Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2011/2012

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1 Mser Méiers de l Enseignemen, Mhémiques - ULCO, L Mi-Voi, / ANALYSE Fiche de Mhémiques 8 - Inégrles générlisées. Dns ce chpie, on rie deu problèmes disincs, mis qui se posen souven simulnémen : celui des inégrles générlisées (inégrles de foncions définies sur des inervlles ouvers de R) e celui des inégrles dépendn d un prmère, c es-à-dire d inégrles de l forme à deu vribles,. Inégrles générlisées f(, )d où (, ) f(, ) désigne une foncion Définiion. Soien I un inervlle quelconque de R, e E un e.v.n. comple. Une pplicion f : I E ser die loclemen inégrble sur I si s resricion à chque sous-inervlle compc de I es inégrble. Définiion. Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle semi-ouver [, b[ de R ( < b ). On di que l inégrle générlisée de f sur [, b] es l limie u poin b, si elle eise, de l foncion F : f()d ( < b). Si cee limie n eise ps, on di que l inégrle de f sur [, b] es divergene. De même, si f es loclemen inégrble sur l inervlle semi-ouver ], b] ( < b < ), l inégrle générlisée de f sur ], b] es l limie u poin, si elle eise, de l foncion F : f()d ( < b). Dns les deu cs, l inégrle générlisée de f sur [, b[ ou ], b] es noée f()d. Définiion.3 Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle ouver ], b[ de R ( < b ) e soi c un poin quelconque de ], b[. On di que l inégrle de f sur ], b[ es convergene si chcune des inégrles es convergene e on pose lors : c f()d = f()d e c c f()d + f()d c f()d. On v voir que l inégrle de f sur l inervlle ouver ], b[ peu se définir direcemen comme une limie d inégrles sur des inervlles compcs. Proposiion. Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle ouver ], b[ borné ou non. Pour que l inégrle de f sur ce inervlle soi convergene, il fu e il suffi que l foncion ϕ : (, y) y f()d, ( < < y < b) i une limie lorsque le poin (, y) end vers le poin (, b) dns R f()d. On donc Eercice f()d = lim (, y) (, b) < < y < b f()d. Monrer que l inégrle de f : ep( ) es convergene sur [, [ e Correcion : Pour ou >, on : e cee limie es l inégrle générlisée ep( )d =. /5

2 F () = ep( )d = ep( ). Eercice Monrer que l inégrle de f : es convergene sur [, [ e + Correcion : Pour ou >, on : Eercice 3 F () = d + = rcn() π. Monrer que l inégrle de f : es convergene sur ], ] e Correcion : Pour ou ], ], on : F () = d =. Eercice 4 Monrer que l inégrle de f : es divergene sur ], ]. Correcion : Pour ou ], ], on : F () = d =. + Eercice 5 Monrer que l inégrle de f : sin() es divergene sur [, [. Correcion : Pour ou > on : e l foncion cos n ps de limie à l infini. sin()d = cos() Clcul prique des inégrles générlisées d =. d + = π. Proposiion. On désigne pr [, b] un inervlle compc de R e pr (c =, c,..., c n = b) une subdivision de [, b] e soi f une foncion vecorielle définie e coninue sur chcun des inervlles ouvers ]c i, c i [ ( i n). S il eise une foncion vecorielle F définie e coninue sur [, b] dmen f() pour dérivée en ou poin où f es définie, lors f dme une inégrle générlisée e on f()d = F (b) F (). Proposiion. Chngemen de vrible. Soi ϕ une bijecion de clsse C de l inervlle ouver ], b[ sur l inervlle ouver ]α, β[ e soi f une foncion vecorielle coninue sur ]α, β[. Pour que l inégrle de f sur ]α, β[ soi convergene il fu e il suffi que l inégrle de (f ϕ)ϕ sur ], b[ le soi e on lors : β f()d = f[ϕ()]ϕ ()d. α Proposiion.3 Inégrion pr pries. Soien u, v deu foncions numériques ou complees de clsse C sur l inervlle ouver ], b[ elles que les limies eisen. Si l une des inégrles A = lim u()v() e B = lim b u()v() u()v ()d e es convergene, il en es de même de l ure, e on u()v ()d = B A u ()v() v()u ()d. Théorème. Si les inégrles de f e g sur I son convergenes, il en es lors de même de l inégrle des foncions f e f + λg pour ou nombre complee λ e on : /5

