Espaces compacts. Chapitre 3

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1 Chapitre 3 Espaces compacts Définition 17. Soit X un espace topologique. 1. Un recouvrement de X est une famille (A i ) i I de parties de X telle que X = i I A i. Si de plus I est un ensemble fini, on dit que (A i ) i I est un recouvrement fini de X. 2. Soit (A i ) i I un recouvrement de X. Si J I tel que X = j J A j, on dit que (A j ) j J est un sous-recouvrement de (A i ) i I. 3. Un recouvrement ouvert de X est une famille d ouverts (U i ) i I telle que X = i I U i. Définition 18. Soit X un espace topologique séparé. On dit que X est compact si de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un sous-recouvrement fini. Proposition 28. Soit X un espace topologique séparé. Les propriétés suivantes sont équivalentes. i) X est compact. ii) De toute famille de fermés dont l intersection est vide, on peut extraire une sous-famille finie dont l intersection est vide. iii) Toute famille de fermés dont toute sous-famille finie est d intersection non vide est elle même d intersection non vide. Démonstration. i) ii) Supposons que i I F i =. Alors par passage au complémentaire, i I (F i ) c = X. Donc il existe un sous-recouvrement fini j J (F j ) c de i I (F i ) c tel que j J (F j ) c = X. Donc, j J F j =. La réciproque est analogue. ii) iii) Par contraposée. 25

2 26 CHAPITRE 3. ESPACES COMPACTS Définition 19. Soient X un espace topologique et A une partie de X. 1. On dit que A est compacte si A, munie de la topologie induite par celle de X est un espace compact. 2. On dit que A est relativement compacte si Ā est compacte. Théorème 7. Soient X un espace topologique séparé et A une partie de X. 1. Si A est compacte, alors A est fermée dans X. 2. Si X est compact et A est fermée dans X, alors A est compacte. 3. Si X est métrisable et A est compacte, alors A est bornée. Démonstration. 1. On va montrer que A c est ouvert en montrant qu il est voisinage de chacun de ses points. Soit donc x A c. Puisque X est séparé, pour tout a A il existe V a V(a) et U x,a V(x) tel que V a U a,x =. On a alors A a A V a. Et puisque A est compact, il existe a 1, a 2,...a n tel que A n i=1 V a i. Soit alors U = n i=1 U x,a i. On a n i=1 V a i U =, et U est un voisinage de x, et qui est inclus dans A c. D où le résultat. 2. Soit i I U i un recouvrement ouvert de A. Puisque A est fermé, A c est ouvert, et donc A c ( i I U i ) forme un recouvrement ouvert de X. Puis que X est compact, il existe U 1,..., U n tel que X A c ( n i=1 U i). Donc A n i=1 U i. 3. Soit d la distance associée à X. Puisque A a AB(a, 1) et A compact, il existe a 1,..., a n tels que A n i=1 B(a i, 1). On pose alors α = max n i=1 d(a 1, a i ). Pour tout x A, il existe i 0 1,..., n tel que x B(a i0, 1). Donc d(x, a 1 ) d(x, a i0 ) + d(a i0, a 1 ) α + 1. Corollaire 6. Soit X un espace topologique séparé. 1. Si K est une partie compacte de X et F est une partie fermée de X alors K F est une partie compacte de X. 2. Si F 1, F 2,..., F n sont des parties fermées de X, alors la réunion n i=1 F i est compacte si et seulement si pour tout i, F i est compacte. 3. Si (K i ) i I est une famille de parties compactes de X, alors l intersection i I K i est compacte. Démonstration. 1. C est une conséquence du 2) du corollaire précédent en considérant la topologie induie sur K. On peut aussi reprendre la démonstration. Soit (U i ) i I une famille d ouverts recouvrant K F. Puisque F est fermé F c est ouvert. De sorte i I U i F c recouvre K. Comme K est compact on peut en extraire un sous-recouvrement fini i=1 nu i F c recouvrant K. Alors i=1 nu i recouvre K F.

