Mathématiques générales Correction du QCM du 6 octobre 2006

Transcription

1 Mathématiques générales Correction du QCM du 6 octobre 6. L ensemble des solutions de l inéquation x x x est ], 3 ] [ 3, ] [ 3, + [ [, + [ aucune des réponses précédentes n est correcte. Si r est un réel strictement négatif, alors r vaut r r r aucune des réponses précédentes n est correcte 3. Si a =, alors l expression 5 a j vaut j= aucune des réponses précédentes n est correcte 4. Dans un repère orthonormé du plan, l ensemble des points dont les coordonnées cartésiennes x, y vérifient l équation x y + 4 = est une hyperbole une parabole une ellipse une droite ou une union finie de droites aucune des réponses précédentes n est correcte 5. Pour que deux réels non nuls aient le même carré, il est nécessaire que ces réels soient égaux Vrai Faux. L ensemble des solutions de l inéquation x x x est ], 3 ] [ 3, ] [ 3, + [ [, + [ aucune des réponses précédentes n est correcte. Si r est un réel strictement négatif, alors r r vaut ± r r aucune des réponses précédentes n est correcte 3. L expression 3 n! vaut n= n! 3 8 aucune des réponses précédentes n est correcte 4. Dans un repère orthonormé du plan, l ensemble des points dont les coordonnées cartésiennes x, y vérifient l équation x + y + = est une hyperbole une parabole une ellipse une droite ou une union finie de droites aucune des réponses précédentes n est correcte 5. Si le carré du réel non nul a est plus petit ou égal au carré du réel b, alors, nécessairement, le réel a est plus petit ou égal au réel b Vrai Faux

2 . L ensemble des solutions de l inéquation x x x est ], 3 ] [ 3, ] [ 3, + [ [, + [ aucune des réponses précédentes n est correcte. Si r est un réel strictement négatif, alors r + r vaut ± r r aucune des réponses précédentes n est correcte 4 3. Si r j = j =,, 3, 4, alors l expression r j vaut 4 aucune des réponses précédentes n est correcte j= 4. Dans un repère orthonormé du plan, l ensemble des points dont les coordonnées cartésiennes x, y vérifient l équation x y = est une hyperbole une parabole une ellipse une droite ou une union finie de droites aucune des réponses précédentes n est correcte 5. Deux réels non nuls peuvent avoir le même carré mais être de valeur absolue différente Vrai Faux. L ensemble des solutions de l inéquation x x x est ], 3 ] [ 3, ] [ 3, + [ [, + [ aucune des réponses précédentes n est correcte. Si r est un réel strictement négatif, alors r vaut r r r aucune des réponses précédentes n est correcte 3. Si a =, alors l expression 5 j a j vaut j= aucune des réponses précédentes n est correcte 4. Dans un repère orthonormé du plan, l ensemble des points dont les coordonnées cartésiennes x, y vérifient l équation x + 3y = est une hyperbole une parabole une ellipse une droite ou une union finie de droites aucune des réponses précédente n est correcte 5. Pour que deux réels aient le même carré, il suffit qu ils soient opposés Vrai Faux

3 Mathématiques générales Correction de l interrogation du 6 novembre 6 ère année de Bachelier en biologie, géographie, philosophie Question Déterminer le domaine de définition des fonctions f, g données par fx = x 3 + x, gx = lnx + 3x +. Solution. Le domaine de définition de la fonction f est {x R : x 3 + x } = [, + [ {x ], [ : x 3 x = xx } = [, + [ {x ], [ : x } = [, + [ [, [ = [, + [. Le domaine de définition de g est {x R : x + 3x + > } = {x R : x + x + > } = ], [ ], + [. Question Pour chacune des expressions suivantes, déterminer si elle a un sens et dans ce cas, la simplifier au maximum. arcoscos, arcsin sin 8π 5, + ln e. Solution. Comme [, π], on a On a π < 8π 8π 5 < π donc < π 5 = 7π 5 < π arcsin sin 8π 5 arcoscos =. 8π et sin 5 7π = sin 5 ; dès lors = arcsin sin 7π 5 = 7π 5. En utilisant les propréiéts de la fonction ln, on obtient + ln e = + ln ln e = + ln + ln = 3 ln. Question 3 Décomposer la fraction rationnelle suivante en une somme de fractions simples à coefficients réels x 3 + x. Solution. Le dénominateur s écrit x 3 + x = x x + ; on sait donc qu il existe des réels uniques r, s, t tels que x 3 + x = r x + s x + t x +, En procédant par coefficents indéterminés, on trouve x + x 3 = x + x + x +, x R \ {, }. x R \ {, }. Remarquons cependant que la forme du dénominateur permet de trouver la réponse assez directement en procédant comme suit + x x x = + x3 x = x + x xx + = + x x = x xx + x x + x +, x R \ {, }. 3

4 Question 4 4. Dans un même repère orthonormé du plan, représenter graphiquement les fonctions f, g, h suivantes en utilisant des couleurs différentes fx = cos x, x [ π, π]; gx = + cos x, x [ π, π]; hx = + cos x, x [ π, π]. 4. Dans un repère orthonormé du plan, représenter graphiquement l ensemble suivant en le hachurant. { x, y : x, y R, x + y 4x et y 4 x }. 4.3 Décrire analytiquement l ensemble hachuré suivant les bords sont compris dans l ensemble. Solution. 4. La fonction f est représentée en trait continu. la fonction g est représentée par la courbe avec le trait pointillé finement au-dessus de l axe X car g est à valeurs strictement positives. La fonction h, à valeurs négatives ou nulle, est la troisième courbe. X X 4. Voici une représentation de l ensemble X 4.3 Voir l interrogation de novembre 5 correction disponible sur le web, aux pages habituelles. On a la propriété suivante : le logarithme népérien est une fonction qui, à tout produit de deux réels de son domaine de définition associe la somme des valeurs de la fonction en ces réels. Exprimer mathématiquement cette propriété. Démontrer cette propriété. Solution. Voir notes de cours. 4

