Chapitre 5 : Compléments sur la dérivation La fonction exponentielle

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1 Chapitre 5 : Compléments sur la dérivation La fonction exponentielle I. Compléments sur la dérivation 1 Activité Activité A traiter sur feuille annexe Soient f la fonction définie sur R par f(x) = 3x et C sa courbe représentative (ci-dessous). a est un réel quelconque, A et M sont les points de C d abscisses a et a + h où h est un réel non nul. Soit t(h) le coefficient directeur de la droite (AM). 3(a + h) 1. Démontrer que t(h) = a h 2. (a) Démontrer que t(h) = 6a + 3h 3(a + h) a (b) En déduire que C admet une tangente au point A et déterminer son coefficient directeur en fonction de a. 3. (a) Déterminer les fonctions u et v telles que f = v u (b) Calculer u (a) et v (u(a)). (c) En déduire l écriture de f (a) à l aide des résultats précédents Page 1

2 2 Formules de dérivation a. Dérivée de u Proposition 1. Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x I, u(x) > 0 ; la fonction u est dérivable sur I et : ( u) = u 2 u Exercice 1 Déterminer la fonction dérivée de f dans chacun des cas suivants, en précisant pourquoi f est dérivable. 1. f définie sur R par f(x) = 5x f définie sur ]0, + [ par f(x) = x + 2. b. Dérivée de u n Proposition 2. Soient u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et n un entier non nul. Si n < 0 on suppose en outre que pour tout x I, u(x) 0. Alors la fonction u n est dérivable et : (u n ) = nu u n 1 Exercice 2 Déterminer la fonction dérivée de f dans chacun des cas suivants, en précisant pourquoi f est dérivable. 1. f définie sur R par f(x) = (2x 2 1) f définie sur R par f(x) = c. Dérivée de v(ax + b) Proposition 3. 5 (4x 3 2) 3. Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, a et b deux réels, et J un intervalle tel que pour tout x J, on a ax + b I. Alors la fonction f, définie sur J, par f(x) = v(ax + b), est dérivable sur J et pour tout x J on a : f (x) = av (ax + b) Exercice 3 Soit f une fonction dérivable sur R. Soit g définie sur R par g(x) = f( x) pour tout x réel. Expliquer pourquoi g est dérivable et exprimer pour tout x réel g (x) en fonction de f (x). Travail en autonomie Savoir Faire 1,2,3 p 79 Page 2

3 II. La fonction exponentielle. Généralités 1 Activité d introduction Activité Vers la fonction exponentielle : Loi de désintégration radioactive Le nombre de noyaux (ou d atomes) d une source radioactive diminue au cours du temps, tout noyau étant instable et susceptible de se désintégrer. S il est impossible de prévoir la date de désintégration d un noyau donné, on admet que la probabilité qu il se désintègre pendant une unité de temps, est la même pour des noyaux identiques et reste inchangée au cours du temps (un noyau ne vieillit donc pas). La probabilité de désintégration entre les instants t et t+ t est égale à k t où k est une constante appelée constante radioactive. k est donc une caractéristique propre du type de noyaux ; plus k est grand, plus le nucléide est radioactif. On désigne par N 0 le nombre initial de noyaux de la source radioactive et par N(t) le nombre de noyaux restant (non désintégrés) à l instant t. 1. Évolution du nombre de noyaux. (a) En déterminant la proportion de noyaux se désintégrant entre les instants t et t + t, justifier qu une approximation de N(t + t) est donnée par : N(t + t) (1 k t)n(t). (b) On suppose dans cette question que N 0 = et k = 0, 1. A l aide d un tableur, compléter le tableau ci-dessous (arrondir à l entier le plus proche) : t N(t) t N(t) Donner la représentation graphique point par point correspondante. 2. Relation entre N et N. On suppose la fonction t N(t) dérivable sur R. Montrer que l on a pour tout réel positif t : N (t) = kn(t). Remarque Cette équation N = kn, où l inconnue N est liée à sa dérivée, est appelée équation différentielle. 2 Théorème d existence et unicité - Définition de la fonction exponentielle Lemme 1. Si f est une fonction dérivable sur R, telle que f = f et f(0) = 1, alors : pour tout x réel on a f(x)f( x) = 1. f ne s annule pas sur R. Page 3