3 Si f()d converge e f()d = f()d e g()d diverge lors (f() + λg())d = f()d + λ (f() + λg())d diverge. g()d. Remrque. On ne peu rien dire à priori concernn l somme de deu inégrles divergenes ni le produi de deu foncions convergenes. Corollire. Si f es à vleurs complees, lors Re(f)()d e Eercice 6 Im(f)()d son convergenes e en cs de convergence on : f()d = f()d es convergene si e seulemen si les inégrles Re(f)()d + i Im(f)()d. Monrer que l inégrle de f : ln() es convergene sur ], ] e Correcion : On ln()d = ln() + ( Eercice 7 Monrer que l inégrle de f :. ep( ) + ln() ln()d =. ) ep( ) es convergene sur ], [ e f()d =. Correcion : Une primiive de f() = ep( ) ( ep( ) ep( ) ln() + ep( ) ) es : ( ) ep( ) F () = ln( ep( )) ep( ) ln() = ln + ln()( ep( )) e on lim F () = e lim F () =, ce qui donne f()d =. Eercice 8 Monrer que l inégrle de f : es convergene sur ], [ e Correcion : Pour ou [, [, on : e pr prié, pour y ], ], G(y) = ce qui donne le résul nnoncé. y F () = y d = π d = rcsin() du = rcsin( y) u π y d = π. Eercice 9 Soi λ un nombre complee. Éudier l nure de l inégrle ep(λ)d en précisn s vleur en cs de convergence. Correcion : Soi F l primiive de f définie sur ], [ pr si λ = F () = ep(λ)d = ep(λ) si λ. λ Pour λ =, on lim F () = e l inégrle diverge. Pour Re(λ) >, on : F () = ep(λ) λ λ e l inégrle diverge. Pour Re(λ) <, on : ep(λ) λ. ep( λ) = ep(re(λ)) = ep(re(λ)) λ ( ep( Re(λ)). e l inégrle converge vers λ. 3/5

4 Il rese à considérer le cs où Re(λ) =, soi le cs où λ = iy vec y R (λ = es déjà éudié). Dns ( ( ce )) cs l inégrle diverge puisque l foncion ϕ : ep(iy) n ps de limie à l infini (l suie nπ ϕ = (ep(inπ)) n = (( ) n ) n es divergene). y n Eercice Soi f C (R, R) elle que lim. Eisence e clcul de. Clcul de Correcion :. En non F () = (f( + ) f())d. (rcn( + ) rcn())d. f() = l e lim f() = l. f()d pour > e en uilisn le Théorème des Accroissemens Finis, on : (f( + ) f())d = [F ( + ) F ()] = F ( + ) F () F () = f(c ) F (). où c ], + [. E fisn endre vers, on en dédui que : De mnière nlogue, on vérifie que : e finlemen π. Avec f() = rcn() ±, on dédui que : ± (f( + ) f())d = l F (). (f( + ) f())d = F () l (f( + ) f())d = l l. (rcn( + ) rcn())d = π. Eercice Soien, b deu nombres réels. Éudier l nure de l inégrle ep() cos(b)d en précisn s vleur en cs de convergence. Correcion : Pour b =, l eercice 9. nous di que cee inégrle converge si e seulemen si <. Pour b, le chngemen de vrible = u π nous di que cee inégrle converge si e seulemen si b l inégrle ep( π ( b ) ep() cos bu π ) du converge, ce qui es encore équivlen à dire que l inégrle π b ep() sin(b)d converge. En non λ = + ib, on : ep() cos(b) = Re(ep(λ)) e ep() sin(b) = Im(ep(λ)) e uilisn le résul de l eercice 9., on dédui que l inégrle Pour < e b R, on lors Eercice Monrer que Correcion : On I = qui donne I n = n!. ep() cos(b)d = Re ep() cos(b)d converge si e seulemen si <. ( ) ( ep(λ)d = Re ) = λ + b. n ep( )d es convergene e clculer s vleur I n pour ou n N. ep( )d = e une inégrion pr pries nous monre que I n+ = (n + )I n, ce ln() Eercice 3 Monrer que l inégrle d converge e clculer s vleur. ( + ) Correcion : Une inégrion pr pries nous donne pour ], ] : 4/5