3 27 2. L union finie de compacts est compacte. La réciproque découle du point précédent. 3. L intersection de compacts est fermée. Donc compacte, car incluse dans un compact. Exercice Montrer que tout sous-ensemble fini d un espace topologique est compact. Théorème 8 (Heine). Tout intervalle fermé et borné de R est compact. Démonstration. Soit [a, b] un intervalle fermé borné de R. Si b = a alors [a, b] est compact. Supposons b > a. Soit (U i ) i I une famille d ouverts recouvrant [a, b]. Soit E l ensemble des x [a, b] pour lesquels il existe J I fini tel que [a, x] (U i ) i J. E est non vide car a E, et E est majoré par b. Soit c = sup E. On va montrer que c E et que c = b. Soit i c I tel que c U ic. Alors il existe ɛ > 0 tel que c ]c ɛ, c + ɛ[ U ic. Par définition de la borne supérieure il existe x ]c ɛ, c] E. Donc il existe J I fini tel que [a, x] (U i ) i J. Alors [a, c] i J U i U ic. Donc c E. On montre maintenant que c = b. Supposons en effet que c < b. Alors soit d ]c, c + ɛ[ [a, b]. Alors [a, d] i J U i U ic. Ce qui montre que x E ce qui est une contradiction. Théorème 9 (Bolzano-Weierstrass). Soit X un espace compact. 1. Pour toute suite décroissante (F n ) n 0 de parties fermées non vides de X, on a n 0 F n. 2. Toute suite dans X a au moins une valeur d adhérence. 3. Une suite dans X est convergente si, et seulement si, elle a une unique valeur d adhérence qui est alors sa limite. 4. Toute partie infinie A de X possède au moins un point d accumulation. Démonstration. 1. Supposons que n 0 (F n ) =. Alors puisque X est compact, il existe N tel que N n=0 (F n) = F N =, ce qui est une contradiction. 2. D après la définition 17, on sait que l ensemble des valeurs d adhérence est : A = n 0 {x p, p n}. Or ({x p, p n}) n 0 forme une suite décroissante de parties fermées non vides. Le résultat est donc une conséquence de 1.

4 28 CHAPITRE 3. ESPACES COMPACTS 3. On sait déjà que si une suite converge alors elle possède une unique valeur d adhérence qui est sa limite. Réciproquement, supposons que la suite (x n ) n 0 possède une unique valeur d adhérence l. Soit F n = {x p, p n}. Alors, n 0 F n = l. Soit U un ouvert contenant l. Alors F = U c est fermé. Et F l = F n 0 F n =. Or (F n F ) n 0 est une suite décroissante de parties fermées. Donc d après 1, il existe N tel que F N F =. Alors pour tout n N, x n U. 4. Soit A une partie infinie de X. Supposons que A ne possède pas de point d accumulation. Alors pour tout x X il existe un voisinage V x de x tel que V x A = x ou V x A =. Or X = x X {x} = x X V x. Donc, puisque X est compact il existe x 1,..., x n X tels que X = n i=1 V x i. Mais alors A X = A {x 1,..., x n }. Ce qui contredit le fait que A est une partie infinie. Définition 20. Un espace métrique est dit précompact, si pour tout ɛ > 0 il existe un recouvrement fini par des boules de rayon ɛ. Proposition 29. Soit X un espace métrique et A un sous ensemble de X. On a : 1. L espace métrique X est précompact si et seulement si pour tout ɛ > 0 il existe un recouvrement fini de X par des parties de diamètre inférieur ou égal à ɛ. 2. Si X est précompact, alors A est précompact. 3. Si A est précompact alors Ā est précompact. Démonstration. 1. Toute partie de diamètre inférieur ou égal à ɛ est incluse dans une boule de rayon epsilon. 2. Evident. 3. Si A n i=1 B(x i, ɛ) alors Ā n i=1 B(x i, 2ɛ). Proposition 30. Soit X un espace métrique précompact. Alors X est séparable. En particulier, tout espace métrique compact est séparable.

5 29 Démonstration. Pour tout n 1, il existe un ensemble fini D n tel que X = x Dn B(x, 1 n ). On vérifie alors que D = n 1D n est dense dans X. Puisque tout espace métrique compact est précompact, on en déduit que tout espace compact est séparable. Lemme 1 (Lebesgue). Soient X un espace métrique tel que toute suite dans X possède une sous-suite convergente. Soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de X. Alors il existe un réel r > 0 tel que toute boule ouverte de rayon r soit contenue dans au moins un des U i. Démonstration. On raisonne par l absurde. Supposons que pour tout r > 0 il existe x tel que B(x, r) ne soit incluse dans aucun des U i. Alors pour tout n, il existe x n tel que B(x n, 1 n ) ne soit incluse dans aucun des U i. On extrait alors une sous-suite convergente x nk de x n. Soit a la limite de x nk. Alors il existe i tel que a U i. < r 2 et d(a, x n k ) < r 2. Alors pour tout y B(x nk, 1 n k ), on a que d(y, a) d(y, x nk ) + d(x nk, a) < r. Autrement dit B(x nk, 1 n k ) B(a, r) U i. Contradiction. Soit r tel que B(a, r) U i. Soit n k tel que 1 n k Théorème 10. Soit X un espace métrique. Les propriétés suivantes sont équivalentes. 1. L espace topologique X est compact. 2. L espace métrique X est précompact et complet. 3. Toute partie infinie de X possède au moins un point d accumulation. 4. Toute suite de X possède une sous-suite convergente. 5. Pour toute suite décroissante de (F n ) n 0 de parties fermées non vides de X, on a n 0 F n. Démonstration. 1) 2) Tout espace compact est précompact. Par ailleurs puisque X est compact, toute suite possède une valeur d adhérence. Or toute suite de Cauchy possédant une valeur d adhérence converge vers cette valeur d adhérence. Donc tout espace compact est complet. 2) 3) Soit A une partie infinie de X. On va construire une suite (A n ) n 0 de parties infinies décroissante de X, telles que δ(a n ) 2 n. On pose A 0 = A. Supposons A n construit. Puisque X est précompact, on peut recouvrir X par une famille finie de boules de rayon 1 n+1 : X = 1 x IB(x, n+1 ). Puisque A n est infinie et recouvert par un nombre fini de boules, il existe au moins une des boules contenant une infinité d éléments de A n. Soit B(x, 1 n+1 ) cette boule. On pose alors