5 Mathématiques générales Correction de l interrogation du 6 novembre 6 ère année de Bachelier en informatique Question Déterminer le domaine de définition de la fonction f donnée par fx = x x x. Solution. Le domaine de définition de la fonction f est {x R : x x x } = ], ] {x ], + [ : x 3 x = xx } = ], ] {x ], + [ : x } = ], ] [, + [. Question Pour chacune des expressions suivantes, déterminer si elle a un sens et dans ce cas, la simplifier au maximum. arcsin sin, arctg tg 8π 5, lncos π + ln 6. 6 Solution. Comme [ π, π ], on a arcsin sin =. On a π < 8π 5 < π donc π < 8π 5 π = 7π 5 < et tg 8π 5 arctg tg 8π 5 7π = tg 5 ; dès lors = 7π 5. On a cos π 6 = 3 donc lncos π ln 6 = ln + ln 6 = ln 6 = ln3 3 = 3 ln 3. Question 3 3. Déterminer tous les nombres complexes z vérifiant l équation z 4 =. 3. Déterminer ensuite les coordonnées polaires des points du plan définis par les complexes dont il est question au point précédent. Solution. On a directement z 4 = z z + = z z + z i z + i donc les complexes cherchés sont,, i, i. Leurs coordonnées polaires respectives sont l angle polaire étant choisi dans l intervalle [, π[:, ;, π;, π ;, 3π. Question 4 Décomposer la fraction rationnelle suivante en une somme de fractions simples à coefficients réels x 4x. Solution. Comme le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, effectuons la division; on a immédiatement Cela étant, on a 4x = x x + donc x 4x = 4x + 4 4x = x. 4x = x x + et finalement x 4x = 4 + 8x 8x +, x R \ {, }. 5

6 Question 5 5. Dans un même repère orthonormé du plan, représenter graphiquement les fonctions f, g, h suivantes en utilisant des couleurs différentes fx = sin x, x [ π, π]; gx = + sin x, x [ π, π]; hx = + sin x, x [ π, π]. 5. Dans un repère orthonormé du plan, représenter graphiquement l ensemble suivant en le hachurant. { x, y : x, y R, x + y 4x et x y }. 5.3 Décrire analytiquement l ensemble hachuré suivant les bords ne sont pas compris dans l ensemble. X Solution. 5. La fonction f est représentée en trait continu; la fonction g est représentée par la courbe entièrement située sous l axe X la fonction g est à valeurs négatives ou nulle; la fonction h est représentée par la courbe entièrement située au-dessus de l axe X la fonction h est à valeurs positives ou nulles X 5. Voici une repésentation de l ensemble X Voir l interrogation de novembre 5 disponible sur le web, pages habituelles. Question 6 On a la propriété suivante : le logarithme népérien est une fonction qui, à tout produit de deux réels de son domaine de définition associe la somme des valeurs de la fonction en ces réels. Exprimer mathématiquement cette propriété. Démontrer cette propriété. Solution. Voir notes de cours. 6

7 Mathématiques générales Correction de l interrogation du 8 novembre 6 ère année de Bachelier en chimie, géologie Question Déterminer le domaine de définition des fonctions f, g données par fx = x x x, gx = lnx + x +. Solution. Le domaine de définition de f est {x R : x x x } = {x ], [ : x x x } {x [, + [ : x x x } = {x [, + [ : x x x } = {x [, + [ : x x x } = {} {x ], + [ : x } = [, ]. Le domaine de définition de g est {x R : x + x + > } = {x R : x + > } = R \ { }. Question Pour chacune des expressions suivantes, déterminer si elle a un sens et dans ce cas, la simplifier au maximum. arcoscos 8π 5, sin arcsin, lnsin + lncos lnsin ln. Solution. On a cos 8π 5 8π 8π = cos 5 et 5 [, π]; dès lors arcoscos 8π 5 8π 8π = arcoscos = 5 5. Comme arcsin est défini sur [, ] et comme >, la seconde expression n a pas de sens. On a lnsin + lncos = lnsin cos = ln sin cos = lnsin ln donc lnsin + lncos lnsin ln = ln. Question 3 Décomposer la fraction rationnelle suivante en une somme de fractions simples à coefficients réels x 3 x. Solution. On a x 3 x = x x ; dès lors, on obtient directement x 3 x = x + x x x = x + x x = x + x x. Question 4 4. Dans un même repère orthonormé du plan, représenter graphiquement les fonctions f, g, h suivantes en utilisant des couleurs différentes fx = sin x, x [ π, π]; gx = sin x cosx, x [ π, π]; hx = + sin x, x [ π, π]. 4. Dans un repère orthonormé du plan, représenter graphiquement l ensemble suivant en le hachurant. { x, y : x, y R, x y et x + y }. 4.3 Décrire analytiquement l ensemble hachuré suivant les bords sont compris dans l ensemble. X 7

8 Solution. 4. La fonction f = sin est représentée en trait continu; la fonction g est en fait la fonction sin = f et est représentée en avec le trait pointillé finement; la fonction h est représentée par la courbe entièrement située au-dessus de l axe des X l image de h est [, ] X 4. On a la représentation suivante les bords sont compris dans l ensemble X Voir l interrogation des biologistes. Question 5 5. On donne une fonction f, à valeurs réelles, de domaine de définition [, + [. On demande de définir mathématiquement ce que l on entend par f est une fonction convexe sur [, + [ et d en donner une interprétation graphique. 5. Dans un repère orthonormé du plan et en se servant du cercle centré à l origine et de rayon, on demande de définir géométriquement le cosinus du réel 5. Solution. Voir notes de cours. 8

9 Mathématiques générales QCM du décembre 6. La limite lim x e x est égale à e + aucune des réponses précédentes n est correcte. La limite lim x ln x x est égale à + aucune des réponses précédentes n est correcte 3. Le domaine de dérivabilité de la fonction x lnx est ], [ ], + [ ], [\{} R R aucune des réponses précédentes n est correcte 4. La dérivée de la fonction fx = sincos x, x R est donnée explicitement par cossin x cossin x sinsin x sinsin x coscos x coscos x sincos x sincos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x 5. Pour toutes fonctions f, g définies sur ], [ admettant des limites en + et vérifiant lim x +fgx = et lim x + fx R, on a lim x + gx = Vrai Faux Mathématiques générales QCM du décembre 6. La limite lim x lnx est égale à e + aucune des réponses précédentes n est correcte. La limite lim x ln x x est égale à / / + aucune des réponses précédentes n est correcte 3. Le domaine de dérivabilité de la fonction x ln e x est ], [ ], + [ ], [\{} R R aucune des réponses précédentes n est correcte 4. La dérivée de la fonction fx = coscos x, x R est donnée explicitement par cossin x cossin x sinsin x sinsin x coscos x coscos x sincos x sincos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x 5. Pour toutes fonctions f, g définies sur ], [ admettant des limites en + et telles que lim fx x + gx =, on a lim x + fx = lim x + gx Vrai Faux 9