5 Eercice 4 [ ln() F () = ( + ) d = ln() ( ) + = ln() ln + Monrer que l inégrle ] + + ln() + ln(). [ ( ) d ( + ) = ln ln() ] + + rcn( ) d converge e clculer s vleur. rcn( ) Correcion : Avec lim =, on prolonge pr coninuié en l foncion à inégrer e le seul problème de convergence es à l infini. Une inégrion pr pries nous donne pour > : rcn( [ ] ) F () = d = rcn( ) d = ) d rcn( (l foncion g : rcn( ) se prolonge ussi pr coninuié en vec g() = ) e l décomposiion en élémens simples de + 4 = ( + ) donne I = π. Eercice 5 Monrer que l inégrle Correcion : Le chngemen de vrible = u donne I = donne I = 4 9 3π. d converge e clculer s vleur. + du e une décomposiion en élémens simples + u3 Eercice 6 Prouver l convergence e clculer ln(sin(n))d. ( ) ( ) sin() sin() Correcion : Pour >, on : f() = ln(sin()) = ln + ln() vec lim ln = ln() =, donc + ( ) sin() ln se prolonge pr coninuié en e comme ln()d es convergene (eercice 6.), on en dédui que ln(sin())d es convergene. Noons I l vleur de cee inégrle. Le chngemen de vrible u = π nous donne pour < < π : ce qui signifie que I = ln(sin())d = ln(cos())d = I. On peu lors écrire que : ln(sin())d + ln(cos())d = Le chngemen de vrible u = nous di que ln(sin())d = De même, le chngemen de vrible u = π nous donne : On donc en définiive : I = π ln(sin())d = 3 Les inégrles de Riemnn ln(cos())d ( sin() ln I + ln(sin())d es convergene e : ) d = ln(sin())d π ln(). ln(sin())d. ln(cos())d = I. ln(sin())d π ln() = I π ln() I = π ln(). Une fmille imporne d inégrles générlisées es donnée pr celle des inégrles de Riemnn. Théorème 3. Soien α un réel e f l foncion définie sur ], [ pr : f : α. 5/5

6 . L inégrle de f sur [, [ es convergene si e seulemen si α > vec : α >, d α = α.. L inégrle de f sur ], ] es convergene si e seulemen si α < vec : α <, d α = α. On pourr noer l nlogie enre les inégrles de Riemnn sur [, [ e les séries de Riemnn. Remrque 3. L inégrle On peu monrer de mnière nlogue l d es divergene quel que soi le réel α. α Proposiion 3. Pour < b e α dns R, l inégrle de f :, (resp. f : ) sur [, b[ es (b ) α ( ) α convergene si e seulemen si α < vec : α <, d (b ) α = d ( ) α = α (b ) α. Eercice 7 On considère pour (r, s) R l inégrle : ( )) s I (r, s) = (ln r d où ], [. ( ( )) s. Clculer l limie lim r ln suivn les vleurs de r e de s. + ( )) s. Monrer que l inégrle (ln r d converge si e seulemen si r > e s >. On noer I(r, s) cee inégrle générlisée pour r > e s >. 3. Si r > e s >, monrer que : I(r, s) = 4. Monrer que pour s >, I(, s) = si(, s ). ep( (r + )) s d = 5. En déduire l vleur de I(r, n) pour ou r > e n N. Correcion :. Le chngemen de vrible = nous donne : ( ( )) s ln() s lim ln = lim r = I(, s). (r + ) s+ si r > e s R si r = e s < si r = s = + si r = e s > + si r < e s R. L inégrle /e ( )) s /e (ln r d d = r ln() s es une inégrle de Berrnd e on si qu elle converge si e seulemen si r < e s R ou r = e s >. d Le chngemen de vrible = ln() nous monre que l inégrle /e r ln() s es de même nure d d que l inégrle, cee dernière én de même nure que l inégrle de Riemnn ep((r + )) s s, donc convergene uniquemen pour s <. ( )) s En conclusion, l inégrle (ln r d converge si e seulemen si r > e s >. 3. En effecun le chngemen de vrible = ln(), on pour r > e s > :. 6/5

