TD n 4 : Formes différentielles et Intégration. : CORRECTION.

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1 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page sur T n : Formes différentielles et Intégration. : CORRECTION. Voir le cours : ) On pose ω = d + d = A d + A d La forme différentielle w est-elle fermée? ω est une forme différentielle sur R et on a : A = et A = donc ω n est pas fermée sur R Par théorème, si U ouvert de R p, ω eacte sur U ω fermée sur U. onc puisque ω n est pas fermée, ω n est pas eacte. ) On pose ω = + 3 d + ( 3 )d = A d + A d ω est une forme différentielle sur R et on a : A = 3 et A = donc ω n est pas fermée sur R Par théorème, si U ouvert de R p, ω eacte sur U ω fermée sur U. onc puisque ω n est pas fermée, ω n est pas eacte. 3) On pose ω = d + d = A ²+² ²+² d + A d ω est une forme différentielle sur R et on a : A = ²+² = A donc ω est fermée sur l ouvert non étoilé R \{; } ω eacte sur U ssi il eiste F : U R de classe C telle que : d a F = ω(a) (pour a de U) Sur R : Cela correspond à :, = A, et, = A, donc on cherche une fonction F de classe C telle que :, = A, = ; soit F, = ln + ²+², = A, = soit ²+² ln + + a() = + a() (avec a C ) ²+² + a = ²+²

2 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page sur onc a = soit a = Cte Finalement ω est bien eacte sur R et ω = df avec F, = ln + + Cte ) On pose ω = ²d + d + z²dz = A d + A d + A 3 dz ω est une forme différentielle sur R 3 et on a : A = et A = donc ω n est pas fermée sur l ouvert étoilé R3 Par théorème, si U ouvert de R p, ω eacte sur U ω fermée sur U. onc puisque ω n est pas fermée, ω n est pas eacte. 5) On pose ω = 3 d + 3 d + z 3 dz = A d + A d +A 3 d 3 ω est une forme différentielle sur R 3 et on a pour i j dans {,,3} : A i j = = A j i donc ω est fermée sur l ouvert étoilé R 3 ω eacte sur U ssi il eiste F : U R de classe C telle que : d a F = ω(a) (pour a de U) Sur R 3 : Cela correspond à :, = A,, z, donc on cherche une fonction F de classe C telle que :, = A,, z et z, = A 3,, z, = A, = 3 ; soit F, = + a(, z) (avec a C ) z, = A, = 3 soit, = A 3, = z3 soit + a(, z) = a, z = 3 onc a, z = + b(z) + + b(z) = b z = z3 onc b z = z + Cte Finalement ω est bien eacte sur R et ω = df avec F, = + + z + Cte 6) On pose ω = e + d + (e + 3e )d = A d + A d ω est une forme différentielle sur R et on a pour i j dans {,} : A i j = e = A j i donc ω est fermée sur l ouvert étoilé R Finalement ω est bien eacte et ω = df avec F, = + e + 3e + Cte 7) On pose ω = d + + d = A d + A d ω est une forme différentielle sur R et on a : A = et A = donc ω n est pas fermée sur l ouvert étoilé R

3 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page 3 sur Par théorème, si U ouvert de R p, ω eacte sur U ω fermée sur U. onc puisque ω n est pas fermée, ω n est pas eacte. 8) On pose ω = d d = A ²+² ²+² d + A d avec > [Auca]p 56 On note U = { ; R tel que > }, U est donc le demi-plan délimité par (O), (O) eclu, ne contenant pas (- ;). ω est une forme différentielle sur R et on a pour i j dans {,} : A i j = étoilé U ² ² ²+² ² = A j i donc ω est fermée sur l ouvert ω eacte sur U ssi il eiste F : U R de classe C telle que : d a F = ω(a) (pour a de U) Sur R : Cela correspond à :, = A, et, = A, donc on cherche une fonction F de classe C telle que :, = A, = ; soit F, = arctan + a si (avec a C ) ²+² Pour, = A, = + soit arctan + a = + ²+² a = + donc a = Cte Finalement ω est bien eacte sur U privé de l ae des abscisses et ω = df avec F, = arctan + Cte Remarque : La forme difféentielle ω = d d est fermée sur tout ouvert U ²+² ²+² R \{; } mais elle n est pas eacte sur un ouvert contenant des points ( ; ). 9) On pose ω = ²+² +²+² ² d + +² ² +²+² ² d = A d + A d ω est une forme différentielle sur R et on a : A = +6²² + = A +²+² 3 donc ω est fermée sur l ouvert étoilé R ω eacte sur U ssi il eiste F : U R de classe C telle que : d a F = ω(a) (pour a de U) Sur R : Cela correspond à :, = A, et, = A, donc on cherche une fonction F de classe C telle que :, = A, = A ²+², = ; soit F, = + a() (avec a +²+² ² +²+² C ), = +² ² +²+² ² soit onc a = soit a = Cte +²+² + a() +² ² = + +²+² ² a +² ² = +²+² ² Finalement ω est bien eacte sur R et ω = df avec F, = +²+² + Cte