10 Mathématiques générales QCM du décembre 6. La limite lim x + arctg n est correcte x +x est égale à π/ π/ + aucune des réponses précédentes. La limite lim x ln x+ lnx est égale à / / + aucune des réponses précédentes n est correcte 3. Le domaine de dérivabilité de la fonction x ln x est ], [ ], + [ ], [\{} R R aucune des réponses précédentes n est correcte 4. La dérivée de la fonction fx = sinsin x, x R est donnée explicitement par cossin x cossin x sinsin x sinsin x coscos x coscos x sincos x sincos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x 5. Pour toutes fonctions f, g définies sur ], [ telles que lim x + fx = lim x + gx, on a lim fx x + gx = Vrai Faux Mathématiques générales QCM du décembre 6. La limite lim x + arcos n est correcte x x+ est égale à π/ π/ + aucune des réponses précédentes. La limite lim x ln x sin x est égale à + aucune des réponses précédentes n est correcte 3. Le domaine de dérivabilité de la fonction x ln sin x est ], [ ], + [ ], [\{} R R aucune des réponses précédentes n est correcte 4. La dérivée de la fonction fx = cossin x, x R est donnée explicitement par cossin x cossin x sinsin x sinsin x coscos x coscos x sincos x sincos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x coscos x sin x coscos x cos x sincos x sin x sincos x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x cossin x sin x cossin x cos x sinsin x sin x sinsin x cos x 5. Pour toutes fonctions f, g définies sur ], [ telles que lim x + fx = et lim x + gx =, on a lim x +fgx = Vrai Faux

11 Mathématiques générales Correction de l Ecrit, 8 janvier 7 QCM. Le domaine de définition de la fonction f donnée par fx = ln e x+ est ], [ ], [ ], + [ ], + [[ aucune des réponses précédentes n est correcte. La partie imaginaire du conjugué du complexe i est i i aucune des réponses proposées n est correcte 3. Pour que le produit de deux réels non nuls soit strictement positif, il est nécessaire que ces réels soient strictement positifs Vrai Faux 4. La dérivée de la fonction fx = arctge x, x R, est donnée par ex + e x e x + e x ex + x + e x ex + e x ex ex + e x + x + e x ex e x e x e x ex x e x ex e x aucune des réponses précédentes n est correcte ex ex e x x e x Autre version du QCM. Le domaine de définition de la fonction f donnée par fx = arcsine x est [, ] ], ] [, + [ [ e, e] aucune des réponses précédentes n est correcte. Le conjugué de la partie imaginaire du complexe i est i i aucune des réponses proposées n est correcte 3. Pour que le produit de deux réels non nuls soit strictement négatif, il est suffisant que ces réels soient de signes opposés Vrai Faux 4. La dérivée de la fonction fx = ln + e x, x R, est donnée par + e x + e x ex + x + e x ex + e x ex e x e x e x ex x e x ex e x aucune des réponses précédentes n est correcte ex ex + e x + x ex ex e x x + e x e x Autres questions er bachelier en biologie, chimie, géologie, philosophie Question. Si elle existe, déterminer la limite suivante lim ln. x x Solution. Comme la fonction ln est définie dans ], + [ le domaine de définition de x ln x est ], [; la question posée a donc un sens. Cela étant, on obtient lim ln = lim ln y =. x x y + Question. i Dans un repère orthonormé du plan représenter graphiquement l ensemble suivant en le hachurant { x, y : x, y R, x x + y 3 et x y }. ii Décrire analytiquement l ensemble suivant les bords sont compris dans l ensemble

12 3 X Solution. i On a x x + y = 3 x x + + y = 4 x + y = 4 et l équation x = + y est celle de la parabole d axe X, de sommet de coordonnées, et qui passe par le point de coordonnées,. L ensemble donné est donc constitué des points situés à la fois à l intérieur du cercle centré en,, de rayon et à l intérieur de la parabole d équation x = + y. On a la représentation suivante les bords sont compris dans l ensemble X - - ii Cet exercice a été résolu au cours d une répétition de fin septembre-début octobre 6. Question 3. Primitiver les fonctions f et g suivantes, en spécifiant chaque fois l intervalle sur lequel vous travaillez. f : x x, g : x ln x. 3x + Solution. Comme on a x 3x + = x x, la fonction f est continue sur R \ {, }, donc primitivable sur ], [, ], [, ], + [; de plus, fx = x, x R \ {, } x et fxdx = x dx dx ln x x x sur ], [ resp. ], [, ], + [. La fonction g est continue sur ], + [ donc y est primitivable; la régularité de g permet une primitivation par parties immédiate ln x dx = Dx ln x dx = x ln x dx x ln x x, x ], + [. Question 4. Déterminer l approximation polynomiale aux ordres, en de la fonction fx = + x, x. Dans le même repère orthonormé et en justifiant celles-ci, déterminer les représentations graphiques de f et ses approximations à l ordre, ; utiliser différentes couleurs pour les différents graphiques. Solution. La fonction donnée est indéfiniment continûment dérivable sur ], + [ et on a Dfx = + x, D fx = 4 + x + x, x >.

13 Les approximations demandées sont donc P x = f + xdf = + x, P x = P x + x D f = + x x 8. Une représentation graphique est la suivante la fonction est représentée en traits pleins et les approximations en traits pointillés; la droite tangente est la représentation de l approximation d ordre ; la représentation de l approximation d ordre est une parabole X Question 5. Démontrer la propriété suivante: Si une fonction dérivable dans un intervalle ouvert de R admet un maximum en un point x de cet intervalle, alors la dérivée en ce point est nulle. Solution. Voir notes de cours. Autres questions er bachelier en géographie, informatique Question. Si elles existent, déterminer les limites suivantes lim ln, lim arctg x x x x π x + Solution. Pour la première limite: voir l examen des biologistes. Cas de la seconde limite: la fonction x x arctg x π est définie sur R; la question posée a donc un sens. Cela étant, un passage direct à la limite donne une forme indéterminée car lim x + arctg x = π donc lim x + x arctg x π =.. Si on écrit x arctg x π = arctg x π x la forme indéterminée est et autorise un recours au théorème de l Hospital. On a donc finalement Questions, 3, 4: voir l examen des biologistes. Darctg x π lim x x + D x = lim x + + x = lim arctg x x π Darctg x π = lim x + x + D x =. Question 5. Si elle converge, déterminer la somme de la série suivante + m. 3 m= Solution. La série donnée est une série géométrique; sa raison est 3 ; elle est donc convergente et sa somme est + m = 3 = 3. 3 m= Question 6. Démontrer la propriété suivante: Si une fonction dérivable dans un intervalle ouvert de R admet un maximum en un point x de cet intervalle, alors la dérivée en ce point est nulle. Solution. Voir notes de cours. 3