7 I(r, s) = r (ln e le chngemen de vrible u = (r + ) nous donne : I(r, s) = 4. Pour s >, une inégrion pr pries donne : I(, s) = [ s ep( )] + s ( )) s d = ep( (r + )) s d u s du ep( u) (r + ) s r + = I(, s). (r + ) s+ s ep( )d = si(, s ). 5. Avec I(, n) = ni(, n ) pour ou enier n, on dédui pr récurrence que I(, n) = n!i(, ) = n!. Il en résule que : I(r, n) = pour ou enier nurel n e ou réel r >. 4 Crières généru de convergence (r + ) n+ I(, n) = n! (r + ) n+ Soi f une foncion loclemen inégrble sur l inervlle ouver ], b[. Soi c un poin quelconque de ], b[ e soi F () = c f()d. Pr définiion, l convergence de l inégrle finies F ( + ) e F (b ). f()d équivu à l eisence des deu limies Proposiion 4. Cs d une foncion numérique posiive. Soi f une foncion numérique posiive loclemen inégrble sur l inervlle semi-ouver [, b[. Pour que l inégrle f()d soi convergene, il fu e il suffi qu il eise un nombre M > el que pour ou [, b[, on i : f()d M. Si l inégrle de f sur [, b[ es divergene, l inégrle F () = conviendr lors d écrire : f()d =. f()d end vers qund end vers b. On Corollire 4. Soien f, g deu foncions numériques posiives sur l inervlle semi-ouver [, b[, vérifin pour ou [, b[ l inéglié f() g(). Si l inégrle Si l inégrle b g()d converge, il en es de même de f()d diverge, il en es de même de b f()d. g()d. Proposiion 4. Cs générl. Crière de Cuchy. Soi f une foncion loclemen inégrble sur l inervlle semi-ouver [, b[. Pour que l inégrle de f sur [, b[ soi convergene, il fu e il suffi que pour oue suie ( n ) de poins de [, b[ convergen vers b, l suie i une limie e cee limie es lors égle à On en dédui le résul fondmenl : F ( n ) = f()d. n f()d Théorème 4. Crière de Cuchy pour les inégrles. Soi f une foncion loclemen inégrble sur l inervlle semi-ouver [, b[, à vleurs dns un e.v.n. comple E. Pour que l inégrle de f sur [, b[ soi convergene, il fu e il suffi qu à chque nombre > donné, on puisse fire correspondre un nombre X() el que les inégliés b > v > u X() enrînen v f()d. u 7/5

8 5 Convergence bsolue e semi-convergence. Règles priques Définiion 5. Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle ouver ou semi-ouver I de R, d erémiés, b. On di que l inégrle de f sur I es bsolumen convergene si l inégrle f() d es convergene. Théorème 5. Soien I un inervlle ouver ou semi-ouver de R d erémiés, b e f : I E une pplicion loclemen inégrble de I dns un e.v.n. comple E. Pour que l inégrle de f sur I soi convergene, il suffi qu il eise une foncion numérique posiive ϕ loclemen inégrble sur I, elle que pour ou I, on i f() ϕ() e elle que l inégrle ϕ()d soi convergene ; l inégrle f()d es lors bsolumen convergene. Corollire 5. Pour que l inégrle d une foncion loclemen inégrble soi convergene, il suffi qu elle soi bsolumen convergene. Proposiion 5. Soien f, g deu foncions numériques posiives loclemen inégrbles sur l inervlle semi-ouver [, b[, équivlenes u voisinge de b. Si l une des inégrles es convergene, il en es de même de l ure. f()d, g()d Proposiion 5. Soi g une foncion numérique sricemen posiive e loclemen inégrble sur l inervlle semiouver [, b[ e soi f une foncion numérique ou complee loclemen inégrble sur [, b[ elle que l limie k = f() lim eise. Alors : b g(). Si l inégrle. Si k e si l inégrle g()d converge, l inégrle f()d es bsolumen convergene. g()d diverge, il en es de même de l inégrle f()d. En prenn pour foncion de comprison g l foncion / α (α R), on obien les règles suivnes : Proposiion 5.3 Soi f une foncion numérique ou complee loclemen inégrble sur l inervlle ], b] elle que l limie k = lim( ) α f() eise. Si α < l inégrle Si α e k, l inégrle On de même f()d es bsolumen convergene u poin. f()d es divergene u poin. Proposiion 5.4 Soi f une foncion numérique ou complee loclemen inégrble sur l inervlle [, [ elle que l limie k = lim α f() eise. Si α > l inégrle Si α e k, l inégrle Eercice 8 f()d es bsolumen convergene u poin à l infini. f()d es divergene à l infini. Monrer que pour ou réel α > les inégrles cos() α d e sin() d son bsolumen convergenes. Correcion : Cel résule immédiemen de l convergence des inégrles de Riemnn à l infini pour α > e de :, cos() α e, sin() α α α. Eercice 9 Monrer que pour ou réel α > les inégrles Correcion : On rie le cs de cos( α ) α d e sin() d son convergenes. sin() d. Une inégrion pr pries donne, pour ou réel > : α 8/5