4 Démonstration Soit f une fonction dérivable sur R, telle que f = f et f(0) = 1. Considérons la fonction φ définie sur R par φ(x) = f(x)f( x). φ est alors dérivable sur R, et, pour tout réel x, φ (x) = Ceci prouve que φ est sur R. De plus, φ(0) = =., donc, pour tout réel x, φ(x) =., f(x)f( x) =. et f ne s annule pas sur R. Théorème 1. Il existe une unique fonction f dérivable sur R, telle que f = f et f(0) = 1. Démonstration Exigible L existence est admise, prouvons l unicité : Soient deux fonctions f et g dérivables sur R telles que f = f, f(0) = 1, g = g et g(0) = 1. Montrons que l on a nécessairement f = g : Soit φ la fonction définie sur R, par φ(x) = g(x) ce qui est possible d après le lemme car f f(x) φ est dérivable sur R (en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur x R, avec dénominateur non nul, donc : Pour tout réel x, φ (x) = Donc, φ est une fonction sur R ; de plus φ(0) = ; ainsi, pour tout réel x, φ(x) =.. On en déduit que pour tout réel x on a , ce qui prouve l unicité. Définition 1. L unique fonction f dérivable sur R, telle que f = f et f(0) = 1 est appelée fonction exponentielle, elle est notée exp. Pour tout x R, exp (x) = exp(x) exp(0) = 1 3 Propriétés algébriques Propriété 1.. Pour tout x réel on a : exp(x) 0 et exp( x) = 1 exp(x) Démonstration Propriété 2 (La relation fonctionnelle). Pour tous réels a et b on a : exp(a + b) = exp(a)exp(b) Démonstration L idée est de considérer y un réel fixé et φ la fonction définie sur R, par φ(x) = de prouver qu elle est constante... exp(x + y), et exp(x) Corollaire 1. Pour tous réels a et b et n entier on a : exp(a b) = exp(a) exp(b) exp(na) = (exp(a)) n Page 4

5 Posons e = exp(1). Alors pour tout n entier on a : exp(n) = exp(1 n) = exp(1) n = e n Ainsi exp(n) est égal à e exposant n. On généralise ceci à tout réel x en posant : Pour tout réel x e x = exp(x) On a une valeur approchée de e : e 2, Attention La notation e x n a a priori un rapport avec une puissance que lorsque x est un entier, car si on comprend e 3 comme e au cube, quel sens donner par exemple à e 2? Réécrivons les propriétés algébriques à l aide de la nouvelle notation : Propriété 3. Pour tout réels a et b et n entier on a : e a+b = e a e b e a = 1 e a e a b = ea e b e na = (e a ) n Exercice 4 Simplifier une expression 1. Démontrer que, pour tout réel x on a : (e x + e x ) 2 (e x e x ) 2 = Simplifier pour tout réel x l expression : A = e2x 1 e 2x 2 Exercice 5 Transformer une expression 1. Démontrer que, pour tout réel x, 1 xex e x + 1 = e x x 1 e x. 2. Transformer pour tout réel x l expression : A = (e x + e x ) 2 Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ex + e x. Montrer que pour pour tout réel x on a : 2 Travail en autonomie Savoir-Faire 3 p 109 f(2x) = 2(f(x)) 2 1 III. Etude de la fonction exponentielle 1 Signe et sens de variation Propriété 4. La fonction exponentielle est continue sur R. Démonstration Propriété 5. La fonction exponentielle est strictement positive c est à dire : Pour tout réel x, exp(x) > 0 Page 5