14 POUR ECRIT bac geometrologie Solution.. Le système d équations x y = x z = x + y + z = a pour solution x = y = 3/4, z = /4; cela signifie que la droite et le plan ont pour intersection le point de coordonnées 3/4, 3/4, /4. En particulier, la distance entre la droite et le plan est nulle.. La distance entre le point P et le plan π est + = 6 = Un vecteur directeur de d a pour composantes,, ; d a donc pour équations cartésiennes x = y = z +..4 Cherchons deux vecteurs directeurs linéairement indépendants du plan π. On cherche donc des vecteurs dont les composantes x, y, z vérifient l équation x + y + z =. On voit directement que les vecteurs de composantes,, et,, conviennent. D autre part, on trouve également directement que le point de coordonnées cartésiennes,, est un point du plan. Il s ensuit que des équations paramétriques cartésiennes du plan sont fournies par x y z = + r + s, r, s R. 4

15 Mathématiques générales Correction de l interrogation du 4 mars 7 ere année de bachelier en géologie Question Déterminer toutes les solutions de l équation 4D fx Dfx = x +. Solution. Cette question est en fait celle de l interrogation des biologistes de mars 6. Résolvons l équation homogène 4D fx Dfx =. Son polynôme caractéristique est P z = 4z z = z4z, lequel a pour zéros les nombres, /4. Il s ensuit que les solutions de l équation homogène sont les fonctions c + c e x/4, x R où c, c sont des constantes complexes arbitraires. Le second membre de l équation de départ est une exponentielle polynôme gx = x + = x + e x. Comme est zéro de multiplicité de l équation caractéristique, on sait qu une solution particulière est de la forme où a, b sont des constantes à déterminer. On a fx = ax + bx fx = ax + bx, Dfx = ax + b, D fx = a donc Cela fournit 4D fx Dfx = 8a ax b = x + a = et 8a b =. a =, b = 5. Une solution particulière est donc fx = x x + et les solutions de l équation de départ sont les fonctions où c, c sont des constantes complexes arbitraires. x x + + c + c e x/4, x R Question Calculer + et simplifier la réponse au maximum. Solution. Voir l interrogation de mars 6. e x dx, 4 ln x x dx Question 3 3. On donne gx, y = arctg x. y - Où la fonction g est-elle continûment dérivable? - Dans l ensemble déterminé au point précédent et en simplifiant au maximum, déterminer l expression explicite de xd x gx, y + yd y gx, y Déterminer dans quel ensemble la fonction f de deux variables réelles suivante est continûment dérivable fx, y = arcsin x + 4y - Représenter graphiquement cet ensemble en le hachurant. - On définit F par t t F t = f,. Déterminer l expression explicite de F, son domaine de dérivabilité et l expression explicite de sa dérivée première. 5

16 Solution. 3. Comme la fonction arctg est indéfiniment continûment dérivable dans R, la fonction g est indéfiniment continûment dérivable dans {x, y R : y }; dans cet ensemble, on a Il s ensuit que /y y D x gx, y = = x + + y, D ygx, y = x/y = x x + + y. x y xd x gx, y + yd y gx, y = x y xy x + y xy x + y = Pour les deux premiers items de la question: voir l interrogation de mars 6. - Partie concernant la fonction F troisième item. On a Dès lors t + 4 t = t + t + 4t = 4 + t F t = arcsin. 4 + t. 4 Comme arcsin est dérivable dans ], [, le domaine de dérivabilité de F est } + t {t R : < < = {t R : t + < } =] 3, [. 4 Dans cet ensemble, on a DF t = D arcsin X X= +t 4 + t + t =. 6 + t 4 Question 4 a On donne les réels x =, x m = m + m m =,, 3, x 4 = 4. Rappeler la définition de la largeur d un découpage de l intervalle [, 4] et utiliser celle-ci pour calculer la largeur du découpage donné. b On donne f explicitement par fx, y = x 3 + y 3, x, y R. En appliquant la définition des dérivées, montrer que la dérivée partielle par rapport à la seconde variable de cette fonction au point, est égale à 3. Solution. a Définition de la largeur d un découpage: voir cours. Si x =, x =, x = + = 5, x 3 = = 3, x 4 = 4, on a donc x x =, x x =, x 3 x = 3 5 = 5 6, x 4 x 3 = 3 largeur = sup{,, 5 6, 3 } =. b Voir l interrogation des chimistes de mars 6. 6

17 Mathématiques générales Interrogation du mars 7 ere année de bachelier en informatique Question Déterminer toutes les solutions de l équation 4D fx + 4Dfx + fx = + e x/. Solution. Le polynôme caractéristique de cette équation est 4z + 4z + = z +, lequel a pour zéro double le nombre. Il s ensuit que les solutions de l équation homogène sont les fonctions cx + c e x/, x R où c, c sont des constantes arbitraires. On voit immédiatement qu une solution particulière de l équation 4D fx + 4Dfx + fx = est la fonction constante. Cherchons alors une solution particulière de l équation 4D fx + 4Dfx + fx = e x/. Vu la forme du second membre, on sait qu il existe une solution particulière du type fx = a x e x/ où a est une constante à déterminer car / est zéro double du polynôme caractéristique. On a successivement Dfx = a x x e x/, D fx = a x + x e x/ 4 4D fx + 4Dfx + fx = 4a x + x x + 4ax 4 + ax e x/ = 8ae x/. Dès lors 4D fx + 4Dfx + fx = e x/ 8a =. Une solution particulière de l équation 4D fx + 4Dfx + fx = e x/ est donc la fonction x 8 e x/, x R. En conclusion, les solutions de l équation de départ sont les fonctions où c, c sont des constantes arbitraires. Question On donne fx = + x 8 e x/ + cx + c e x/, x R x + x, gx = x + x 4, hx = xe x/, x [, + [. - Ces fonctions sont-elles intégrables sur [, + [? Pourquoi? - Calculer alors l intégrale des fonctions intégrables. Solution. La fonction f, continue sur [, + [, n est pas intégrable sur cet intervalle car elle y est positive et la limite suivante existe et est infinie t fxdx = ln + t + La fonction g est intégrable sur [, + [ car elle y est continue, positive et t lim t + gxdx = si t +. arctg t lim = π t + 4. L intégrale de g sur l intervalle est égale à cette limite, donc à π 4. La fonction h est intégrable sur [, + [ car elle y est continue, positive et la limite suivante existe et est finie t [ lim xe x/ dx = lim xe x/] t t + e x/ dx = lim te t/ 4 e t/ = 4. t + t + t + 7