9 sin() α On conclu lors vec l bsolue convergence de d = cos() cos() α + α cos() α d e vec + cos() d. α+ cos() α α. sin() Eercice Nure de cos() + d. Correcion : L foncion f es coninue sur [, [. Un développemen limié nous donne pour : vec lim () =. Soi f() = sin() + cos() = sin() ( cos() + cos ) () ( + ()) f() = sin() sin() + sin() cos () ( + ()) vec sin() cos () ( + ()) pour ssez grnd. Il en résule que f()d es convergene. Eercice Soi f une foncion coninue sur [, [ elle que l foncion F : f()d soi bornée. f() Éudier l convergence de d. Correcion : On désigne pr M un mjorn de F. Une inégrion pr pries donne pour ou réel > : [ ] f() F () F () d = + d vec : F () M, ce qui enrîne l convergence bsolue de F () f() F () d e d = d F (). 6 Inégrles semi-convergenes. Règle d Abel Proposiion 6. Règle d Abel. Si f une foncion numérique définie sur l inervlle [, [, posiive, décroissne e endn vers zéro à l infini. Soi d ure pr g une foncion numérique ou complee, loclemen inégrble sur [, [, elle que l foncion g()d soi mjorée pr un nombre k, indépendn de. Alors l inégrle f()g()d es convergene. Corollire 6. Si f es une foncion numérique posiive e décroissne sur l inervlle [, [ e si, l inégrle ep(iλ)f()d es convergene pour ou λ R. En conséquence, l inégrle converge pour ou λ R e l inégrle Eercice Monrer que les inégrles générlisées sin(λ)f()d converge pour ou λ R. sin() d = sin() d e sin () d. lim f() = cos(λ)f()d sin () d son convergenes e que : sin() Correcion : Comme lim =, il n y ps de problème de convergence en e l eercice. nous di que sin() d es convergene. Avec sin () sin (), on dédui que d es convergene. Pour ous réels > >, une inégrion pr pries fie en posn : { u() =, u () = v () = sin(), v() = cos() 9/5

10 donne : sin() d = e en uilisn l relion cos() = sin ( Le chngemen de vrible y = ( ) ( sin Enfin vec lim sin ) [ cos() ] ), on obien : [ sin() sin ( ) d = nous donne : ] [ sin() sin ( ) d = = e lim sin ( ) sin() d = ] on dédui que : Eercice 3 On considère l foncion f définie sur [, [ pr : où n 3 es un enier. Monrer que f()d es convergene vec cos() d sin () d. [, [, f() = ep(i n ) lim f() =. sin ( ) d. sin (y) y dy. Correcion : Avec f() =, on dédui que lim f() =. On peu écrire que f = u v vec u() = ni ep(in ) e v() = n. Comme u()v() = n n (on n 3), on dédui du héorème d inégrion pr pries que les inégrles u ()v()d = ep(i n )d e u()v ()d = n ep(i n ) ni n d son de même nure. Comme ep(i n ) n vec n, l inégrle ep(i n ) n d es bsolumen convergene e on en dédui lors que l inégrle ep(i n )d es convergene. 7 Relions enre l convergence des inégrles e l convergence des séries Proposiion 7. Soi f une foncion loclemen inégrble sur l inervlle [, [. Pour que l inégrle soi convergene, il fu e il suffi que pour oue suie ( n ) endn vers, l série de erme générl u n = n+ n f()d soi convergene. Cee proposiion perme difficilemen d éblir l convergence d une inégrle donnée, cr elle eige que l on éudie oues les suies ( n ) endn vers. Dns le cs où f es une foncion posiive, il suffi de considérer une suie priculière ( n ) : Proposiion 7. Soi f une foncion numérique posiive loclemen inégrble sur l inervlle [, [. Pour que l inégrle l série de erme générl u n = f()d f()d soi convergene, il suffi qu il eise une suie croissne ( n ) endn vers, elle que n+ n f()d soi convergene. Dns le cs plus priculier où l foncion posiive f es décroissne, on : Théorème 7. Soi f une foncion numérique posiive e décroissne sur l inervlle [, [. Pour que l inégrle f()d converge, il fu e il suffi que l série de erme générl u n = f(n) soi convergene (u n én défini pour n enier els que n > ). /5