6 30 CHAPITRE 3. ESPACES COMPACTS 1 A n+1 = A n B(x, n+1 ). Alors δ(a n+1) 2 n+1. Puisque X est complet, d après le théorème de Cantor, il existe un unique z X tel que z = n 0 Ā n. On va montrer que z est un point d accumulation de A. Soit V un voisinage de z. Alors pour n assez grand B (z, 2 n ) V. Puisque z Ān, pour tout y A n on a que d(y, z) 2 n. Ceci montre que A n V, et donc que V contient une infinité d éléments. Ceci montre que z est un point d accumulation. 3) 4) Soit x n une suite de X. Si la suite ne prend qu un nombre fini de valeurs, c est évident. Considérons que la suite prend une infinité de valeurs. Soit z un point d accumulation de la suite. Soit N N et ɛ > 0. Et soit ɛ = min(min n {0,...,N} (d(z, x n )), ɛ). Alors puisque z est un point d accumulation il existe n N tel que d(x n, y) < ɛ. Ce qui montre que z est valeur d adhérence et donc que l on peut extraire une sous-suite qui converge vers z. Car dans un espace métrique la suite x n possède une valeur d adhérence si et seulement si x n possède une sous-suite qui converge. 4) 1) X est séparé car c est un espace métrique. Soit (U i ) i I une famille d ouverts recouvrant X. D après le lemme de Lebesgue, il existe r > 0 tel que pour tout x X, il existe i I tel que B(x, r) U i. Supposons que l on ne puisse pas extraire une sous-famille finie recouvrant X. Alors pour tout sous-ensemble fini A de X, on peut trouver x X tel que d(x, y) > r pour tout y A. On construit alors une suite x n par récurrence vérifiant d(x 0, x 1 ) > r puis d(x 0, x 2 ) > r et d(x 1, x 2 ) > r...on a alors d(x p, x q ) > r dès que p q. Ce qui montre que l on ne peut pas extraire de sous-suite qui converge. Contradiction. 1) 5) Résulte du théorème de Bolzano-Weierstrass. 5) 4) On écrit que l ensemble des valeurs d adhérence A vérifie : A = n 0 {x p, p n}. Ce qui montre le résultat, car dans un espace métrique la suite x n possède une valeur d adhérence si et seulement si x n possède une sous-suite qui converge. Corollaire 7. Soi X un espace métrique et A une partie de X. Les propriétés suivantes sont équivalentes. 1. A est relativement compacte. 2. Il existe une partie compacte de X contenant A. 3. Toute suite dans A possède une sous-suite convergente dans X. Démonstration. 1. 1) 2). Ā convient. 2. 2) 3). Résulte du théorème précédent.