18 L intégrale de h sur l intervalle est égale à cette limite, donc à 4. Question 3 On donne une fonction f, continûment dérivable sur ], [ ], [ et on définit t F t = f t +, t +. t - Déterminer l ensemble où la fonction F est dérivable. - Sachant que D x fx, y = y x, D yfx, y = x déterminer explicitement la dérivée première de F ; que peut-on en déduire en ce qui concerne les valeurs de F sur son domaine de dérivabilité? Solution. Premier item. La fonction F est dérivable dans { t R : t, t, < t } t + <, < <. t + t Comme < t t+ t+ < si et seulement si t ], [ ], + [ et comme < t < si et seulement si t <, on trouve finalement que F est dérivable dans ] ], [ ], + [, [ =], [. Second item. On a t D x f t +, t + t + 3 t = t t 3, D y f t +, t + = t + t t et dès lors D t t + = t +, D t + = t t ; t DF t = D x f t +, t + D t t = t + t 3 t + t 3 = t + t 3. t + + D yf t t +, t + D t + t t La dérivée est donc toujours strictement négative sur ], [. Il s ensuit que F est strictement décroissant sur cet intervalle donc vérifie lim F s = lim f, y < F t < lim F s = lim fx, s y s x Remarque. Si on considère que l on a D x fx, y = y x on trouve DF t = t + t 3 t + t 3 = dont F est constant sur ], [. Question 4 a On considère l intervalle I = [, ]. Justifier votre réponse. L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? En augmentant le nombre de points d un découpage de I, on diminue toujours la largeur du découpage. b L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier votre réponse. Pour diminuer la largeur d un découpage de I, il est nécessaire d augmenter le nombre de points du découpage. une telle fonction f ne peut cependant pas exister car elle serait de classe C mais ne vérifierait pas l égalité des dérivées croisées 8

19 c On donne les réels x =, x = 3, x = 4, x 3 = 4, x 4 =, x 5 =. Que vaut la largeur du découpage de I déterminé par ces réels? d On donne f explicitement par fx, y = y + xy, x, y R. En appliquant la définition des dérivées, montrer que la dérivée partielle par rapport à la seconde variable de cette fonction au point, est égale à 6. Solution. a Faux. Par exemple, pour l intervalle [, 4], les points,, 4 en constituent un découpage dont la largeur vaut ; les quatre points,,, 4 en constituent un découpage dont la largeur vaut également. On peut aussi considérer le découpage formé par les quatre points, /,, 4; dans ce cas la largeur est strictement plus grande que la précédente elle vaut 3. b C est faux. Pour le justifier, on donne l exemple de deux découpages de [, 5], le second ayant une largeur strictement inférieure à celle du premier et le nombre de points du second étant strictement plus petit que le nombre de points du premier: le découpage,,, 5 quatre points de l intervalle [, 5] a pour largeur 3 et le découpage, 5/, 5 trois points a pour largeur 5/< 3. c,d: Voir l interrogation de mars 6. 9

20 Mathématiques générales Correction de l interrogation du 8 mars 7 ere année de bachelier en chimie Question Déterminer toutes les solutions de l équation D fx fx = x +. Solution. Le polynôme caractéristique est z = z z + ; il a donc pour zéros et. Les solutions de l équation homogène sont donc les fonctions ce x + c e x, x R où c, c sont des constantes arbitraires. On voit aussi immédiatement que la fonction f définie par fx = x vérifie l équation. En conclusion, les fonctions qui vérifient l équation de départ sont les fonctions où c, c sont des constantes arbitraires. Question Déterminer les intégrales suivantes + ce x + c e x x, x R 4x dx, π/ π/6 sin x dx en simplifiant la réponse au maximum. Solution. La fonction f : x 4x est intégrable sur l intervalle [, + [ car elle y est continue et lim x + x fx existe et est fini cette limite vaut en effet 4. Cela étant, on a 4x = x + x = + x = + x x 4 D ln, x > x. Une intégration par variation de primitive conduit à + 4x dx = 4 lim x + ln + x x 4 lim x ln + x = ln 3 x 4. La fonction g : x sin x est continue donc intégrable sur l intervalle fermé borné [ π 6, π 3 ]. Cela étant, comme sin x = cosx, on a π/ sin x dx = π/ cosx dx = π π π/ D sinx dx = π sin π sin π 4 3 = π π/6 π/6 π/6 Question 3 3. On donne gx, y = x y. - Où la fonction g est-elle continûment dérivable? - Montrer que dans l ensemble déterminé au point précédent, la fonction g vérifie l équation D x xg + D y yg = g Déterminer dans quel ensemble la fonction de deux variables suivante notée f est continûment dérivable fx, y = ln 6 4x + 4y et représenter graphiquement ce domaine en le hachurant. - Déterminer l expression explicite de la fonction F définie par F t = ft, t +. - Déterminer le domaine de dérivabilité et l expression explicite de la dérivée de F. Solution. 3. La fonction g est continûment dérivable sur l ensemble { x, y R : x y > } = { x, y R : x > y } dont la représentation graphique est les points des droites d équation x + y = et x y = n étant pas repris dans l ensemble

21 donc Cela étant, on a gx, y = x y / et D x g = x g3 = xg 3, D y g = y g3 = yg 3 D x xg + D y yg = g + xd x g + g + yd y g = g x g 3 + y g 3 = g x y g 3 = g g g 3 = g. 3. La fonction est continûment dérivable dans {x, y R : 4 > x y } qui est une surface du plan délimitée par l hyperbole d équation cartésienne x y = 4 les points de cette hyperbole n étant pas compris dans l ensemble X L expression explicite de F est F t = ln 6 4t + 4t + = ln 6 4t + 8t 4 + 4t + 8t + 4 = ln6 + 6t = 4 ln + lnt + La fonction F est dérivable dans ], + [ et DF t = D lnt + = t +, t >. Question 4 a Si on diminue le nombre de points d un découpage d un intervalle, on augmente toujours la largeur du découpage. Vrai Faux. b On donne les réels x m = m 8 m =,,, 3, 4. Sur la droite réelle, représenter le découpage de l intervalle [, ] qu ils constituent. Rappeler la définition de la largeur d un découpage de l intervalle [, ] et utiliser celle-ci pour calculer la largeur du découpage donné. c On donne f explicitement par fx, y = y + xy, x, y R. En appliquant la définition des dérivées, montrer que la dérivée partielle par rapport à la seconde variable de cette fonction au point, est égale à 6. Solution. a Faux: considérer par exemple le découpage,,, 4 4 points de [, 4] dont la largeur vaut et le découpage,, 4 trois points du même intervalle dont la largeur vaut également. b Cf l interrogation de mars 6 des géologues. c Question tout à fait analogue à celle des géologues de mars 6.