11 sin() Eercice 4 Monrer que pour < α l inégrle α d es semi-convergene. sin() Correcion : On si déjà que les inégrles α d son convergenes pour α > (eercice 8.). Comme pour e < α, on sin() α sin() (qui résule de α ou encore α ), il nous suffi de monrer que sin() d es semi-convergene. Pour ce fire, on uilise l suie ( n ) n N définie pr n, n = nπ. Pour n, le chngemen de vrible = nπ + u nous donne : (n+)π sin() π nπ d = sin(u) nπ + u du π sin(u)du = (n + )π (n + )π (n+)π e en conséquence sin() d =, ce qui enrîne l divergence de sin() d. n= nπ 8 Inégrle définie dépendn d un prmère Théorème 8. Soien X un espce opologique [, b] un inervlle compc de R e f : (, ) f(, ) une pplicion coninue de [, b] X dns un e.v.n. comple E. Alors l foncion : es coninue. Théorème 8. Dérivion sous le signe. F : X E, f(, )d Soi le recngle semi-ouver de R défini pr les inégliés b, α < < β, (, b réels finis, α β ) e soi f : (, ) f(, ) une pplicion coninue de dns un e.v.n. comple E, elle que l dérivée prielle f (, ) eise e soi coninue sur. Alors l foncion F : : F () = f(, )d es dérivble sur ]α, β[ e on f (, )d. () En d ures ermes, si f : E es coninue, l eisence e l coninuié de f son des condiions suffisnes pour ssurer l eisence de l dérivée F e permeen d échnger les signes de dérivion e d inégrion. On rdui ussi l relion () en disn que l dérivée de F s obien pr dérivion sous le signe Proposiion 8. Cs où les limies d inégrion dépenden du prmère. Les hypohèses én celles du Théorème (8.), l foncion (de rois vribles) : es coninue. φ : [, b] [, b] X E, (u, v, ) v u f(, )d Proposiion 8. Si les hypohèses du Théorème 8. son vérifiées, e si u() e v() son deu pplicions coninues de X dns [, b], l foncion es coninue. φ : X E, φ() = v() u() f(, )d Proposiion 8.3 Si les hypohèses du Théorème 8. son vérifiées e si u() e v() son deu pplicions dérivbles de ]α, β[ dns [, b], l foncion : es dérivble e s dérivée es donnée pr : φ () = φ :]α, β[ E, φ() = v() u() v() u() f(, )d f (, )d + f(v(), )v () f(u(), )u (). /5

