Chapitre 12 Géométrie dans l Espace Cours

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1 Capitre 12 Géométrie dans l Espace Cours I. SOLIDES USUELS 1) Prisme droit Un prisme droit est un polyèdre dont les bases (faces parallèles) sont deux polygones identiques et dont les faces latérales sont des rectangles. Exemples : Les bases sont des triangles Les bases sont des pentagones Les bases sont des exagones Exercice A : Déterminer le nombre de faces (f), d arêtes (a) et de sommets (s) de cacun des prismes cidessus. Trouver une relation entre a, f et s. Exercice B : Tracer un quadrilatère quelconque puis acever la représentation en perspective cavalière du prisme droit de auteur 4 cm dont une des bases est. Un pavé droit (parallélépipède rectangle) est un prisme droit dont toutes les faces sont des rectangles. Caque paire de faces parallèles peut être considérée comme paire de bases. Un cube est un pavé droit dont toutes les faces sont identiques (carrés). Polyèdre régulier à 6 faces, le cube est l un des cinq solides de Platon.

2 2) Pyramide Une pyramide est un polyèdre qui possède un sommet, une base polygonale, et dont les faces latérales sont des triangles. La base est un quadrilatère La base est un La base est un carré quelconque pentagone quelconque Un tétraèdre est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles. Caque face peut être considérée comme la base et son sommet opposé comme le sommet de la pyramide. Un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont toutes les faces sont identiques (triangles équilatéraux) Une pyramide régulière est une pyramide qui a pour base un polygone régulier, et dont le sommet est «à la perpendiculaire» du centre de la base. Polyèdre régulier à 4 faces, le tétraèdre régulier est l un des cinq solides de Platon. 3) Cylindre de révolution Un cylindre de révolution est le solide engendré par la rotation d un rectangle autour de l un de ses côtés. Cylindre d axe [] et de rayon. C.FRUCHON, Collège Carles Nicolle, 2012/2013 Page 2

3 Un cylindre de révolution n est pas un polyèdre, sa face latérale n est pas plane. Ses bases sont des disques de centres respectifs et. Vue de côté : Vue de dessus : + 4) Cône de révolution Un cône de révolution est le solide engendré par la rotation d un triangle rectangle autour de l un des côtés de l angle droit. Cône d axe [], de sommet et de rayon de base. Un cône de révolution n est pas un polyèdre, sa face latérale n est pas plane. Sa base est un disque de centre. Vue de côté : Vue de dessus : + C.FRUCHON, Collège Carles Nicolle, 2012/2013 Page 3

4 5) Spère et boule Soit un point et un nombre positif. La spère de centre et de rayon est l ensemble des points de l espace situé à une distance de égale à. Pour donner l impression 3D, on a représenté deux grands cercles de la spère : l équateur et un méridien. Une spère est également la surface engendrée par la rotation d un demi-cercle autour de sont diamètre. = II. VOLUMES Propriété : Le volume d un prisme droit ou d un cylindre de révolution est égal au produit de l aire de sa base () par sa auteur (). Exemples : Le volume d un parallélépipède rectangle de longueur, de largeur, et de auteur est =. Le volume d un cube d arête est =. C.FRUCHON, Collège Carles Nicolle, 2012/2013 Page 4

5 Le volume d un cylindre de révolution d axe [] et de rayon est =². Propriété : Le volume d une pyramide ou d un cône de révolution est égal au tiers du produit de l aire de sa base () par sa auteur (). Exemples : Le volume d une pyramide à base carrée et de auteur est = ². Le volume du tétraè dre trirectangle cicontre est =. Le volume d un cône de révolution d axe [] et de rayon de base est = ². Propriété : Le volume d une boule de rayon R est = L aire d une spère de rayon R est =4 C.FRUCHON, Collège Carles Nicolle, 2012/2013 Page 5

6 III. SECTION PLANE D UN SOLIDE La section d un solide par un plan est la surface obtenue à l intersection du solide et du plan. 1) Section d un pavé droit a. Par un plan parallèle à une face La section d un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. b. Par un plan parallèle à une arête La section d un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont une des dimensions est la longueur de cette arête. 2) Section d un cylindre de révolution a. Par un plan perpendiculaire à son axe La section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base. C.FRUCHON, Collège Carles Nicolle, 2012/2013 Page 6

7 b. Par un plan parallèle à son axe La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle. 3) Section d une pyramide régulière par un plan parallèle à la base La section d une pyramide régulière par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base. L exagone est une réduction de l exagone. Notons le coefficient de cette réduction (0<<1). On a : = et ()=² () La pyramide est une réduction de la pyramide. ()= (). 4) Section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base La section d un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque. ( ) Le disque ( ) est une réduction du disque (). Notons le coefficient de cette réduction (0<<1), =. ( )=² () Le cône ( ) de base ( ) est une réduction du cône () de base (). ()= ( ). () 5) Section d une spère La section d une spère par un plan est un disque. La spère est partagée en deux calottes spériques C.FRUCHON, Collège Carles Nicolle, 2012/2013 Page 7