22 Mathématiques générales Correction de l interrogation du 5 mars 7 ère année de bachelier en biologie et en géographie Question Déterminer toutes les solutions de l équation 4D fx = x +. Solution. Les solutions de l équation homogène 4D f = sont les polynômes cx + c, x R où c, c sont des constantes arbitraires. Vu la forme du second membre, une solution particulière a la forme fx = ax + bx où a, b sont des constantes à déterminer. On a D fx = ax + b + 4ax = 6ax + b donc 4D fx = x + 4ax + 8b = x + a = /4 et b = /8. Il s ensuit que les solutions de l équation de départ sont les fonctions où c, c sont des constantes arbitraires. Question Calculer + cx + c + x x + 3, x R 4 + 9x dx, π/3 π/6 sin x cos x dx et simplifier la réponse au maximum. Solution. La fonction f : x +9x est intégrable sur [, + [ car elle y est continue, positive et car la limite suivante existe et est finie lim t + t fxdx = 3 lim arctg3t = π t + 6. L intégrale de f sur l intervalle est égale à cette limite, à savoir π 6. La fonction g : x sin x cos x est continue sur l intervalle fermé borné [ π 6, π 3 ]; elle y est donc intégrable et on a directement π/3 sin x cos x dx = π/3 D sin x dx = sin π 3 sin π 6 = 3 4 = 4 4. π/6 π/6 Question 3 3. On donne gx, y = x + y. - Où la fonction g est-elle deux fois continûment dérivable? - Montrer que dans l ensemble déterminé au point précédent, la fonction g vérifie D xg + D yg = g Déterminer dans quel ensemble la fonction de deux variables suivante notée f est continûment dérivable fx, y = ln 6 4x 4y et représenter graphiquement ce domaine en le hachurant. - Déterminer l expression explicite de la fonction F définie par F t = ft, t +. - Déterminer le domaine de dérivabilité et l expression explicite de la dérivée de F.

23 Solution. 3. La fonction g est deux fois continûment dérivable sur R \ {, }. Dans cet ensemble, on a successivement gx, y = x + y /, D x g = xg 3, D y g = yg 3 donc D xg = g 3 3xg D x g = g 3 + 3x g 5, D yg = g 3 3yg D y g = g 3 + 3y g 5 3. La fonction est continûment dérivable dans D xg + D yg = g 3 + 3x + y g 5 = g 3 + 3g g 5 = g 3. {x, y R : 4 > x + y } qui est la surface intérieure au cercle circonférence d équation cartésienne x + y = 4 les points de cette circonférence n étant pas compris dans l ensemble. - - X - - L expression explicite de F est F t = ln 6 4t 4t + = ln 6 4t + 8t 4 4t 8t 4 = ln8 8t = 3 ln + ln t La fonction F est dérivable dans ], [ et, dans cet ensemble, on a DF t = D ln t t = t. Question 4 i On donne les réels x =, x = 3, x = 4, x 3 = 4, x 4 =, x 5 =. Que vaut la largeur du découpage de l intervalle [, ] déterminé par ces réels? ii - Quand dit-on qu une fonction f de deux variables réelles est dérivable par rapport à sa première variable au point x, y de son domaine de définition? Qu appelle-t-on alors dérivée partielle de f par rapport à la première variable au point x, y? - En appliquant ce qui précède à fx, y = y + xy, montrer que la dérivée partielle de f par rapport à la première variable au point, est égale à. Solution. i Voir l interrogation des informaticiens de mars 6. ii Voir notes cours et voir l interrogation des informaticiens de mars 6 question tout à fait analogue. 3

24 Mathématiques générales Correction de l Ecrit, mai 7 er bachelier en biologie, chimie, géographie, géologie, philosophie QCM. Le domaine de définition de la fonction f donnée par fx = ln x est R ], [ ], + [ R \ {, } ], [ aucune des réponses précédentes n est correcte. La partie imaginaire du complexe + i 3 i est i i aucune des réponses proposées n est correcte sinx 3. La limite lim x x vaut + aucune des réponses précédentes n est correcte 4. Si le produit de deux réels est strictement plus grand que, alors au moins l un d entre eux est strictement plus grand que Vrai Faux Autre version du QCM. Le domaine de définition de la fonction f donnée par fx = lnx x est R ], [ ], + [ R \ {, } ], [ aucune des réponses précédentes n est correcte. La partie imaginaire du complexe i 3 i est i i aucune des réponses proposées n est correcte 3. La limite lim x x +x vaut + aucune des réponses précédentes n est correcte 4. Si la différence entre deux réels est strictement négative, alors le produit de ces deux réels est strictement négatif aussi Vrai Faux Autres questions Question Résoudre l inéquation x x x est une variable réelle. Solution. Le réel vérifie cette inégalité. Si l on considère uniquement des réels non nuls, comme x = x, l inégalité x x est alors équivalente à l inégalité x, laquelle a pour solution les réels de l ensemble ], ] [, + [. Finalement, l ensemble des solutions de l inéquation de départ est {} ], ] [, + [. Question i Déterminer le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de la fonction f : x ln x ainsi que l expression de sa dérivée. ii Dans un même repère orthonormé, tracer le graphique de la fonction x ], + [ ln x et, A PARTIR DE celui-ci, tracer également le graphique de f. Solution. i et ii Comme les domaines de définition, de continuité et de dérivabilité de la fonction ln sont ], + [, les domaines respectifs de la fonction f sont également tous égaux à ], + [ et on a fx = ln x, x > vu les propriétés de la fonction logarithme. Il s ensuit directement que Dfx = x, x > et que le graphique de f en pointillé est simplement le symétrique du graphique de ln par rapport à l axe X.

25 4 5 5 X - -4 Question 3 Primitiver les fonctions f et g suivantes, en spécifiant chaque fois l intervalle sur lequel vous travaillez. f : x xe x, g : x x + x. Solution. Les deux fonctions sont continues sur R; elles y sont donc primitivables. Une primitivation directe par parties donne xe x dx = xde x dx = x ex e x dx x ex 4 ex, x R. Pour g, c est encore plus immédiat car g = D ln + x, x R donc gxdx ln + x, x R Question 4 4. Déterminer l approximation polynomiale en à l ordre,, 3 de la fonction fx = cos x, x R. 4. Déterminer les représentations graphiques de f et de ces approximations utiliser différentes couleurs. Solution. 4. La fonction donnée est indéfiniment continûment dérivable dans R donc on peut trouver ses approximations explicitement à partir des développements de Taylor. On a Dfx = cos x sin x = sinx, D fx = cosx, D 3 fx = 4 sinx, x R Dès lors les approximations sont P x = f + xdf =, P x = P x + x D f = x, P 3 fx = P fx + x3 6 D3 f = P x. Les représentations de f et de P, P sont les suivantes dans le dessin ci-dessous, P est la parabole et P est la droite horizontale X