12 9 Inégrle générlisée dépendn d un prmère Définiion 9. Soien [, b] un inervlle semi-ouver de R, X un ensemble quelconque e f : (, ) f(, ) une pplicion de [, b[ X dns un e.v.n. comple E, elle que pour chque X, l inégrle F () = f(, )d soi convergene. On di que cee inégrle es uniformémen convergene sur X si, pour chque >, il eise un nombre β() (ne dépendn que de ) el que les inégliés β() u < b enrînen f(, )d. On lors u Théorème 9. Soien [, b[ un inervlle semi-ouver de R, X un espce opologique e f : (, ) f(, ) une pplicion coninue de [, b[ Xdns un e.v.n. comple E elle que l inégrle F () = f(, )d soi uniformémen convergene sur X. Alors l foncion F : X E es coninue. Théorème 9. Soi un ensemble pln défini pr des inégliés de l forme < b, α < < β e soi (, ) f(, ) une pplicion coninue de dns un e.v.n. comple E elle que :. f dme une dérivée prielle f (, ) coninue sur,. pour chque ]α, β[, l inégrle 3. l inégrle Alors l foncion F :]α, β[ E, f(, )d es convergene, f (, )d es uniformémen convergene sur ]α, β[. f(, )d es dérivble sur ]α, β[ e on F () = f (, )d Crières de convergence uniforme pour les inégrles Proposiion. Crière de Cuchy pour l convergence uniforme. Soien [, b[ un inervlle semi-ouver de R, X un ensemble quelconque e (, ) f(, ) une pplicion de [, b[ X dns un e.v.n. comple E, elle que pour chque X, l foncion f(, ) soi loclemen inégrble sur [, b[. Pour que l inégrle f(, )d soi uniformémen convergene sur X, il fu e il suffi qu à chque nombre > on puisse ssocier un nombre β() (ne dépendn que de ) el que les inégliés β() u < v < b enrînen v X, f(, )d. Définiion. Les noions én celles de l Proposiion précédene, on di que l inégrle u f(, )d es normlemen convergene s il eise une foncion numérique posiive ϕ, loclemen inégrble sur [, b[ elle que. pour ou [, b[ e ou X on i f(, ) ϕ(),. l inégrle ϕ()d soi convergene. Théorème. Pour que l inégrle convergene. f(, )d soi uniformémen convergene, il suffi qu elle soi normlemen Proposiion. Règle d Abel pour l convergence uniforme. X én un ensemble quelconque e un nombre réel, soien (, ) f(, ) une foncion numérique définie sur l ensemble [, [ X e (, ) g(, ) une foncion numérique ou complee définie sur [, [ X, elles que : /5

13 . pour chque X, l foncion f(, ) es posiive e décroissne ; de plus elle end vers zéro uniformémen pr rppor à lorsque end vers,. pour chque X, l foncion g(, ) es loclemen inégrble sur [, [, e il eise un nombre k u indépendn de el que pour ou X, e ou u [, [, on i : g(, )d k. Alors l inégrle f(, )g(, )d es uniformémen convergene sur X. Proposiion.3 Soi f une foncion numérique posiive e décroissne sur R +, endn vers zéro à l infini. Alors l inégrle F () = ep(i)f()d, R es uniformémen convergene sur l ensemble défini pr, quel que soi >. En conséquence, si f es coninue, F es coninue sur R = R\{}. Eercice 5 Monrer que si f : R + R es une foncion coninue pr morceu, décroissne e elle que lim f() = lors pour ou réel λ non nul, l inégrle f() ep(iλ)d es convergene. Correcion : Pour ou réel > on : ep(iλ)d = ep(iλ) λ λ. L foncion f én décroissne sur R +, on dédui du héorème d Abel que l inégrle convergene pour ou réel α > e ou réel λ. Eercice 6 des nombres réels α e λ. Le bu de l eercice es de déerminer l nure de l inégrle. Trier le cs λ =. On suppose, dns les quesions suivnes, que α.. Monrer que, si α >, lors 3. Monrer que, si < α <, lors 4. Monrer que, si α, lors ep(iλ) d es bsolumen convergene. α 5. Monrer que, si < α, lors les inégrles 6. Monrer que sin () d es divergene. ep(iλ) α d es semi-convergene. ep(iλ) α d es divergene. cos(λ) α d e f() ep(iλ)d es ep(iλ) α d suivn les vleurs sin(λ) α d son semi-convergenes. 7. Monrer que les deu foncions f e g définies sur [, [ pr f() = sin() e g() = sin() + sin () équivlenes u voisinge de. À quelle propriéé cee quesion fourni-elle un conre-eemple? Correcion :. Pour λ =, l inégrle d converge si e seulemen si α >. Pour α >, on lors : α d α = α.. Pour ou réel, on ep(iλ) α = α, donc 3. Pour ou réel >, on : ep(iλ)d = λ son ep(iλ) α d es bsolumen convergene pour α >. ep(iλ) ep(iλ) λ. 3/5