4 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page sur Voir le cours : a) Regardons si elle est fermée. ω est une forme différentielle sur R et on a : A = et A = donc ω n est pas fermée sur l ouvert étoilé R Par théorème, si U ouvert de R p, ω eacte sur U ω fermée sur U. onc puisque ω n est pas fermée, ω n est pas eacte. b) éterminons φ telle que la forme différentielle ω définie par ω (, ) = φ() ω(, ) soit fermée. éterminons φ telle que ω soit fermée. On pose ω = B d + B d B = φ() et B = φ (). onc on prend par eemple φ() = e. ainsi φ = φ() et B = B onc en prenant φ() = e, ω est fermée sur l ouvert étoilé R On a alors ω = ( + )e d e d c) Posons : ω = ( + )e d e d = B d + B d ω eacte sur U ssi il eiste F : U R de classe C telle que : d a F = ω (a) (pour a de U) Sur R : Cela correspond à :, = B, et, = B, donc on cherche une fonction F de classe C telle que :, = B, = e ; soit F, = ² e + a() (avec a C ), = B, = ( + )e soit ² e + a() = ² e + a = ( + )e onc a = ( )e soit après IPP a = ( )e Finalement ω est bien eacte sur R et ω = df avec F, = ( )e + Cte Remarque : On peut vérifier que si ω, = ( + )e d e d et F, = ( )e + Cte on a ω = df

5 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page 5 sur Eercice 3. Voir le cours : f r = a avec a = Cte f dérive-t-elle d un potentiel? A j = a j = Cte donc rot F = car pour i j dans {,,3} : A i j = = A j i e ce fait rot F = sur U = R ouvert étoilé et donc f dérive d un potentiel. éterminons φ telle que f = grad φ. On a. f = grad φ = (a ; a ; a 3 ) donc φ soit φ(,, z) = a + g(, z) φ soit g, z = a + (z) φ z 3 soit z = a 3 z + Cte onc φ,, z = a + a + a 3 z + Cte. f,, z = (,, z ) f dérive-t-elle d un potentiel? A = et A = donc f ne dériva pas d un potentiel. 3. f r = r a On pose a = a ; a ; a 3 f dérive-t-elle d un potentiel? A = a 3 et A z A z A = a 3 donc f ne dériva pas d un potentiel. (sauf si a 3 = ) A 3 = a et = a donc f ne dériva pas d un potentiel. (sauf si a = ) = a A et 3 = a donc f ne dériva pas d un potentiel. (sauf si a = ) donc f ne dériva pas d un potentiel puisque.a = a ; a ; a 3. f r = r f dérive-t-elle d un potentiel? Pour i j dans {,,3} : A i j = = A j i sur U = R ouvert étoilé et donc f dérive d un potentiel. f = grad φ = (,, z) onc φ,, z = + + z + Cte 5. f,, z = ( 3, 3, z 3 ) f = grad φ = (,, z) et φ,, z = + + z + Cte 6. f,, z = (e,, ) f = grad φ = (,, z) et φ,, z = e + Cte