26 Mathématiques générales Correction de l Ecrit, mai 7; durée: h ère année de bachelier en biologie, chimie, géologie, géographie Question Déterminer l ensemble des solutions de l équation différentielle D fx + Dfx fx = + e x. Solution. Résolvons l équation homogène D fx+dfx fx =. L équation caractéristique est z +z = ; ses solutions sont,. Il s ensuit que les solutions de l équation homogène sont les fonctions ce x + c e x, x R où c, c sont des constantes complexes arbitraires. On voit directement qu une solution particulière de D fx + Dfx fx = est la fonction constante. Cherchons à présent une solution particulière de D fx + Dfx fx = e x. Vu la forme du second membre et le fait que est solution de l équation caractéristique, une solution particulière a la forme fx = Axe x où A est une constante à déterminer. On a Dfx = Ae x + x et D fx = Ae x + x donc D f + Df f = Ae x + x + Ae x + x Axe x = 3Ae x et D f + Df f = e x 3Ae x = e x A = 3. Il s ensuit que les solutions de l équation de départ sont les fonctions où c, c sont des constantes complexes arbitraires. ce x + c e x + x 3 ex, x R Question. On donne la fonction f par fx, y = lnx + y +. - Déterminer le domaine de dérivabilité de cette fonction; représenter ce domaine dans un repère orthonormé en le hachurant. - Montrer que l expression xd x f + y + D y f est constante dans ce domaine; déterminer cette constante.. On donne la fonction g par gx, y = arcsin x y - Déterminer où cette fonction est continûment dérivable et représenter cet ensemble dans un repère orthonormé en le hachurant. - Déterminer l expression explicite de F t = g t, t, le domaine de dérivablité de cette fonction et l expression explicite de sa dérivée. Solution.. La fonction f est dérivable dans Ω = {x, y R : x + y + > } qui est la description analytique de l ensemble des points du plan situés au-dessus de la parabole d équation y = x, les points de cette parabole étant exclus. On a donc quel que soit x, y Ω. D x fx, y =. x x + y +, D yfx, y = x + y + xd x f + y + D y f = x + y + x + y + = 3

27 - - X Comme arcsin est indéfiniment continûment dérivable dans ], [, la fonction g est continûment dérivable dans { } x, y R : y, x y < = {x, y R : x < y } qui se représnte par l ensemble hachuré ci-dessous les points des droites x = y et x = y n étant pas compris dans l ensemble y = x X y = x 4

28 { } La fonction F est dérivable dans t R : t, t < t =], [ ], [ et F t = arcsin DF t = t, t ], [ ], [ t 4 t t = arcsint, Question 3 3. En justifiant vos démarches, déterminer si possible la valeur de l intégrale + x + x + dx 3. En justifiant vos démarches, déterminer si possible la valeur de l intégrale de fx, y = x cosxy sur A = [, ] [, π]. Solution. 3. On a x + x + = x + = D x +, x et la fonction f : x [, + [ x +x+ est à valeurs positives. On a successivement t fxdx = t D x + dx = + t, t > et finalement + fxdx = lim t + t fxdx = lim t + + t =. 3. La fonction donnée est continue sur l ensemble borné fermé A; elle y est donc intégrable et on peut calculer son intégrale en procédant dans n importe quel ordre d intégration à une variable. Vu la forme de la fonction, on voit qu il est aisé d intégrer par rapport à y; ainsi A fx, ydxdy = = = / / / = π = π = π. π π x x cosxydy x sinπx dx / / dx D y sinxy dy xd cosπx dx cosπx dx dx Question 4 On donne les matrices A = i i, C = 3 4. Déterminer si possible les matrices CA, C A. 4. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A. 4.3 Si la matrice A est diagonalisable, en déterminer une forme diagonale ainsi qu une matrice qui transforme A en celle-ci. 4.4 La matrice A est-elle inversible? Pourquoi? Dans le cas où elle est inversible, en déterminer l inverse et vérifier que votre réponse est correcte. Solution. 4. Il n est pas possible d effectuer le produit de C de type 3 par A de type ; par contre, C A est possible et on a C A = 3 i i.. 5

29 4. Le déterminant caractéristique de A est λ det = λ ; λ les valeurs propres de A sont donc et. x Les vecteurs propres relatifs à la valeur propre sont les vecteurs non nuls X = tels que A IX =, y c est-à-dire Les vecteurs cherchés sont donc x y c = x = y., c C. Les vecteurs propres relatifs à la valeur propre sont les vecteurs non nuls X = c est-à-dire Les vecteurs cherchés sont donc x y c = x = y., c C. x y tels que A + IX =, 4.3 La matrice est diagonalisable car elle est de dimension deux et elle possède deux vecteurs propres linéairement indépendants. On a par exemple S AS =, S =. 4.4 La matrice est inversible car son déterminant n est pas nul; il vaut d ailleurs. Cela étant, on a A = = A et on vérifie que la réponse est correcte en calculant A : A = AA = I. 6

30 Mathématiques générales Correction de l Ecrit, 9 mai 7 er bachelier en informatique QCM. Le domaine de définition de la fonction f donnée par fx = ln x x est R ], [ ], + [ R \ {, } ], [ aucune des réponses précédentes n est correcte. La partie imaginaire du conjugué du complexe + i 3 i est i i aucune des réponses proposées n est correcte 3. La limite lim x x x vaut + aucune des réponses précédentes n est correcte 4. Si le quotient de deux réels strictement positifs est strictement plus grand que, alors au moins l un d entre eux est strictement plus grand que Vrai Faux Autres questions Question Résoudre l inéquation x + x x est une variable réelle. Solution. On a x + x = x + x = x x + donc x + x x x [, ]. Les réels qui vérifient l inégalité donnée sont donc ceux de l intervalle [, ]. Question i Déterminer le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de la fonction f : x ln ex ainsi que l expression de sa dérivée. ii Dans un même repère orthonormé, tracer le graphique de la fonction x ], + [ ln x et, A PARTIR DE celui-ci, tracer également le graphique de f. Solution. i Vu les propriétés du logarithme, la fonction donnée est définie, continue et dérivable sur ], + [ et s écrit fx = ln e + ln x = + ln x, x >. Il s ensuit que Dfx = D ln x = x, x >. ii Vu l expression de f en fonction du logarithme, le graphique de f est simplement le dessin obtenu en translatant le graphique du logarithme d une unité vers le haut c est-à-dire en translatant le graphique de ln d une distance dans la direction déterminée par l axe X Question 3 Primitiver les fonctions f et g suivantes, en spécifiant chaque fois l intervalle sur lequel vous travaillez. f : x xe x, g : x x3 x. 7