14 L foncion én décroissne sur [, [ pour α >, on dédui du héorème d Abel que l inégrle α ep(iλ) α d es convergene pour ou réel α > e ou réel λ. Pour < α, on ep(iλ) α d = d d = donc l inégrle es semi-convergene dns ce cs. α 4. Pr conjugison complee, on voi que l es. Il en résule que sin(λ) α d le son. Pour monrer l divergence de ep(iλ) α d es convergene si e seulemen si ep(iλ) α d es convergene si e seulemen si les inégrles ep(iλ) d pour α, il suffi donc de monrer celle de α ep( iλ) d α cos(λ) α d e cos(λ) d. Tenn compe de l prié de l foncion cos, on peu supposer que λ >. Soi donc α = β un réel négif ou nul, λ un réel sricemen posiif e F l foncion définie sur [, [ pr : F () = cos(λ) α d = En désignn pr ( n ) n l suie définie pr n = nπ λ, on : F ( n + π ) F ( n ) = λ n+ π λ n β cos(λ)d. e le chngemen de vrible = n + u, nous donne : ( F n + π ) λ F ( n ) = ( n + u) β cos(λ( n + u))du = λ β cos(λ)d λ( n + u) β cos(λu)du. Mis pour u π λ, on λu π e cos(λu), de sore que : λ ( F n + π ) F ( n ) β λ π n cos(λu)du = λ( n + u) β cos(λu)du = β n λ λ e F ne peu voir de limie finie en, ce qui signifie que 5. On si déjà que les inégrles cos(λ) d e α cos(λ) α d diverge. n sin(λ) d son convergenes pour ou réel α > e ou réel λ. Pr prié, on peu supposer que λ >. On noe F l foncion définie sur [, [ pr : F () = α cos(λ) α d e ( n ) n es l suie définie pr n = nπ. Pour α >, on : λ ( F n + π ) λ cos(λ( n + u)) F ( n ) = λ ( n + u) α du = Pour < α, on n= n (F k= λ( nπ λ + π λ ( n + π λ )α )α = e donc ( k + π ) F ( k )) = λ n λ n= k + π λ k= k n+ π λ on dédui que lim F ( n + π n λ ) = e l inégrle procède de mnière nlogue pour sin(λ) α d. cos(λu)du = λ cos(λu) ( n + u) α du λ( nπ λ + π. λ )α (F ( n + π λ ) F ( n)) =. Avec : cos(λ) α d cos(λ) α d = F ( n + π λ ), cos(λ) α d es divergene pour < α. On α 4/5

15 6. Pour ou réel, on sin () = ( cos() divergene, on en dédui que 7. Avec g() = sin() ( + sin() ) convergene e e g()d divergene. ). Comme sin () d es divergene. sin() lim Limies d inégrles générlisées cos() d es convergene e =, on dédui que f() g(). E on ici d es f()d Proposiion. Soi (f n ) une suie de foncions loclemen inégrbles sur l inervlle ouver ], b[, à vleurs dns le même e.v.n. comple E e elles que les inégrles générlisées I n = f n ()d soien uniformémen convergenes. Si l suie (f n ) converge simplemen sur ], b[ vers une foncion f, e si l convergence de (f n ) vers f es uniforme sur chque inervlle compc [u, v] conenu dns ], b[ lors l foncion limie es loclemen inégrble sur ], b[, l inégrle I = f()d es convergene e l suie (I n ) end vers I lorsque n end vers. Proposiion. Soi (f n ) une suie de foncions numériques ou vecorielles loclemen inégrbles sur l inervlle ouver ], b[ e convergen simplemen vers une foncion loclemen inégrble f. Supposons qu il eise une foncion posiive g sisfisn à f n () g() quels que soien ], b[ e n N e elle que l inégrle g()d soi convergene (ce qu on peu eprimer en disn que les inégrles I n = convergenes). Alors l inégrle Applicion u séries Proposiion. Soi n= f()d es convergene e on : f()d = lim n f n ()d. f n ()d son normlemen une série de foncions coninues sur ], b[ convergen uniformémen sur chque inervlle compc conenu dns ], b[ e elles que les inégrles Si les inégrles u n ()d es convergene e on : Références S n () = n u p (), S() = p= u n ()d soien convergenes e soien n= u n (). S n ()d convergen uniformémen u poins e b lors l inégrle S()d = n= u n ()d = n= u n ()d. n= [] Jcqueline LELONG-FERRAND, Jen-Mrie ARNAUDIÈS. Cours de mhémiques. Tome, Anlyse, 4ème édiion. [] Jen-Eienne ROMBALDI. Inégrles générlisées. hp ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ rombldi/cpes/anlysechp3.pdf 5/5