquelles on peut appliquer le théorème de Thalès s appellent des configurations de Thalès. Faire les exercices F 5 F
4 II/ Réciproque du théorème de Thalès ctivité. Réciproque du théorème de Thalès 1. Reproduire sur quadrillage la figure ci-dessous. O 2. On souhaite placer un point sur la droite (O) et un point sur la droite (O) tels que O O = O O = 1 3 : ombien y-a-t-il de positions possibles pour chacun des points et? Faire une figure pour chaque cas. 3. Recopier et compléter le tableau en ajoutant une ligne pour chaque figure. Position relative de O, et Position relative de O, et () et () sont-elles parallèles?, O et sont alignés dans cet ordre., O et sont alignés dans cet ordre. Oui Théorème (Réciproque du théorème de Thalès) Si les points,, d une part et les points,, d autre part sont alignés dans le même ordre, et si, alors les droites () et () sont parallèles. Exemples = 1. Données :, et sont alignés dans cet ordre., et sont alignés dans cet ordre. =
5 Donc :, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et () sont parallèles. 2. Données :, et sont alignés dans cet ordre., et sont alignés dans cet ordre. = Donc :, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et () sont parallèles. Faire les exercices F 9 F
6 III/ pplications : agrandissement et réduction Définition (grandissement) Quand on multiplie par un nombre k strictement positif les longueurs des côtés d une figure F pour obtenir les longueurs des côtés d une figure F 0, on dit que : F 0 est un agrandissement de F si k > 1 ; F 0 est une réduction de F si k < 1. Le nombre k est appelé le rapport d agrandissement ou le rapport de réduction. Exemple D est un agrandissement de D 0 de rapport D 0 est une réduction de D de rapport 0; D D 0 0 Propriété Un agrandissement (ou une réduction) conserve les mesures d angles. Exemple On donne : D 0 est une réduction de D [ = 71. D après la propriété de conservation des angles par agrandissement : on a \ = 71. Propriété Un agrandissement (ou uen réduction) conserve le parallélisme. Exemple On donne : D 0 est une réduction de D ()==(D). D après la propriété de conservation des angles par agrandissement : on a ( 0 0 )==( 0 D 0 ). Faire les exercices Vu au brevet : Faire les exercices 13 F 14 F
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