6 Démonstration Pour tout x réel, on a exp(x) = exp( x 2 + x 2 ) = Propriété 6. La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Démonstration Pour tout réel x, on a exp (x) = et donc exp est strictement croissante. Propriété 7 (Equations et inéquations). Pour tous réels a et b on a : e a = e b si et seulement si a = b. e a < e b si et seulement si a < b. Exercice 7 Résoudre une équation ou une inéquation comportant une exponentielle Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1) e 3x 2 = e x+4 2) e x2 e x = e 3) e 3x e x 4) e x2 1 Travail en autonomie Savoir-Faire 4 p 109 Remarque La résolution d équations et d inéquations du type de l exercice 4 seront traités à l aide de la fonction LN lorsqu on en disposera. 2 Limites en et en + Propriété 8. x ex = 0 x + ex = + Démonstration Exigible On pose pour tout réel x [0, + [, f(x) = e x x. f est dérivable (somme de fonctions dérivables) sur [0, + [ et f (x) = e x 1. Or exp étant sur R, pour tout x 0 on a e x..... c est à dire e x. ou encore e x 1.. Ainsi la fonction f est sur [0, + [. On en déduit que pour tout x [0, + [, f(x)..... c est à dire ou encore e x Par on a ainsi : x + ex = + On pose X = x pour tout réel x. Quand x tend vers, X tend vers De plus x X =... 1 Donc par composition : X + =... ex x ex =... Page 6

7 3 Tableau de variation de Exp x f(x) 0 1 e + 4 Représentation graphique de Exp T 0 la tangente au point d abscisse 0 a pour équation T e la tangente au point d abscisse e a pour équation Complément sur les ites liées à l exponentielle Propriété 9. e x 1 = 1 x 0 x Démonstration Propriété 10 (Croissances comparées). x xex = 0 e x x + x = + Exercice 8 Démonstration de la Propriété (a) On a montré dans la démonstration de la Propriété 8 que pour tout x [0, + [ on a e x x + 1 donc e x x. Démontrer que pour tout x [0, + [ on a e x x2 4. (b) En déduire la ite de ex x quand x tend vers En posant X = x, déduire du 1) la ite de xe x quand x tend vers. Exercice 9 Factoriser par le terme prépondérant pour lever une indétermination Déterminer les ites suivantes en justifiant : x + (ex x) e x 2 x + x + 3 Page 7

8 Exercice 10 Une étude de fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ex 1 e x. On appelle C sa courbe représentative dans un repère + 1 (O, i, j). 1. Calculer la ite de f en. En déduire l existence d une asymptote dont on précisera une équation. 2. Calculer la ite de f en +. En déduire l existence d une deuxième asymptote dont on précisera une équation. 3. Démontrer que pour tout x réel on a f( x) = f(x). Que peut-on déduire concernant C? 4. Calculer pour tout x R f (x) et établir le tableau de variations de f. IV. Fonctions du type x e u(x) 1 Dérivée d une fonction du type x e u(x) Propriété 11. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et la fonction f définie sur I par : f : x exp[u(x)] = e u(x) Alors f est dérivable sur I, et pour tout x I on a : f (x) = u (x)e u(x) Ceci s écrit aussi : (e u ) = u e u Exemples Soit pour tout réel x f(x) = e x2 +1. La fonction x x est dérivable sur R donc f aussi et pour tout réel x on a : Soit pour tout réel x non nul f(x) = e 1 x. La fonction x 1 x est dérivable sur R donc f aussi et pour tout réel x non nul on a :... Exercice 11 Une autre étude Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e x2 2x. 1. Calculer les ites en et + de f. 2. Calculer f (x) pour tout x réel et déterminer son signe. 3. Etablir le tableau de variations de f. 4. Résoudre l équation f(x) = 1 Page 8

9 2 Des fonctions e u particulières Exercice 12 Les fonctions x e kx avec k > 0 Pour tout réel k > 0 on définit sur R la fonction f k par f k (x) = e kx ; C k est la courbe représentative de f k. 1. Grâce à un logiciel de géométrie dynamique on a représenté les courbes C 0,2, C 0,5, C 1 et C 1,5. Conjecturer le sens de variations des fonctions f k, les ites en et +, puis la position relative de C k et C k si k < k 2. Démontrer les conjectures de la question précédente. Remarque Nous pouvons étudier de la même manière les fonctions x e kx2 avec k > 0 représentées ci-dessous. Nous nous contenterons des résultats sans démonstration. Pour tout réel k > 0 on définit sur R la fonction g k par g k (x) = e kx2 ; C k est la courbe représentative de g k. Pour tout réel k > 0 on a : g k(x) = g k(x) =... x x + Pour tout réel k > 0 la fonction g k est sur et sur Pour tous réel k et k la courbe C k est de la courbe C k. Page 9