6 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page 6 sur Eercice. Intégrales curviligne. I = ²d + ²d sur le segment reliant A( ;) et B( ;3) Equation du segment [AB] : ; et = + =. Le paramétrage est donc : = t = t = t = t soit : t = t = Alors d après la définition : γ ω b = P t, t t + Q t, t t dt a Calcul de l intégrale curviligne. : I = t t dt + t dt = t 3 t² + t dt = 7 6. I = d + d sur l arc AB du cercle C(O ;) avec A( ;) et B( ;) arc AB : Le cercle C est d équation : ² + ² = = t = cos t Par passage en coordonnées polaires = t = sin t, avec t qui varie de à. onc (t) = sin t (t) = cos t Calcul de l intégrale curviligne. I = cos t sint t ( sin t) + sint t ( cos t) dt = 8 3 sin3 t + sin² t = 3 3. I = d + ²d carré ABC : sur le carré de sommet O, A(,), B() et C(,) parcouru dans le sens O,A,B,C,O Sur [OA] : = varie de à Sur [AB] : varie de à = Sur [BC] : = varie de à Sur [CO] : varie de à = Calcul de l intégrale curviligne. I = d + ²d = + [OA] + [AB] + [BC] [CO] = d + d + d + d = = Compléments. C est un chemin fermé. ω = d + ²d est-elle fermée? NON. Appliquons Green-Riemann. Q P dd = Pd + Qd Pd + Qd = Q P dd = dd = d d = ² d =

7 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page 7 sur. I = ²d + ²d sur l arc de parabole ² = + qui joint A( ;) à B(- ;) l arc de parabole : = ² Sur cet arc, varie de à Le paramétrage est donc : = t = t² soit : = t = t t = t t = Calcul de l intégrale curviligne. I = ²d + ²d = t² tdt + t² ²dt = t t t3 3 + t = 5

8 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page 8 sur. Calculons : I = + e e dd sur = ; R,, +. I = + e e dd = e + e d I = e e + + d soit I = 5e d = e e d. Calculons : J = ² + ² dd sur = ; R ² + ² < et ² + ² >. Version d'évaluation - Utilisation interdite en classe + ( -,5 ) =,5.5 B.5 A ( -,5) + =,5 Soit M( ; ) un point du domaine. o La condition : ² + ² < correspond à ( )² + ² <, donc M est à l intérieur du cercle C (eclu) de centre A ; et de raon R = o La condition : ² + ² > correspond à ² + ( )² >, donc M est à l etérieur du cercle C (eclu) de centre B ; et de raon R = Le domaine correspond donc à la partie uniquement coloriée en rose. On passe en coordonnées polaires.

9 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page 9 sur = r cos t Posons = r sin t alors : o La condition : ² + ² < correspond à r² < r cos t, r = cos t est l équation polaire du premier cercle. o La condition : ² + ² > correspond à r² > r sin t, r = sin t est l équation polaire du second cercle. Or r est positif donc les deu conditions entrainent : sin t < r < cos t o On doit donc avoir : cos t >, donc on peut prendre t dans ], [ o On doit avoir en plus sin t < cos t, donc on doit avoir t dans ], [ o e plus r est positif donc si t est dans ], [, il faut prendre r entre sin t et cos t si t est entre ],[, il faut prendre r entre et cos t J = J = cos t ² + ² dd = r² r drdt = r 3 dr cos t J = cos t J = cos t J = cos t dt + dt + cos t sin t dt cos t sin t cos t + sin t dt + cos t dt + cos t dt dt dt dt + cos t sin t r 3 dr dt Il faut linéariser cos t cos t = cos² t ² = cos t = cos t cos t cos t = cos t + cos t + = + cos t + cos t + cos t = + 8 cos t onc J = cos t J = dt + cos t dt = sin t 3 sin t t + sin t J =

10 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page sur 3. Calculons : K = dd +²+² sur = ; ; ² et ² + ² Version d'évaluation - Utilisation interdite en clas Le domaine correspond au points etérieurs au cercle C de centre O et de raon, qui sont intérieur au carré O, ( ;) ( ;), ( ;). Pour qui varie de à, varie de ² à K = K = + ² + ² dd = ln( + + ) d ² K = ln ² + Par IPP : d ² + ² + ² d d K = ln ² + = ² + ln ² + d K = ln 3 3 Calculons ² + d 3 d. + 3 ² + d = 3 + d = ² + ( + ) d ² + = ² + d = ln ( + ) 3 ² + d = ln 3 + ln + onc on obtient : K = ln 3 ln 3 + ln + K = 3 ln 3

11 T n : CORRECTION des eercices,, 3, et.page sur. Calculons : K = dd sur = ; R, >, ² + ². a et b positifs. a² b² Version d'évaluation - Utilisation interdite en classe Le domaine correspond à l intérieur de l ellipse pour et positifs K = a b a a² ² dd = d d = b² a² a a² ² d = a² b² 8