31 Solution. La fonction f est continue sur R, donc y est primitivable; une primitivation directe donne fxdx = De x dx ex, x R. Pour tout x {, }, on a x 3 x = x + x { x x = D ln x si x < x D lnx si x > donc gx dx x + ln x si x ], [ x + lnx si x ], [ resp. x ], + [. Question 4 4. Déterminer l approximation polynomiale en à l ordre,, 3 de la fonction fx = sin x cos x, x R. 4. Déterminer les représentations graphiques de f et de ces approximations utiliser différentes couleurs. Solution. La fonction donnée s écrit aussi fx = sinx, x R, et elle est indéfiniment continûment dérivable sur R. Dès lors, les approximations demandées existent et se calculent directement par les développements limités de Taylor. On a Dfx = cosx, D fx = sinx, D 3 fx = 4 cosx donc P x = f+xdf = x, P x = P x+ x D f = P x, P 3 x = P x+ x3 3! D3 f = x 3 x3, x R. Les représentations graphiques sont les suivantes la droite d équation y = x est la représentation de P et le graphique en pointillés est la représentation de P X - - 8

32 Mathématiques générales Correction de l Ecrit, 9 mai 7 ère année de bachelier en informatique Question Déterminer l ensemble des solutions de l équation différentielle D fx + fx = x + e x. Solution. Résolvons l équation homogène D fx + fx =. Le polynôme caractéristique est z + ; ses zéros sont i et i; il s ensuit que les solutions de l équation homogène sont les fonctions c cos x + c sin x, x R où c, c sont des constantes complexes arbitraires. Cet ensemble de fonctions peut encore s écrire ce ix + c e ix, x R où c, c sont des constantes complexes arbitraires. Cela étant, on voit directement qu une solution particulière de l équation D fx+fx = x est la fonction x x et qu une solution particulière de D fx + fx = e x est la fonction x ex, toutes les deux définies sur R. Il s ensuit que les solutions de l équation de départ sont les fonctions où c, c sont des constantes complexes arbitraires. Question On donne la fonction f par c cos x + c sin x + x + ex, x R fx, y = arcsin x + y. - Déterminer le domaine de dérivabilité de cette fonction et le représenter graphiquement dans un repère orthonormé en le hachurant. - Montrer que l expression D x f xd y f est constante dans ce domaine; déterminer cette constante.. On définit F par F t = f + cos t, sin t. - Dans quelle partie de [ π, π] cette fonction est-elle dérivable? - Calculer explicitement la dérivée première de F. Solution.. Comme la fonction arcsin est dérivable dans ], [ la fonction donnée est dérivable dans {x, y R : < x + y < } = {x, y R : x < y < x } qui est une description analytique de l ensemble des points du plan situés entre les paraboles d équation cartésienne y = x et y = x, les points de ces paraboles n étant pas compris dans l ensemble X

33 Dans le domaine de dérivabilité, on a D x fx, y = x x + y, D yfx, y = x + y donc D x f xd y f =.. Comme les fonctions sin et cos sont dérivables dans R, la fonction F est dérivable dans {t R : < + cos t + sin t < } = {t R : < + cos t < } = {t R : < cos t < }. Si l on conserve uniquement les réels de l intervalle [ π, π], on obtient que cette fonction est dérivable dans ] {t [ π, π] : < cos t < } = π, π [ ] π [, π. La fonction F a pour expression donc DF t = F t = arcsin + cos t sin t = sin t ], t π, π [ ] π [ + cos t cos t + cos t, π. Question 3 3. On donne fx = lnx. - Cette fonction est-elle intégrable sur ], r]? r est un réel strictement positif. Pourquoi? - Si la fonction est intégrable sur les intervalles considérés, déterminer r fx dx pour toutes les valeurs de r >. - Donner une interprétation graphique de cette intégrale dans le cas r = e et dans le cas r = e. 3. Soit A la partie du plan hachurée ci-dessous ensemble fermé non borné et soit la fonction de deux variables réelles f donnée explicitement par fx, y = x + ye x y. Si f est intégrable sur A, déterminer son intégrale sur A. représentation analytique de A. Justifier vos démarches et donner une y = x X Solution. 3. La fonction donnée s écrit aussi fx = ln x, x. Cette fonction est continue sur R \ {}; elle vérifie aussi lim x + xfx = ; il s ensuit qu elle est intégrable sur ], r] quel que soit le réel r >. Cela étant, une intégration par parties fournit r fxdx = r Dx ln x dx = r ln r r dx = r ln r r. Dans le cas r = e, on a r fxdx =. Comme la fonction ln est négative sur ], ] et postive sur ], e], cela signifie que l aire de la surface du plan située au-dessus du graphique de ln x, x ], ] et en dessous de l axe X est égale à l aire de la surface du plan située en dessous du graphique de ln x, x ], e] et au-dessus de l axe X.

34 Dans le cas r = e, on a r fxdx = e. Comme la fonction ln est négative sur ], ] et postive sur ], e ], cela signifie que l aire de la surface du plan située en dessous du graphique de ln x, x ], e ] et au-dessus de l axe X moins l aire de la surface du plan située au-dessus du graphique de ln x, x ], ] et en dessous de l axe X est égale à e. 3. Une représentation analytique de A est donnée par {x, y R : y [, ] et x y}. Comme fx, y quel que soit x, y A, la fonction f sera intégrable sur A si on parvient à intégrer dans un certain ordre; son intégrale est alors égale au nombre trouvé en intégrant dans n importe quel ordre. Le calcul suivant donne donc à la fois l intégrabilité de f sur A et la valeur de son intégrale. + y x + ye x y dx dy = = = =. + e y xe x dx + y y + e y ye y + e y + ye y dy y + dy y e x dx dy Question 4 4. Déterminer les valeurs propres de la matrice Déterminer toutes les matrices qui commutent avec la matrice 4.3 Parmi les matrices déterminées au point précédent, quelles sont celles dont les valeurs propres sont et? Solution. 4. Les valeurs propres de la matrice donnée, notée A, sont les zéros du polynôme en λ deta λi. On a λ 8 4 λ λ = λ 4 λ 6 9 λ = λλ 3λ + 4 = λ λ 7 λ 6. Les valeurs propres de A sont donc les nombres, 6 et 7. a b 4. Soit A =. On doit déterminer les a, b, c, d C tels que c d a b c d = a b c d. Le membre de droite de cette égalité est la matrice c d a b et le membre de gauche est la matrice b a d c L égalité entre ces deux matrices est donc équivalente au système { b = c a = d.