Trigonométrie. Mathématique. Sylvie Jancart. septembre 2015

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1 Mathématique Sylvie Jancart septembre 2015

2 Equations trigonométriques élémentaires Exemple 1 : résoudre dans IR l équation sin x = 1 : 2 L examen du cercle trigonométrique montre la solution ( k ZZ ) : x = k ou x = ( ) + k = k ou, exprimé en radians x = π 6 + 2kπ ou x = 5π 6 + 2kπ Y J 150 I' 1/ I X J'

3 Equations trigonométriques élémentaires Exemple 2 : résoudre l équation cos x = : L usage de la calculatrice et l examen du cercle trigonométrique montre que ( k ZZ ) : x 130, k ou x 130, k c est-à-dire x 130, k ou x 229, k Y J 130,6 1/2 I' I X 229,4 J'

4 Equations trigonométriques élémentaires Exemple 3 : résoudre dans IR l équation tan x 3 = 1 : L examen du cercle trigonométrique montre que ( k ZZ ) : d où x 3 = π 4 + kπ x = 3π 4 + 3kπ. BUT : il faut donc trouver le ou les angles en radians qui satisfont à une équation contentant les nombres trigonométriques de x. sin ax = b cos ax = b tan ax = b avec 1 b 1

5 Equations trigonométriques du type sin ax = cos bx sin ax = cos bx ax et bx sont des mesures en radians. Pour trouver la solution, on transforme, par exemple, le cosinus en sinus : π sin ax = sin 2 bx et on a donc π ax = 2 bx + 2kπ i.e. x = 1 π a + b 2 + 2kπ, k ZZ, et π ax + 2 bx = π + 2kπ i.e. x = 1 π a b 2 + 2kπ, k ZZ. Ceci ne fait que traduire le fait que les sinus de deux angles sont égaux si ces angles sont égaux ou si leur somme vaut π, 3π,...

6 Equations trigonométriques du type sin ax = cos bx Exemple 4 : résoudre l équation sin 2x = cos 3x : sin 2x = cos 3x sin 2x = π sin 2 3x et on a donc ( k ZZ ) : π 2x = 2 3x + 2kπ, c est-à-dire π 2 + 2kπ x = 1 5 π et 2x + 2 3x = π + 2kπ,c est-à-dire π x = 2 + 2kπ ou encore x = π 2 + 2kπ.

7 Equations trigonométriques : Exercices Résoudre les équations: 1 cos x = sin(2x ) = 1 2

8 Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle Soit un triangle rectangle ABC, rectangle en A : B β a c A α b γ C Désignons par a (respectivement b, c ) la longueur du côté opposé au sommet A (respectivement B, C ). a 2 = b 2 + c 2. β + γ = π 2 car la somme des angles d un triangle vaut cos γ = b a et cos β = c a. Le cosinus d un angle aigu d un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté de l angle droit adjacent à cet angle ; la mesure de l hypoténuse.

9 Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle B β a c A α b γ C sin γ = c a et sin β = b a. Le sinus d un angle aigu d un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté de l angle droit opposé à cet angle ; la mesure de l hypoténuse. tan γ = c b et tan β = b c. La tangente d un angle aigu d un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté de l angle droit opposé à cet angle ; la mesure du côté de l angle droit adjacent à cet angle.

10 Nombres trigonométriques dans les triangles quelconques Notons les angles par α. β, γ et la longueur des côtés opposés correspondants par a, b, c α γ β γ α β La relation aux SINUS. Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés, c est-à-dire, a sin α = b sin β = c sin γ Nous obtenons immédiatement les relations suivantes : a b = sin α sin β, b c = sin β sin γ, c a = sin γ sin α

11 Nombres trigonométriques dans les triangles quelconques α γ β γ α β La relation aux COSINUS. Dans un triangle ABC, le carré d un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée du double du produit de ces côtés par le cosinus de l angle qu ils déterminent, c est-à-dire, a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α, b 2 = c 2 + a 2 2ca cos β, c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Aire d un triangle quelconque. L aire de tout triangle est égale à la moitié du produit de la longueur de deux côtés par le sinus de l angle compris entre ces côtés : A = 1 2 ab sin γ = 1 2 bc sin α = 1 ac sin β. 2

12 Triangles semblables Définition Considérons les deux triangles T 1 et T 2 suivants : A 1 α 1 A 2 c 1 b 1 c 2 α 2 b 2 β 1 γ 1 β 2 γ2 B 1 a 1 C 1 B 2 a 2 C 2 A 1, B 1 et C 1 sont les sommets du triangle T, α 1, β 1 et γ 1 sont les angles correspondants. Notons a 1 (respectivement b 1 et c 1 ) le côté opposé à l angle α 1 (respectivement β 1 et γ 1 ). Des notations équivalentes sont utilisées pour le triangle T 2. Les deux triangles T 1 et T 2 sont appelés semblables si et seulement si α 1 = α 2, β 1 = β 2, γ 1 = γ 2, et a 1 a 2 = b1 b 2 = c1 c 2.

13 Triangles semblables Cas de similitude des triangles Soient T 1 et T 2 deux triangles. T 1 et T 2 sont semblables si et seulement si ils ont deux angles égaux chacun à chacun, par exemple, α 1 = α 2 et β 1 = β 2, ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels, par exemple, α 1 = α 2 et b1 b 2 = c1 c 2, ils ont leurs trois côtés proportionnels, a 1 a 2 = b1 b 2 = c1 c 2 leurs côtés sont parallèles chacun à chacun, A 1B 1//A 2B 2 et A 1C 1//A 2C 2 et B 1C 1//B 2C 2. leurs côtés sont perpendiculaires chacun à chacun, A 1B 1 A 2B 2 et A 1C 1 A 2C 2 et B 1C 1 B 2C 2.

14 Exercices dans les triangles Exercices : résoudre le triangle rectangle suivant : On donne : a = 37 cm β = 33 0 Résoudre les triangles dont les données suivent. a = m, b = m, γ = 36 0 ; a = 75 m, b = 92 m, c = 107 m. Calculer la hauteur d une tour dressée au bord d une falaise sachant qu à 100 m, on voit la falaise sous un angle de 43 et la tour sous un angle de 12 supplémentaire.

15 Exercices dans les triangles Exercice : résoudre le triangle rectangle suivant : On donne : a = 37 cm β = 33 0 Solution : γ = = 57 0 b = 37 cm sin 33 0 = cm c = 37 cm cos 33 0 = cm

16 Exercices dans les triangles Résoudre les triangles dont les données suivent. a = m, b = m, γ = 36 0 ; a = 75 m, b = 92 m, c = 107 m. solutions : c = 129, 87 m α = β = α = β = γ =