7 3.1. APPLICATIONS CONTINUES ET ESPACES COMPACTS ) 1). Soit x n une suite de Ā. Alors il existe a n A tel que d(a n, x n ) < 1 n. On extrait de a n une sous-suite a nk convergeant vers a X. Alors d(x nk, a) d(x nk, a nk ) + d(a nk, a) 0 lorsque k +. Ce qui implique que Ā est compact. On a également le corollaire suivant. Corollaire 8. Soit X un espace métrique et A une partie de X. 1. Si A est relativement compacte, A est précompacte. 2. Si X est complet et si A est précompacte alors A est relativement compacte. 3.1 Applications continues et espaces compacts Théorème 11. Soit X et Y deux espaces topologiques avec Y séparé, et f : X Y une application continue. On a : 1. l image par f de toute partie compacte de X est une partie compacte de Y 2. Si X est compact, alors l image par f de toute partie fermée de X est une partie fermée de Y. 3. Si X est compact et si f est bijective, alors f est un homéomorphisme. Démonstration. 1. Soit A une partie compacte de X. Soit i I U i un recouvrement ouvert de f(a). Alors i I f 1 (U i ) est un recouvrement ouvert de A. Donc on peut en extraire un sous-recouvrement fini, i J f 1 (U i ). Alors f(a) f( i J f 1 (U i )) = i J f(f 1 (U i )) i J U i. Donc f(a) est une partie compacte. 2. Soit F un fermé de X. Alors F est compact. Donc f(f ) est compact. Donc f(f ) est fermé. 3. Puisque f est bijective l image d un ouvert par f est un ouvert grâce à 2) Ceci montre la continuité de f 1. Corollaire 9. Soit X un espace compact, Y un espace topologique séparé et f : X Y une application continue, alors pour toute partie A de X, on a f(a) = f(ā). Démonstration. Résulte du fait que f(a) f(ā) car l image d un fermé est un fermé par la proposition précédente et que f(ā) f(a) puisque f est continue.

8 32 CHAPITRE 3. ESPACES COMPACTS Théorème 12. Soit X un espace compact et f : X R une application continue. Alors f est bornée et atteint sur X ses bornes inférieure et supérieure. Démonstration. Laissée en exercice. Théorème 13. Soient X et Y deux espaces métriques munis respectivement des distances d et d, et f : X Y une application continue. Si X est compact alors f est uniformément continue. Démonstration. Première démonstration, par l absurde. Supposons que f ne soit pas uniformément continue. Alors il existe ɛ > 0, et deux suites x n, y n vérifiant d(x n, y n ) < 1 n et d(f(x n), f(y n )) > ɛ. Puisque X est compact, on peut extraire une sous-suite x nk qui converge vers l. Alors y nk converge aussi vers l. Puisque f est continue, f(x nk ) et f(y nk ) convergent vers f(l). Ce qui contredit le fait que d(f(x n ), f(y n )) > ɛ. Deuxième démonstration. y Y f 1 (B(y, ɛ 2 )) est un recouvrement ouvert de X. Donc d après le lemme de Lebesgue, il existe r ɛ > 0 tel que toute boule de rayon rɛ soit incluse dans un des U y = f 1 (B(y, ɛ 2 )). Soit x, z X vérifiant d(x, z) < r ɛ alors il existe y tel que x, z U y = f 1 (B(y, ɛ 2 )), donc f(x), f(z) B(y, ɛ 2 ), donc d(f(x), f(z)) < ɛ. Ce qui montre que f est uniformément continue. 3.2 Produit d espaces compacts On ne traite que le cas de produit fini d espaces compacts. Théorème 14. Soit X et Y deux espaces topologiques non vides alors l espace topologique produit est compact si et seulement si X et Y sont compacts. Démonstration. Rappelons que X et Y sont séparés si et seulement si X Y est séparé. Puisque les projections canoniques sont continues, si X Y est compact, X et Y sont compacts. Réciproquement supposons que X et Y sont compacts. Soit (W i ) i I un recouvrement d ouverts de X Y. Soit x X. Pour tout y Y il existe i(x, y) I tel que (x, y) W i(x,y). Alors il existe U (x,y) ouvert de X contenant x et V (x,y) ouvert de Y contenant y tels que U (x,y) V (x,y) W i(x,y). Comme Y est compact et que y Y V (x,y) forme un recouvrement ouvert de Y, on peut en extraire un sous-recouvrement fini, y B x V (x,y). Soit U x = y Bx U (x,y). Alors U x est un ouvert qui contient x tel que U x V (x,y) W i(x,y). Par ailleurs (U x ) x X forme un recouvrement ouvert de X et on peut en extraire un sousrecouvrement fini, x A (U x ). Alors, x A,y Bx (U x V (x,y) ) forme un recouvrement fini d ouverts et x A,y Bx (W i(x,y) ) forme un sous-recouvrement fini d ouverts de (W i ) i I.

9 3.2. PRODUIT D ESPACES COMPACTS 33 Corollaire 10. Les parties compactes de R n sont les parties fermées et bornées. Corollaire 11. Soit A une partie de R n. Les propriétés suivantes sont équivalentes. 1. A est précompacte. 2. A est relativement compacte. 3. A est bornée. 4. Toute suite bornée dans A possède une sous-suite convergente dans R n.